专题06 一次函数的实际应用问题（河南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 一次函数的实际应用问题 考点一、一次函数营销问题 1．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)20元 (2)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 2．（2021·河南·中考真题）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率） 【答案】（1）款20个，款10个；（2）款10个，款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可； （3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算． 【详解】（1）设，两款玩偶分别为个，根据题意得： 解得： 答：两款玩偶，款购进20个，款购进10个． （2）设购进款玩偶a个，则购进款个,设利润为y元 则 （元） 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半 ，又 且为整数， 当时，y有最大值 （元） 款个，款个，最大利润是元． （3）第一次利润（元） 第一次利润率为： 第二次利润率为： 第二次的利润率大，即第二次更划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键． 考点二、一次函数其它应用问题 3．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 4．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 考点三、实际背景下的一次函数与二次函数综合 5．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】(1)，， (2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【详解】（1）解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； （2）∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 专练一、一次函数方案问题 6．（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元 (2)①10 ②最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价为y万元，根据“A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据两种方案的最终费用相同，可列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设购买a台A型充电桩，台B型充电桩，总费用为w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元， 根据题意得， 解得： 答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元； （2）解：① ， 解得：， 答：的值为10； ②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元， 购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的， ， 解得． 的取值范围为，且为正整数， 根据题意，可得， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时． 答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 7．（2025·河南·模拟预测）游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下： 方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费； 方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费． 设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示． (1)求直线的解析式； (2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义； (3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案． 【答案】(1) (2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由图可知的图象经过． 解得 ． （2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元． 办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费， 每次游泳的原价为（元） 设直线的解析式为， ． 点为直线的交点， 此时， 即． 解得． 此时． 点的坐标为． 点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以； 当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠； 当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠． 8．（2025·河南漯河·三模） 2025年1月，教育部研制印发了《教育部关于加强新时代中小学体育教师队伍建设若干举措的通知》（以下简称《通知》）．某校积极贯彻落实该《通知》，计划更新一批训练设备，为高质量体育教师队伍建设提供良好支持．该校准备在某体育用品店购买一批甲、乙两种体育器材，已知购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元．该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折． (1)求甲、乙两种器材的单价分别是多少元． (2)经核算，学校准备购买甲、乙两种器材共50件，且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的费用分别为 y1元 、y2元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 (2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【分析】本题考查一元一次方程和一次函数的实际应用，正确的列出方程和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设乙种器材的单价为元，根据购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元，列出方程进行求解即可； （2）设购买甲种器材件，则购买乙种器材件，根据两种方案，列出函数关系式，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：设乙种器材的单价为元，则甲种器材的单价为元，由题意得， 解得：， 则， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． （2）设购买甲种器材件，则购买乙种器材件，则： ， ． ∴． 当，即，时，两种方案花费一样； 当，即，时，方案一花费少； 当，即，时，方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少． 9．（2025·河南信阳·三模）2025年3月23日，歼-10首飞成功27年，近年来，歼-10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于x的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． (2)小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求n的取值范围． 【答案】(1)①，；②260 (2)或 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，不等式的应用，理解题意是解题关键． （1）①根据题意，直接列出函数关系式即可；②分两种情况分析令，令，分别求解即可； （2）分四种情况分别分析两种方案的优惠价格，即可得出结果． 【详解】（1）解：（1）①根据题意得：，即． ． ②令， 解得（不符合题意，舍去）． 令， 解得（符合题意）． 故的值为260． （2）根据题意得：当时， 方案一购买需n元，方案二购买需0.8n元，，不符合题意． 当时，令， 得， ． 当时，方案一购买优惠的价格为元， 方案二购买优惠的价格小于元，符合题意． 当时，方案一购买优惠的价格为元， 方案二购买优惠的价格不超过元，符合题意． 综上，n的取值范围为或． 10．（2025·河南郑州·二模）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． (1)求足球、篮球的单价； (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 【答案】(1)足球的单价均为50元，篮球的单价为100元 (2)购买足球20个，篮球80个时花费最少 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买篮球100个，足球100个或购买篮球120个，足球60个均花费15000元”列二元一次方程组进行计算解答； （2）设购买足球的数量为个，则购买篮球个，花费为元，根据“足球数量不超过篮球数量的”列不等式确定x的取值范围，然后列出关于y的函数解析式，并根据一次函数的性质分析最值． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得，解得 足球的单价均为50元，篮球的单价为100元； （2）解：设购买足球的数量为个，则购买篮球个，花费为元． 则有，解得 随的增大而减小． 又， 当时，有最小值，最小值为9000， 当购买足球20个，篮球80个时花费最少． 11．（2025·河南商丘·二模）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 【答案】(1) (2)该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用一次函数和不等式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出一次函数和不等式是解题的关键． （1）依题意，设每年增长率为，根据前年成本为15万元，今年成本达到了万，列式，再解出的值，即可作答． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套，分别求出方案①花费钱数；方案②花费钱数，比较不同的求值范围，比较销售的总价格大小，即可得出结论. 【详解】（1）解：设每年增长率为，由题意可得： ，即， 解得，（舍去）． 答：每年生产成本的增长率为． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套， 则方案①花费钱数，即； 方案②花费钱数分两种情况， 当时，； 当时，，即， 当时，，选第①种方式更优惠； 当时，若，解得， ∴当时，选第①②两种方式都可以． 若，解得，选第②种方式更优惠； 若，解得，选第①种方式更优惠． 答：该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 12．（2025·河南洛阳·一模）随着端午节的临近，，两超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 (1)当购物金额为元时，选择_____超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为元时，选择_超市（填“”或“”）更省钱； (2)若购物金额为元时，请分别写出在，两超市购物时的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱． 【答案】(1)； (2)当时，选择超市更省钱 当时，超市函数表达式为，超市函数表达式为；当时，选择超市更省钱；当时，、两超市花费一样多；当时，选择超市更省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解； （2）根据题意列出函数关系，分三种情况：，，，分别求出x的取值范围，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：， 超市八折优惠，超市不优惠， 选择超市更省钱； ， 超市应付：（元），超市应付：（元）， ， 选择超市更省钱； 故答案为：；． （2）解：当时，由（1）得选择超市更省钱 当时，超市函数表达式为：，超市函数表达式为：， 当，即时，选择超市更省钱； 当，即时，、两超市花费一样多； 当，即时，选择超市更省钱． 13．（2025·河南安阳·模拟预测）健身不仅能够增强体质、提高免疫力，还能塑造健美的体态，促进心理健康．某健身馆原定健身的收费标准是60元/次，后来为吸引顾客，特推出两种优惠方案，方案1：每次健身按标价的八折收费；方案2：缴纳300元办理一张会员卡，每次健身按标价的六折收费． (1)若某顾客健身x次，付费总额y元，求两种方案下y关于x的函数解析式； (2)请你用所学知识分析选择哪一种消费方案更划算． 【答案】(1)和 (2)若健身25次以下，选方案1划算；若健身25次，方案1、方案2的费用一样；若健身25次以上，选方案2划算 【分析】本题主要考查了列函数关系式，解不等式． （1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； （2）分三种情况讨论：若选方案1：则有；若方案1，方案2的费用一样：则有；若选方案2：则有；分别求解即可． 【详解】（1）解：方案1：， 方案2；， 答：两种方案下y关于x的函数解析式分别为和； （2）解：分以下三种情况讨论： 若选方案1：则有，即， 解得， 若方案1，方案2的费用一样：则有，即， 解得， 若选方案2：则有，即， 解得， 答：若健身25次以下，选方案1划算；若健身25次，方案1、方案2的费用一样；若健身25次以上，选方案2划算． 14．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； (2)；购买33棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； 购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克， 根据题意得：， 解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； （2）解:购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 杨树的棵数不超过冷杉的一半， ， ， ， 随的增大而增大， 当整数时，的值最大， 此时（棵）， 答：购买棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 专练二、一次函数最大利润问题 15．（2025·河南安阳·三模）洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元 (2)购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元 【分析】（）设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进牡丹瓷件，则购进书签件，列出不等式求出的取值范围，设利润为元，求出与的一次函数函数关系，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元； （2）解：设购进牡丹瓷件，则购进书签件， 由题意得，， 解得， 设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，元， 此时， 答：购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元． 16．（2025·河南周口·三模）劳动教育是学生德智体美劳全面发展的主要内容之一，植树节前，某校团委计划带领全校学生在光山上种植800棵树，现有两家树苗基地，树苗基地最多可以提供300棵树苗，每棵8元；树苗基地最多可以提供700棵树苗，每棵7元．汽车每千米的运输费用（单位：元）与运输树苗数量（单位：棵）的关系如图所示． (1)根据图象求出关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）． (2)已知树苗基地到光山的路程为200千米，树苗基地到光山的路程为400千米，设该校在树苗基地购买棵，购买800棵树苗的总费用为元（总费用购买树苗费用运输费用），求出关于的函数解析式，及总费用最低的购买方案． 【答案】(1) (2)该校在A树苗基地购买100棵，在B树苗基地购买700棵总费用最低 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）按照的取值范围，分别求出每千米每棵树苗的运输价格，从而写出对应函数关系式即可； （2）该校在B树苗基地购买棵，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，由不等式的基本性质求出的取值范围，根据总费用=购买A基地的树苗费用+汽车从A基地到光山的运输费用+购买B基地的树苗费用+汽车从B基地到光山的运输费用写出w关于x的函数解析式，由一次函数的增减性，确定当x取何值时w值最小，再求出此时的值即可． 【详解】（1）解：依题意，当时，每千米运输价格为（元/棵） 则； 当时，设 把代入， 得 解得 ∴ ∴． （2）解：依题意，该校在B树苗基地购买棵， ∵ 树苗基地最多可以提供300棵树苗， 树苗基地最多可以提供700棵树苗， ∴， 解得， ∴， 由（1）得， 依题意，， ∵， ∴随的增大而增大 ∵ ∴当时，的值最小， 即 ∴（棵） 即该校在A树苗基地购买100棵，在B树苗基地购买700棵总费用最低． 17．（2025·河南商丘·三模）郑州市侯寨乡的樱桃沟盛产樱桃，这里的樱桃不仅成熟早、产量高，而且味道鲜美、色泽光洁、悦人心目，果农小王共采摘了160千克的樱桃进行线上和线下销售，其中线下以20元/千克的标价销售，线上以线下标价的八折销售，全部售完后，销售额为2960元． (1)求线下和线上销售的樱桃质量分别为多少千克； (2)小王又采摘了300千克的樱桃进行线上和线下销售，且售价不变，若线下销售樱桃的质量不超过线上销售樱桃质量的一半，且使售完这批樱桃后销售额最大，应如何对这批樱桃进行销售？ 【答案】(1)线下和线上销售的樱桃质量分别为100千克和60千克 (2)线上销售樱桃200千克，线下销售樱桃100千克时，可使售完这批樱桃后的销售额最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一次不等式的应用等知识点，正确列出方程组和一次函数解析式是解答本题的关键． （1）设线下和线上销售的樱桃质量分别为x千克和y千克．，找出等量关系列出方程组求解即可； （2设线上销售樱桃的质量为m千克，则线下销售樱桃的质量为千克，销售额为w元，由题意列不等式并结合题意可得，再销售额等于线上销售额与线下销售额之和列出函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设线下和线上销售的樱桃质量分别为x千克和y千克． 由题意，得，解得 答：线下和线上销售的樱桃质量分别为100千克和60千克． （2）解：设线上销售樱桃的质量为m千克，则线下销售樱桃的质量为千克，销售额为w元． 由题意，得．解得． ∴． 由题意，得． ∵， ∴w随m的增大而减小． ∴当m取最小值200时，w取最大值． ∴线下销售樱桃的质量为（千克）． 答：线上销售樱桃200千克，线下销售樱桃100千克时，可使售完这批樱桃后的销售额最大． 18．（2025·河南·模拟预测）如图，是隐形第五代战斗机的模型．国庆节前夕，某商场购进A，B两种材质的模型共120架．已知购进2架A种模型和3架B种模型共需花费690元；购进4架A种模型和2架B种模型共需花费780元． (1)求A，B两种材质的模型每架的进价． (2)已知A，B两种材质的模型每架的售价分别为150元和200元．采购信息记录如下： 采购要求 A种模型数量m的范围为 采购优惠 购进A种模型超过60架时，超过部分打六折；B种模型不打折 请设计出商场最佳的购进方案，使所有模型售完后能获取最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)A种材质的模型每架的进价为120元，B种材质的模型每架的进价为150元 (2)当购进A种材质的模型80架，B种材质的模型40架时可获得最大利润，最大利润为5360元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用和一次函数的实际应用，理解题意列出二元一次方程组和一次函数表达式是解题的关键． （1）设A种材质的模型每架的进价为x元，B种材质的模型每架的进价为y元，根据题意列方程即可； （2）设总利润为w元．根据m的取值范围分别列出w关于m的表达式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种材质的模型每架的进价为x元，B种材质的模型每架的进价为y元． 根据题意，得， 解得 答：A种材质的模型每架的进价为120元，B种材质的模型每架的进价为150元． （2）解：设总利润为w元． 当时，， ， ∴w随着m的增大而减小． ∴当时，w最大，获得最大利润（元）． 当时，， ，w随着m的增大而增大． ∴当时， ∴w最大，获得最大利润（元）． ∵， ∴w的最大值为5360，此时（架）． 即当购进A种材质的模型80架，B种材质的模型40架时可获得最大利润，最大利润为5360元． 19．（2025·河南·模拟预测）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)、款哪吒玩偶每个各6元和9元 (2)购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用． （1）设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．根据用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案． （2）设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，根据其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则（元）， 、款哪吒玩偶每个各6元和9元． （2）解：设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个， 款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的， ， 解得， ，且为正整数． 根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用， ， 随的增大而减小， ，且为正整数， 当时，取最小值，此时， 即购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 20．（2025·河南驻马店·三模）某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆．已知用50000元购买A型电动自行车的数量与用60000元购买B型电动自行车的数量相同，A型电动自行车单价比B型少500元． (1)求A、B两种型号电动自行车的单价； (2)若购买A型电动自行车的数量不超过B型电动自行车的倍．设购买A型电动自行车m辆，该商店购进两种型号电动自行车所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求出所需的最少经费． 【答案】(1)A型电动自行车的单价为2500元，B型电动自行车的单价为3000元 (2)，所需的最少经费为81000元 【分析】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设A型电动自行车的单价为x元，则B型电动自行车的单价为元，用50000元购买A型电动自行车的数量与用60000元购买B型电动自行车的数量相同，据此列出方程，解方程并检验即可得到答案； （2）购买A型电动自行车m辆，则购买B型电动自行车辆，先求出m的取值范围，再列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设A型电动自行车的单价为x元，则B型电动自行车的单价为元， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：A型电动自行车的单价为2500元，B型电动自行车的单价为3000元； （2）购买A型电动自行车m辆，则购买B型电动自行车辆， ∵， 解得， ∴，且m为整数， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最小值， 最小值为（元）． 答：所需的最少经费为81000元． 21．（24-25八年级上·山西太原·期末）神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． (1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)20元，30元 (2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获得利润最大，最大利润是1700元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用， 对于（1），先设每件甲，乙种航天载人飞船模型的进价是x，y元，再根据总进价相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润是w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意列出一次函数，再根据一次函数的性质，并结合得出最大利润即可． 【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据题意，得 ， 解得， 所以每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； （2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润是w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意，得 ， 即. ∵， ∴w随着m的增大而增大． ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值是， 此时． 答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获得利润最大，最大利润是1700元． 22．（2025·河南南阳·二模）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． (1)求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ (2)已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1)该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元 (2)购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元，根据两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个建立方程求解即可； （2）设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为，根据购买资金不超过1080万元列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元； （2）解：设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，利润最大，（万元）． 答：购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元． 23．（2025·河南驻马店·三模）为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 【答案】(1)A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元 (2)当时，，当时， (3)最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元，再根据题意列出方程组，再解出，即可作答． （2）结合在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折，得出当时，；当时，，即可作答． （3）由题意可得：，得出a的最小值为55，设所需费用为w元，，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元， 根据题意得：， 解得， 答：A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元． （2）解：依题意，当时，； 当时，． （3）解：设购买B型劳动工具a个，则购买A型劳动工具个， 由题意可得：， 解得：， a为整数， ∴a的最小值为55， 设所需费用为w元，， ∵ ∴随着的增大而增大 当时，w最小，最小值为（元） ∴最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元． 24．（2025·河南驻马店·三模）端午节将至，小红爸爸计划购买A，B两种品牌共20袋糯米制作粽子售卖．已知用400元购买A品牌糯米的袋数与用350元购买B品牌糯米的袋数相同，且A品牌每袋糯米的糯米的价格比B品牌每袋糯米的价格多10元． (1)求A，B两种品牌每袋糯米的价格； (2)小红爸爸计划购买B品牌糯米的袋数不超过A品牌糯米袋数的，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ (3)小红去商家柜台了解到若整箱（5袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠10元．小红猜想购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱会比（2）中的方案更省钱．请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【答案】(1)A、B两种品牌每米的价格分别为80元，70元 (2)当购买A品牌糯米14袋，B品牌糯米6袋时，总花费最少，最少花费为1540元 (3)猜想正确，计算见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A品牌每袋糯米的价格为a元，则B品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于a的分式方程并求解即可； （2）设购买A品牌糯米x袋，则购买B品牌糯米袋，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设花费W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值及此时的值即可； （3）根据A品牌糯米的整箱数品牌糯米每箱的袋数品牌每袋糯米的价格品牌糯米的整箱数品牌糯米每箱的袋数品牌每袋糯米的价格-两种糯米总的整箱数×每箱的优惠列式计算其费用并与（2）中的方案比较大小即可． 【详解】（1）解：设A品牌糯米每袋为a元，则B品牌糯米每袋为元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， 此时， 答：A、B两种品牌每米的价格分别为80元，70元； （2）解：设购买A品牌糯米x袋、则购买B品牌糯米袋， 根据题意，得 解得 设总花费为W元， 则， ， W随x的增大而增大， x取正整数， 当，时，总花费最少， （元）， 答：当购买A品牌糯米14袋，B品牌糯米6袋时，总花费最少，最少花费为1540元； （3）解：小红的猜想正确．理由如下： 购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱， 总费用（元）， ． 小红的猜想正确 专练三、一次函数行程问题 25．（24-25八年级上·山西晋中·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．客人距离厨房门口 B．慧慧比聪聪晚出发 C．聪聪的速度为 D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由图象知，客人距离厨房门口，选项说法正确，故不符合题意； B、由图象得，慧慧比聪聪晚出发，选项说法正确，故不符合题意； C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为， 故提速后慧慧行走所用时间为：， ∴， ∴聪聪的速度为，选项说法不正确，故符合题意； D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴，解得， ∴的解析式为， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， ∵当时，，， ∴； ∵， ∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为， ∴选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 26．（2025·陕西西安·模拟预测）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人选择自行车作为出行、出游的交通工具．明明爸爸爱好骑行，五一节假期第一天早晨8：00从家出发骑行，12：00结束．骑行了后，由于路况变化，明明爸爸调整了骑行速度．明明爸爸骑行的路程（）与骑行的时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)明明爸爸出发时约了一位骑友同行，他们一起骑行了后分开，他们共同骑行了多长时间？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键； （1）设当时，与之间的函数表达式为（为常数，且），根据图象将坐标和代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入（1）的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为（为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得 解得 与之间的函数表达式为 （2）当时，． 解得． 答：他们共同骑行了． 27．（2025·河南·模拟预测）周末，小刚一家开车从家出发前往千米远的某红色教育基地进行参观，当他们行驶小时时，汽车突然发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，他们离家的距离y（千米）与离开家的时间x（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后与之间的函数关系式； (2)在行驶途中，距离红色教育基地千米的地方有一个服务区，求小刚一家离开家多长时间后到达该服务区？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）距离红色教育基地千米的地方有一个服务区，可得离开家（千米），再将代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：设汽车修好后与之间的函数关系式为， 把，代入得：， 解得， 汽车修好后与之间的函数关系式为； （2）解：距离红色教育基地千米的地方时，离开家千米， 在中，令得 ， 解得， 小刚一家离开家小时后到达该服务区． 28．（2025·河南平顶山·二模）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程x（km）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式． (2)已知这辆车的“满电量”为，王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，求该车的剩余电量占“满电量”的百分比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将分别代入，得， 解得， 与之间的关系式为； （2）解：当时，， ． 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 专练四、实际应用背景下一次函数与二次函数简单综合 29．（2025·河南信阳·三模）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 30．（2025·河南漯河·三模）某学校排球队把“弘扬女排精神，做新时代的奋斗者”作为球队的座右铭，在比赛和训练中，队员们养成了勤于思考，经常反思的好习惯．在一次队内训练中，小明作为后排队员，在己方三米线上方点击球，他的处理方式有两种，若选择扣球，排球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，若选择吊球，排球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．已知点高度为，球网高度为2.24m．小亮依照此情境建立如图的平面直角坐标系，请分析： (1)①若小明选择扣球，若球恰好经球网上方，请求此时的一次函数解析式； ②请计算说明，小明的扣球是否出界（球落点应在底线左方）？ (2)①球网处有对方球员拦网，拦网高度为2.7m，若小明选择吊球，则球在距离轴处达到最高点，且球恰好绕过拦网球员，求此时的二次函数解析式； ②根据场上情况，小明选择吊球时，当球落到三米线的左方才能得分，请计算说明，小明的吊球是否成功？ 【答案】(1)①②小明的扣球扣在了界内 (2)①②小明的吊球不能够成功 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，理解题意，建立数学模型是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②求出①中函数值为0时的自变量的值，不超过12m为不出界，否则越界； （2）①设二次函数解析式为，该函数经过，且球恰好绕过拦网球员，利用待定系数法即可求解； ②求出上述函数值为0时的自变量的值，与三米线点的横坐标6进行比较，即可判断． 【详解】（1）解：（1）①设一次函数解析式为，该函数经过，， 依题意得，， ， 一次函数解析式为； ②当时，，解得， 点的横坐标为12，， 小明的扣球扣在了界内； （2）解：①球在距离轴处达到最高点， 设二次函数解析式为， 该函数经过，且球恰好绕过拦网球员， 依题意得，， 二次函数解析式为： ②当时，，解得，（舍去）， 三米线点的横坐标为6，， 小明的吊球不能够成功． 31．（2025·河南焦作·二模）信阳毛尖是中国十大名茶之一，信阳某茶叶厂销售一批新毛尖时，销售员小李把市场调研情况绘制成函数图像（如图所示），成本（万元）与销售量（吨）的函数解析式为；销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为，与的图像交于点． (1)求和的值，并解释点的实际意义； (2)当销售信阳毛尖1.5吨时，所获利润是多少万元？ (3)当销售量是多少吨时，可获得200万元的利润？（注：利润=销售额-成本） 【答案】(1)，，点的实际意义为销售额和成本相等，即收支平衡 (2)万元 (3)3吨 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）将点分别代入和，求解即可确定和的值，结合题意即可获得点的实际意义； （2）由（1）可知，，，当销售信阳毛尖1.5吨时，分别计算，的值，根据“利润=销售额-成本”即可获得答案； （3）设当销售量是吨时，可获得200万元的利润，根据题意可得，整理并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，解得， 将点代入， 可得，解得， 结合图像可知，点的实际意义为销售额和成本相等，即收支平衡； （2）由（1）可知，，， 当销售信阳毛尖1.5吨时， ，， 则（万元）， 即当销售信阳毛尖1.5吨时，所获利润是万元； （3）设当销售量是吨时，可获得200万元的利润， 则有， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴当销售量是3吨时，可获得200万元的利润． 32．（2025·河南南阳·二模）现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 (1)求和的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 【答案】(1)， (2)这两个位置之间的水平距离为 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入解析式计算即可； （2）将变为，得到火箭第一级运行的最高点为，由比火箭运行的最高点低，得出，进而得到对应的的值，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：火箭第二级的引发点坐标为 ， 将代入得 解得； 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 直线 解解析式为， ， 火箭第一级运行的最高点为， ， 将代入得， 解得：或， 火箭第二级的引发点坐标为 ， 不符合题意，舍去， ； 将代入得， 解得； ， 这两个位置之间的水平距离为． 33．（2025·河南漯河·一模）研究小组进行跨学科主题学习活动，研究某种化学试剂的挥发情况．研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．场景A实验中试剂剩余质量随时间变化的过程可以用一次函数表示．场景B的实验可看作抛物线的一部分．小东结合实际实验和计算得到场景B的数据，如表所示： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） 21 19.5 16 10.5 3 请根据以上信息，解决下列问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，一次函数的图象已画出，请你根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出场景B的关系图象． (2)求场景B中与的函数表达式． (3)当时，上述函数关系仍然成立，通过计算说明化学试剂在哪个场景下挥发所用的时间更长． 【答案】(1)见解析； (2)与的函数关系式为； (3)化学试剂在场景B下挥发所用的时间更长． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，涉及到一次函数图像和二次函数图像的绘制，熟练掌握相关函数内容是解题的关键． （1）直接根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出即可； （2）设与的函数关系式为， 把代入，解得的值即可； （3）通过计算时，场景A和场景B的所用的时间进行判断． 【详解】（1）解：如图所示： （2）场景B中，由表可知，当时，， ∴ 设与的函数关系式为， 把代入， 得， 解得， ∴与的函数关系式为． （3）场景A中，令， ∴，解得， 场景B中，当时，， ∴ 化学试剂在场景B下挥发所用的时间更长． 专练五、一次函数其它应用类型 34．（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【答案】(1)， (2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元 (3)王林选择方案一花费更少，见解析 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用； （1）根据题意分别列出函数关系式即可； （2）依据题意联立方程组并求解即可求出点P的坐标，再结合实际说出实际意义即可； （3）根据图象进行分析，当时，；当时，即可求出结果． 【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为， 方案二费用与剪发次数的函数关系式为； （2）依据题意联立方程组得：， 解得， ∴点， 点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元； （3）选择方案一花费更少． 理由：根据图象可知：当时，；当时，； ∴当时，； ∴王林选择方案一花费更少． 35．（2025·河南信阳·模拟预测）寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表． 普通间（元/人/天） 三人间 50 双人间 70 单人间 100 宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠． 已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满． (1)若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数； (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (3)小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用． 【答案】(1)选择三人间20间，选择两人间20间 (2)，且x是6的倍数， (3)2640 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确立即题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设选择三人间x间，选择两人间y间，根据共有100名学生且费用为3000元列出方程组求解即可； （2）设三人间共住了人，则三人间有间，双人间有间，据此分别求出双人间和三人间的费用，二者求和再加上一个单人间的费用即可求出对应的函数关系式，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设选择三人间x间，选择两人间y间， 由题意得，， 解得， 答：选择三人间20间，选择两人间20间； （2）解：由题意得， ， ∵每个客房都正好住满， ∴是正整数，且也是正整数， ∴必须是2的倍数， ∴且x是6的倍数， （3）解：由（2）可知， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当x最大时，y有最小值， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：一天的最小费用为2640元． 36．（2025·河南信阳·三模）郑州黄河文化公园是国家4A级旅游景区，公园内已经建成并对外开放五龙峰、大禹山、炎黄二帝塑像等五大景区．旅游区内设置两条线路的门票，经问询知，若买甲线路门票2张，乙线路门票3张，共用190元；买甲线路门票1张，乙线路门票2张，共用110元． (1)分别求甲、乙两线路门票的单价； (2)某旅行团准备购买甲、乙两线路门票共75张，因购买数量较多，景区售票处同意甲线路门票按原价的销售，乙线路门票价格不变，若最终的费用是一个固定值，与购买门票的方案无关，求的值以及固定费用． 【答案】(1)甲线路门票的单价是50元，乙线路门票的单价是30元 (2)的值为60，固定费用是2250元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用. （1）设甲线路门票的单价是元，乙线路门票的单价是元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买张甲线路门票，则购买张乙线路门票，设所需费用为元，，求出，根据最终的费用是一个固定值作答即可. 【详解】（1）设甲线路门票的单价是元，乙线路门票的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲线路门票的单价是50元，乙线路门票的单价是30元； （2）设购买张甲线路门票，则购买张乙线路门票， 设所需费用为元，， ， 最终的费用是一个固定值，即2250元， ， 解得 答：的值为60，固定费用是2250元． 37．（2025·河南·模拟预测）2025年中国电影市场迎来开门红，春节档总票房（含预售）破50亿，这一成绩不仅展现了中国电影市场的强劲复苏，也体现了观众对优质影片的高度热情．小麦与同学们约定周末去观看A，B两部电影，共购票12张．A电影每张票32元，B电影每张票40元，设购买了A电影x张票． (1)若小麦和同学们购买两种电影票共花费440元，那么他们购买A电影票和B电影票各多少张？ (2)设他们购买两种电影票总花费为y元，已知小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍，那么购买A电影票多少张时，可使他们花费最少，最少花费是多少？ 【答案】(1)他们购买了A电影票5张，B电影票7张 (2)购买A电影票4张时，花费最少，最少花费是448元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设购买了A电影x张票，则购买B电影张票，根据购买两种电影票共花费440元建立方程求解即可； （2）根据题意可求出y关于x的一次函数关系式，再根据小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买了A电影x张票，则购买B电影张票． 由题意得，， 解得， 则． 答：他们购买了A电影票5张，B电影票7张； （2）解：由题意，得， ∵小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值为448元； 答：购买A电影票4张时，花费最少，最少花费是448元． 38．（2025·河南信阳·三模）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式； (2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式： (3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2)（，x为整数）； (3)，最大值为144 【分析】（1）观察表格中与的数值变化，判断为一次函数关系，通过找两组对应值，利用待定系数法或直接分析规律得出与的关系式． （2）根据日利润的定义，将（1）中得到的与的关系式，和已知的与的关系式相乘，展开化简得到与的关系式． （3）对（2）中得到的二次函数关系式进行配方，转化为顶点式，结合的取值范围（且为整数 ），求出最大值及对应的值． 本题主要考查了一次函数、二次函数的实际应用，熟练掌握函数关系式的推导方法以及二次函数的性质（配方求最值 ）是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知：当的整数时，； z与x的关系式为： ，（，x为整数）． （2）解：（，x为整数）； （3）解：当时，， 时，w有最大值为144． 39．（2025·河南洛阳·三模）烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出两种套餐，套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； (1)求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ (2)每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的套餐数量是套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件种套餐？最大利润为多少？ 【答案】(1)烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元 (2)25件，最大利润为925元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用等知识． （1）设烩面的价格为元，小份凉菜的价格为元．，根据两种套餐价格列出方程组，通过代入消元法求解． （2）设每天准备种套餐件，则准备种套餐件．，根据条件列出不等式确定的取值范围，再根据利润关系列出函数关系式，根据函数性质求出最大值． 【详解】（1）解：设烩面的价格为元，小份凉菜的价格为元． 根据题意可得， 由第一个方程得，代入第二个方程得 解得：， 将代入得． 所以烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元 （2）解：设每天准备种套餐件，则准备种套餐件． 根据题意可得， 解得： ∴． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， 此时件． ∴餐馆每天应准备25件种套餐，最大利润为925元． 40．（2025·河南濮阳·二模）某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 【答案】(1)该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元 (2)①；②选择公司合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数表达式，解一元一次不等式的应用等知识，根据数量关系列出方程组与函数表达式是解题的关键； （1）设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元，根据两次运输记录中的等量关系列出二元一次方程组，求解即可； （2）①求出A公司在时，的表达式；求出B公司在及时的表达式即可； ②分别当时；当时；当时，进行考虑即可． 【详解】（1）解：设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元． 由题意得：． 化简得：， 解得：； 答：该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元． （2）解：①由题意得： A公司：当时，， ； B公司：当时，， 当时，， ； ； ②若，即， 故当时，，故选择A公司合算； 当时，，故选择A、B公司一样合算； 当时，，故选择B公司合算． 41．（2025·河南信阳·模拟预测）为促进旅游业发展，今年某地多个景点联合推出旅游年票．具体购买方式如下． 方案 购票方式 方案一 各个景点每次收费20元． 方案二 A种年票，每张180元，各个景点不再收费． 方案三 B种年票，每张50元，各个景点每次收费10元． 小明预计今年在该地各个景点共旅游m次，所需费用为y元． (1)直接写出不同方案下y关于m的函数表达式． (2)若小明发现分别采用方案一、方案三旅游m次所需费用相同，求m的值． (3)小明决定购买年票，请你帮助小明分析购买哪种年票更划算． 【答案】(1)方案一：．方案二：；方案三： (2)5 (3)当时，购买A种年票更划算；当时，购买A，B两种年票所需费用相同；当时，购买B种年票更划算 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，写出函数解析式． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）根据方案一、方案三旅游m次所需费用相同，列出方程，解方程即可； （3）先分别令，解得：，令，解得：，然后进行分析解答即可． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； 方案三：． （2）解：由题意可知， 解得：； （3）解：令，解得：， 令，解得：， 故当时，购买A种年票更划算；当时，购买A，B两种年票所需费用相同；当时，购买B种年票更划算． 42．（2025·河南驻马店·三模）某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． (1)求这款笔记本的单价． (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． (3)根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 【答案】(1)10元 (2)；当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元 (3)当或时，在甲、乙两家商店购买均可；当时，应在甲商店购买；当时，应在乙商店购买 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）设这款笔记本的单价是x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）根据优惠活动分别写出关于x的函数关系式，设，列关于x和y的二元一次方程组并求解，说明点M的实际意义即可； （3）根据图象和点M的坐标作答即可． 【详解】（1）解：设这款笔记本的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：这款笔记本的单价为10元． （2）解：当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 由图象可知，点M是函数和图象的交点， 故令，解得，此时， ∴点M的坐标为． 点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元． （3）解：由图象可知，当或时，， 当时，， 当时，， ∴当或时，在家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可；当时，应选择甲商店购买；当时，应选择乙商店购买． 43．（2025·河南郑州·一模）如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题． (1)最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． (2)求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是． (3)已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱． 【答案】(1)； (2)，这摞碗的高度不能是，理由见解析． (3)买这摞碗至少需要元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，不等式的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，所以每增加一个碗增加的高度为，则最下面的碗的高度是； （2）根据（1）即可得出函数解析式，当时，即，解得， 即可判断； （3）对于，当，即时，解得，即可求解． 【详解】（1）解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为， ∴每增加一个碗增加的高度为， ∴最下面的碗的高度是， 故答案为：； （2）解：， 当时，即， 解得：， 不是整数， ∴这摞碗的高度不能是． （3）解：对于，当，即时， 解得：， ∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个， ∴买这摞碗至少需要（元）． 44．（2025·河南商丘·二模）洛阳牡丹文化节前身为洛阳牡丹花会，已入选国家非物质文化遗产名录．某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植两种品种的牡丹，已知购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元． (1)两种牡丹每棵分别为多少元？ (2)该景区计划购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元，共有多少种购买方案？ (3)购买时发现，A种牡丹单价上涨了a元，B种牡丹单价不变，在（2）的条件下，最低费用需6625元，请直接写出a的值． 【答案】(1)两种牡丹每棵分别为元，元． (2)有6种购买方案． (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设设两种牡丹每棵分别为元，元．根据“购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元”列方程组求解即可． （2）设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵，根据“购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元”列不等式组求解即可． （3）设总费用为w元，则，根据一次函数的增减性讨论，由此可求得a的值． 【详解】（1）解：设两种牡丹每棵分别为元，元，则 依题意有：， 解得：． 答：两种牡丹每棵分别为元，元． （2）解：设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵． 依题意有：， 解得：， 为整数， ． 答：有6种购买方案． （3）解：设总费用为w元，则， 当，即时， 由（2）可知，当时y最小， 即当每个种牡丹上涨a元时，， 解得． 当，即时， 由（2）可知，当时y最小， 即当每个种牡丹上涨a元时，， 解得，不符合题意，舍去． 综上：. 45．（2025·河南·模拟预测）老张投资48000元建设一个网店销售某型号电子产品，已知该电子产品进价为80元/个，如图为网店的日销售量（个）与销售价（元）之间的关系图象． (1)求日销售量（个）与销售价（元）之间的函数关系式； (2)老张聘用4名员工参与销售与发货，员工工资为150元/天，网店每天的其他费用为200元． ①当该电子产品定价为多少元时，每天的销售收入有最大值，并求出这个最大值； ②在①的条件下，多少天能收回成本？ 【答案】(1) (2)①当该电子产品定价为元时，每天的销售收入有最大值元；②天 【分析】（1）分和两种情况，然后分别利用待定系数法求解即可； （2）①设每日的收入是元，分和两种情况，分别表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； ②设该店至少需要天才能收回成本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）当时，设y与x的函数关系式为， 根据图象把、代入得： ， 解得， ∴； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴， 综上所述，； （2）①设每日的收入是元， 当时， ， 当时，最大为元； 当时，， ， 当时，最大为元， 综上所述，时，每日的最大销售收入是元， ②设该店至少需要天才能收回成本， 根据题意得：， 解得， 答：该店至少需要天才能收回成本． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用配方法将二次函数关系式变形为顶点式是解题的关键． 试卷第2页，共61页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数的实际应用问题 考点一、一次函数营销问题 1．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 2．（2021·河南·中考真题）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率） 考点二、一次函数其它应用问题 3．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 4．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 考点三、实际背景下的一次函数与二次函数综合 5．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 专练一、一次函数方案问题 6．（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 7．（2025·河南·模拟预测）游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下： 方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费； 方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费． 设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示． (1)求直线的解析式； (2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义； (3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案． 8．（2025·河南漯河·三模） 2025年1月，教育部研制印发了《教育部关于加强新时代中小学体育教师队伍建设若干举措的通知》（以下简称《通知》）．某校积极贯彻落实该《通知》，计划更新一批训练设备，为高质量体育教师队伍建设提供良好支持．该校准备在某体育用品店购买一批甲、乙两种体育器材，已知购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元．该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折． (1)求甲、乙两种器材的单价分别是多少元． (2)经核算，学校准备购买甲、乙两种器材共50件，且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的费用分别为 y1元 、y2元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 9．（2025·河南信阳·三模）2025年3月23日，歼-10首飞成功27年，近年来，歼-10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于x的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． (2)小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求n的取值范围． 10．（2025·河南郑州·二模）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． (1)求足球、篮球的单价； (2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 11．（2025·河南商丘·二模）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 12．（2025·河南洛阳·一模）随着端午节的临近，，两超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 (1)当购物金额为元时，选择_____超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为元时，选择_超市（填“”或“”）更省钱； (2)若购物金额为元时，请分别写出在，两超市购物时的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱． 13．（2025·河南安阳·模拟预测）健身不仅能够增强体质、提高免疫力，还能塑造健美的体态，促进心理健康．某健身馆原定健身的收费标准是60元/次，后来为吸引顾客，特推出两种优惠方案，方案1：每次健身按标价的八折收费；方案2：缴纳300元办理一张会员卡，每次健身按标价的六折收费． (1)若某顾客健身x次，付费总额y元，求两种方案下y关于x的函数解析式； (2)请你用所学知识分析选择哪一种消费方案更划算． 14．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 专练二、一次函数最大利润问题 15．（2025·河南安阳·三模）洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 16．（2025·河南周口·三模）劳动教育是学生德智体美劳全面发展的主要内容之一，植树节前，某校团委计划带领全校学生在光山上种植800棵树，现有两家树苗基地，树苗基地最多可以提供300棵树苗，每棵8元；树苗基地最多可以提供700棵树苗，每棵7元．汽车每千米的运输费用（单位：元）与运输树苗数量（单位：棵）的关系如图所示． (1)根据图象求出关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）． (2)已知树苗基地到光山的路程为200千米，树苗基地到光山的路程为400千米，设该校在树苗基地购买棵，购买800棵树苗的总费用为元（总费用购买树苗费用运输费用），求出关于的函数解析式，及总费用最低的购买方案． 17．（2025·河南商丘·三模）郑州市侯寨乡的樱桃沟盛产樱桃，这里的樱桃不仅成熟早、产量高，而且味道鲜美、色泽光洁、悦人心目，果农小王共采摘了160千克的樱桃进行线上和线下销售，其中线下以20元/千克的标价销售，线上以线下标价的八折销售，全部售完后，销售额为2960元． (1)求线下和线上销售的樱桃质量分别为多少千克； (2)小王又采摘了300千克的樱桃进行线上和线下销售，且售价不变，若线下销售樱桃的质量不超过线上销售樱桃质量的一半，且使售完这批樱桃后销售额最大，应如何对这批樱桃进行销售？ 18．（2025·河南·模拟预测）如图，是隐形第五代战斗机的模型．国庆节前夕，某商场购进A，B两种材质的模型共120架．已知购进2架A种模型和3架B种模型共需花费690元；购进4架A种模型和2架B种模型共需花费780元． (1)求A，B两种材质的模型每架的进价． (2)已知A，B两种材质的模型每架的售价分别为150元和200元．采购信息记录如下： 采购要求 A种模型数量m的范围为 采购优惠 购进A种模型超过60架时，超过部分打六折；B种模型不打折 请设计出商场最佳的购进方案，使所有模型售完后能获取最大利润，并求出最大利润． 19．（2025·河南·模拟预测）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 20．（2025·河南驻马店·三模）某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆．已知用50000元购买A型电动自行车的数量与用60000元购买B型电动自行车的数量相同，A型电动自行车单价比B型少500元． (1)求A、B两种型号电动自行车的单价； (2)若购买A型电动自行车的数量不超过B型电动自行车的倍．设购买A型电动自行车m辆，该商店购进两种型号电动自行车所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求出所需的最少经费． 21．（24-25八年级上·山西太原·期末）神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． (1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 22．（2025·河南南阳·二模）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． (1)求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ (2)已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 23．（2025·河南驻马店·三模）为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 24．（2025·河南驻马店·三模）端午节将至，小红爸爸计划购买A，B两种品牌共20袋糯米制作粽子售卖．已知用400元购买A品牌糯米的袋数与用350元购买B品牌糯米的袋数相同，且A品牌每袋糯米的糯米的价格比B品牌每袋糯米的价格多10元． (1)求A，B两种品牌每袋糯米的价格； (2)小红爸爸计划购买B品牌糯米的袋数不超过A品牌糯米袋数的，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ (3)小红去商家柜台了解到若整箱（5袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠10元．小红猜想购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱会比（2）中的方案更省钱．请通过计算说明小红的猜想是否正确． 专练三、一次函数行程问题 25．（24-25八年级上·山西晋中·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．客人距离厨房门口 B．慧慧比聪聪晚出发 C．聪聪的速度为 D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 26．（2025·陕西西安·模拟预测）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人选择自行车作为出行、出游的交通工具．明明爸爸爱好骑行，五一节假期第一天早晨8：00从家出发骑行，12：00结束．骑行了后，由于路况变化，明明爸爸调整了骑行速度．明明爸爸骑行的路程（）与骑行的时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)明明爸爸出发时约了一位骑友同行，他们一起骑行了后分开，他们共同骑行了多长时间？ 27．（2025·河南·模拟预测）周末，小刚一家开车从家出发前往千米远的某红色教育基地进行参观，当他们行驶小时时，汽车突然发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，他们离家的距离y（千米）与离开家的时间x（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后与之间的函数关系式； (2)在行驶途中，距离红色教育基地千米的地方有一个服务区，求小刚一家离开家多长时间后到达该服务区？ 28．（2025·河南平顶山·二模）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程x（km）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式． (2)已知这辆车的“满电量”为，王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，求该车的剩余电量占“满电量”的百分比． 专练四、实际应用背景下一次函数与二次函数简单综合 29．（2025·河南信阳·三模）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 30．（2025·河南漯河·三模）某学校排球队把“弘扬女排精神，做新时代的奋斗者”作为球队的座右铭，在比赛和训练中，队员们养成了勤于思考，经常反思的好习惯．在一次队内训练中，小明作为后排队员，在己方三米线上方点击球，他的处理方式有两种，若选择扣球，排球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，若选择吊球，排球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．已知点高度为，球网高度为2.24m．小亮依照此情境建立如图的平面直角坐标系，请分析： (1)①若小明选择扣球，若球恰好经球网上方，请求此时的一次函数解析式； ②请计算说明，小明的扣球是否出界（球落点应在底线左方）？ (2)①球网处有对方球员拦网，拦网高度为2.7m，若小明选择吊球，则球在距离轴处达到最高点，且球恰好绕过拦网球员，求此时的二次函数解析式； ②根据场上情况，小明选择吊球时，当球落到三米线的左方才能得分，请计算说明，小明的吊球是否成功？ 31．（2025·河南焦作·二模）信阳毛尖是中国十大名茶之一，信阳某茶叶厂销售一批新毛尖时，销售员小李把市场调研情况绘制成函数图像（如图所示），成本（万元）与销售量（吨）的函数解析式为；销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为，与的图像交于点． (1)求和的值，并解释点的实际意义； (2)当销售信阳毛尖1.5吨时，所获利润是多少万元？ (3)当销售量是多少吨时，可获得200万元的利润？（注：利润=销售额-成本） 32．（2025·河南南阳·二模）现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 (1)求和的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 33．（2025·河南漯河·一模）研究小组进行跨学科主题学习活动，研究某种化学试剂的挥发情况．研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．场景A实验中试剂剩余质量随时间变化的过程可以用一次函数表示．场景B的实验可看作抛物线的一部分．小东结合实际实验和计算得到场景B的数据，如表所示： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） 21 19.5 16 10.5 3 请根据以上信息，解决下列问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，一次函数的图象已画出，请你根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出场景B的关系图象． (2)求场景B中与的函数表达式． (3)当时，上述函数关系仍然成立，通过计算说明化学试剂在哪个场景下挥发所用的时间更长． 专练五、一次函数其它应用类型 34．（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 35．（2025·河南信阳·模拟预测）寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表． 普通间（元/人/天） 三人间 50 双人间 70 单人间 100 宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠． 已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满． (1)若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数； (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (3)小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用． 36．（2025·河南信阳·三模）郑州黄河文化公园是国家4A级旅游景区，公园内已经建成并对外开放五龙峰、大禹山、炎黄二帝塑像等五大景区．旅游区内设置两条线路的门票，经问询知，若买甲线路门票2张，乙线路门票3张，共用190元；买甲线路门票1张，乙线路门票2张，共用110元． (1)分别求甲、乙两线路门票的单价； (2)某旅行团准备购买甲、乙两线路门票共75张，因购买数量较多，景区售票处同意甲线路门票按原价的销售，乙线路门票价格不变，若最终的费用是一个固定值，与购买门票的方案无关，求的值以及固定费用． 37．（2025·河南·模拟预测）2025年中国电影市场迎来开门红，春节档总票房（含预售）破50亿，这一成绩不仅展现了中国电影市场的强劲复苏，也体现了观众对优质影片的高度热情．小麦与同学们约定周末去观看A，B两部电影，共购票12张．A电影每张票32元，B电影每张票40元，设购买了A电影x张票． (1)若小麦和同学们购买两种电影票共花费440元，那么他们购买A电影票和B电影票各多少张？ (2)设他们购买两种电影票总花费为y元，已知小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍，那么购买A电影票多少张时，可使他们花费最少，最少花费是多少？ 38．（2025·河南信阳·三模）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式； (2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式： (3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？ 39．（2025·河南洛阳·三模）烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出两种套餐，套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； (1)求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ (2)每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的套餐数量是套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件种套餐？最大利润为多少？ 40．（2025·河南濮阳·二模）某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 41．（2025·河南信阳·模拟预测）为促进旅游业发展，今年某地多个景点联合推出旅游年票．具体购买方式如下． 方案 购票方式 方案一 各个景点每次收费20元． 方案二 A种年票，每张180元，各个景点不再收费． 方案三 B种年票，每张50元，各个景点每次收费10元． 小明预计今年在该地各个景点共旅游m次，所需费用为y元． (1)直接写出不同方案下y关于m的函数表达式． (2)若小明发现分别采用方案一、方案三旅游m次所需费用相同，求m的值． (3)小明决定购买年票，请你帮助小明分析购买哪种年票更划算． 42．（2025·河南驻马店·三模）某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． (1)求这款笔记本的单价． (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． (3)根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 43．（2025·河南郑州·一模）如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题． (1)最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． (2)求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是． (3)已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱． 44．（2025·河南商丘·二模）洛阳牡丹文化节前身为洛阳牡丹花会，已入选国家非物质文化遗产名录．某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植两种品种的牡丹，已知购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元． (1)两种牡丹每棵分别为多少元？ (2)该景区计划购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元，共有多少种购买方案？ (3)购买时发现，A种牡丹单价上涨了a元，B种牡丹单价不变，在（2）的条件下，最低费用需6625元，请直接写出a的值． 45．（2025·河南·模拟预测）老张投资48000元建设一个网店销售某型号电子产品，已知该电子产品进价为80元/个，如图为网店的日销售量（个）与销售价（元）之间的关系图象． (1)求日销售量（个）与销售价（元）之间的函数关系式； (2)老张聘用4名员工参与销售与发货，员工工资为150元/天，网店每天的其他费用为200元． ①当该电子产品定价为多少元时，每天的销售收入有最大值，并求出这个最大值； ②在①的条件下，多少天能收回成本？ 试卷第2页，共61页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$