培优02 一元二次方程的应用类型题（11大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

培优02 一元二次方程应用题类型（11大题型） 题型1 传播问题 设每轮传播中一个源传染x个新个体，经过n轮后总感染数为初始数×(1+x)ⁿ。根据题意列方程(1+x)ⁿ=总人数。注意区分每轮新增感染数和累计感染数，常涉及平方运算。 1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 3．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 题型2 增长率问题  设基数为a，增长率为r，经过n期后总量为a(1+r)ⁿ。降低率时用a(1-r)ⁿ。关键要分清增长次数，正确列出指数方程，常需要开方运算求解增长率。 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 7．（2025·上海·模拟预测）超能果，网球大小，色紫，叶大而色浅绿，食用时可以给超能市居民健体．一家超能果批发商正在开展日常工作，请你帮助工作人员完成两个工作任务． 【任务一】已知员工已任职月数m（月）关于当月工资（元）的函数解析式是．五名员工A、B、C、D、E的已任职月数m和当月工资y见下表． 填写表格空格，并且用函数的增减性，得出领中位数工资的员工名称． 名称 A B C D E m 5 6 0 11 ________ y ？ ？ ________ ？ 1200 【任务二】批发市场在2133年共售出1000吨超能果，年间对比前一年总销售量的增长率如下方折线图所示（）．若2136年总共售出1320吨超能果，求a的值． 名称 A B C D E m 5 6 0 11 3 y ？ ？ 600 ？ 1200 8．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 题型3 与图形有关的问题 利用几何公式（面积、周长、勾股定理等）建立方程。设未知数表示边长，根据图形性质列式。注意检验解的合理性，舍去不符合实际意义的负根或超长根。 9．（2025·云南昆明·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图①，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条、横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（注意：为了使同学们更好的解答本题，我们提供了一种思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题的解答．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．） 分析：由横、竖彩条宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好的寻找题目中的等量关系、将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2的情况，得到矩形． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： ； ；矩形的面积为 ．列出方程并完成本题的解答． 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 题型4 数字问题 设个位数字为x，十位数字为y，则原数为10y+x。根据数字间关系（和、差、倍、调换位置等）列方程。注意数字取值范围：0≤x≤9，1≤y≤9，且为整数。 13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 14．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 15．（24-25八年级下·山东烟台·期中）淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 16．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 题型5 工程问题 将总工作量视为1，工作效率=1/工作时间。设未知工作效率或时间，根据合作或先后工作关系列方程。注意：合作时工作效率相加，工作时间相同。 17．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 18．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 19．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 20．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 题型6 行程问题 运用路程=速度×时间公式。设速度或时间为未知数，根据相遇、追及、往返等情景列方程。注意顺逆流、上下坡时速度的变化，以及时间的一致性。 21．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 22．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 23．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 24．（2025·江苏南京·三模）（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 题型7 其它类型问题 包括浓度、年龄、比例等问题。抓住核心关系：浓度问题中溶质不变；年龄问题中年龄差不变；比例问题中交叉相乘相等。根据具体情境灵活设元列方程。 25．（21-22八年级上·浙江台州·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设这批椽有株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 26．（2025·山东威海·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 27．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 28．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： 场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． (1)大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； (2)在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 题型8 图表信息问题 从表格或图表中提取数据信息，确定已知量和未知量之间的关系。可能涉及多个数据点的比较分析，需要将图表信息转化为数学表达式，建立方程求解。 29．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 30．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 31．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 32．（19-20九年级下·上海静安·课后作业）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 题型9 握手、循环赛问题 单循环赛和握手问题公式：总次数=n(n-1)/2，其中n为人数或队数。设参与方数量为未知数，根据总次数列方程。注意公式的推导和理解。 关键：检查是否互素或含公约数，排除非本原解（如6,8,10需约分）． 33．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 34．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 35．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 36．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 题型10 营销问题 掌握利润=售价-进价，总利润=单利×销量。设涨价或降价金额为x，用x表示销量变化，根据总利润目标列方程。注意销量与价格通常成反比关系。 37．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 38．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 39．（25-26九年级上·重庆·开学考试）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 40．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题： 甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走路线，全程1500千米，乙队走路线，全程1600千米，但路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天． (1)求甲、乙两队原计划分别自驾多少天？ (2)甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了人，经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求的值． 题型11 动点问题 设运动时间为t，用t表示动点位置和线段长度。根据几何关系（相似、勾股定理等）建立面积或长度的二次函数关系，最终转化为方程求解。注意t的取值范围。 41．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 42．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 43．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 44．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 培优综合练 45．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·重庆·期中）已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 47．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 48．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 49．（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 50．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 51．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 52．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 53．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 54．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 55．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 56．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 57．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 58．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图①，中，，，，中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点A出发，沿方向匀速运动，速度为与交于点，连接，．设运动时间为t（）（）．解答下列问题： (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，？ (3)如图③，与关于直线对称，连接． ①当时，求t的值； ②是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 59．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件，则_________，_________； 选择条件，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 60．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 试卷第2页，共88页 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 一元二次方程应用题类型（11大题型） 题型1 传播问题 设每轮传播中一个源传染x个新个体，经过n轮后总感染数为初始数×(1+x)ⁿ。根据题意列方程(1+x)ⁿ=总人数。注意区分每轮新增感染数和累计感染数，常涉及平方运算。 1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到答案． 【详解】解：依题意，得：， 即． 解得： (不合题意，舍去)． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 题型2 增长率问题  设基数为a，增长率为r，经过n期后总量为a(1+r)ⁿ。降低率时用a(1-r)ⁿ。关键要分清增长次数，正确列出指数方程，常需要开方运算求解增长率。 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程． 【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 ∴， 即， 故选：A． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设平均季度增长率为，根据题意列出一元二次方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设平均季度增长率为． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为． 7．（2025·上海·模拟预测）超能果，网球大小，色紫，叶大而色浅绿，食用时可以给超能市居民健体．一家超能果批发商正在开展日常工作，请你帮助工作人员完成两个工作任务． 【任务一】已知员工已任职月数m（月）关于当月工资（元）的函数解析式是．五名员工A、B、C、D、E的已任职月数m和当月工资y见下表． 填写表格空格，并且用函数的增减性，得出领中位数工资的员工名称． 名称 A B C D E m 5 6 0 11 ________ y ？ ？ ________ ？ 1200 【任务二】批发市场在2133年共售出1000吨超能果，年间对比前一年总销售量的增长率如下方折线图所示（）．若2136年总共售出1320吨超能果，求a的值． 【答案】【任务一】：表格见解析，领中位数工资的员工为A；【任务二】： 【分析】本题考查了一元一次函数的图象性质，一元二次方程的实际应用： （1）令和求解即可补全表格；根据一次函数的图象性质即可得到领中位数工资的员工名称； （2）根据折线图可知2134年售出1000吨超能果，然后根据2136年总共售出1320吨超能果及折线图给的增长率即可列出方程并求解得出答案． 【详解】（1）【任务一】对于， 当时，， 当时，， 故表格补全为： 名称 A B C D E m 5 6 0 11 3 y ？ ？ 600 ？ 1200 根据一次函数的图象性质，∵， ∴y随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴领中位数工资的员工为的员工A； (2)【任务二】根据折线图，可得2134年对比2133年增长率为0%，即2134年售出1000吨超能果． 可列方程， 解得， ∵， ∴． 8．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 【答案】(1) (2)方案②更优惠 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ()设出平均每次下调的百分率为，第一次下调后 的价格为元，第二次下调后的价格为元，根据已知销售价格列方程解答即可． ()分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 第一次下调后的价格为元，第二次下调后的价格为元， 根据题意，可列方程： ， ， 当时，， 当时，（下调百分率不能大于，舍去）， 所以，平均每次下调的百分率为． （2）方案①： 住房面积是平方米，开盘均价为每平方米元，打折销售， 那么总房款为：(元) ； 方案②： 不打折，一次性送装修费每平方米元， 那么实际支付款为： (元) ∵， ∴方案②更优惠． 题型3 与图形有关的问题 利用几何公式（面积、周长、勾股定理等）建立方程。设未知数表示边长，根据图形性质列式。注意检验解的合理性，舍去不符合实际意义的负根或超长根。 9．（2025·云南昆明·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 10．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 11．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图①，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条、横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（注意：为了使同学们更好的解答本题，我们提供了一种思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题的解答．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．） 分析：由横、竖彩条宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好的寻找题目中的等量关系、将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2的情况，得到矩形． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： ； ；矩形的面积为 ．列出方程并完成本题的解答． 【答案】；；；每个横、竖彩条的宽度分别为， 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，用含的代数式表示出矩形的面积是解题的关键． 因为每个竖彩条的宽为，图中有两个竖条，得到，又每个横彩条的宽为，图中有两个横条，所以，然后用即为矩形的面积，从题中已知可知矩形的面积等于总体面积的，根据题中的等量关系：矩形的面积列出方程求解，再根据条件取值． 【详解】解：， ， 矩形的面积为∶， 根据题意，得， 整理，得， 解方程，得 (不合题意，舍去)， 则 每个横、竖彩条的宽度分别为，． 故答案为；； 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 题型4 数字问题 设个位数字为x，十位数字为y，则原数为10y+x。根据数字间关系（和、差、倍、调换位置等）列方程。注意数字取值范围：0≤x≤9，1≤y≤9，且为整数。 13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 15．（24-25八年级下·山东烟台·期中）淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键． 根据题意，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，即， 解得：， 或， ， ， ∵a为正数， ． 故选：A． 16．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， （2）解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 题型5 工程问题 将总工作量视为1，工作效率=1/工作时间。设未知工作效率或时间，根据合作或先后工作关系列方程。注意：合作时工作效率相加，工作时间相同。 17．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 18．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 19．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 20．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 题型6 行程问题 运用路程=速度×时间公式。设速度或时间为未知数，根据相遇、追及、往返等情景列方程。注意顺逆流、上下坡时速度的变化，以及时间的一致性。 21．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 22．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 23．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 24．（2025·江苏南京·三模）（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】（1）；（2），；（3）；不可以， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． （1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可； （2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； （2）， ， 到达所用的时间为：， 故答案为：，； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的游泳轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或， ， ， 题型7 其它类型问题 包括浓度、年龄、比例等问题。抓住核心关系：浓度问题中溶质不变；年龄问题中年龄差不变；比例问题中交叉相乘相等。根据具体情境灵活设元列方程。 25．（21-22八年级上·浙江台州·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设这批椽有株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株，由题意可列方程为， 故选：A． 26．（2025·山东威海·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 【答案】停车位的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 27．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 【答案】(1)圆柱B的底面积是 (2)水箱中,圆柱放入之前的水面高度是 【分析】考查圆柱和长方体体积的问题及一元二次方程的应用，掌握体积公式是做题的关键． （1）考查了圆柱体积公式，根据A与B体积相等列方程求出即可， （2）水面与A平，所以能求出加入A和B后总的体积，减去A和B圆柱的体积可得长方体中水的体积，由长方体体积公式可求出高度． 【详解】（1）解：设圆柱B的底面半径为， 由题意，得圆柱B的高为， ∵圆柱A与圆柱B的体积相同， ∴， 解得， ∵π取3， ∴圆柱B的底面积， 答：圆柱B的底面积是； （2）两个圆柱放入长方体后，总体积， ∵， ∴， ∴水箱中，圆柱放入之前的水体积， ∴水箱中，圆柱放入之前的水面高度， 答：水箱中，圆柱放入之前的水面高度是． 28．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： 场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． (1)大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； (2)在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 【答案】(1)这支球队胜了5场 (2)这种方案共需要 119 场比赛能决出冠军 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设这个球队胜了x场，则平了场，根据总得分为18分建立方程求解即可； （2）设一共有m支球队参加比赛，根据单循环场次计算方法列出方程求出参与的球队数，进而求出每个小组的球队数，则可求出小组赛的场次，再求出淘汰赛的场次即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个球队胜了x场，则平了场， 由题意得，， 解得， 答：这支球队胜了5场； （2）解：设一共有m支球队参加比赛， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴一共有32支球队参加比赛， ∵一共分成四个小组， ∴每个小组有支球队， ∴小组循环赛一共有场比赛， ∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴淘汰赛一共有支球队， ∴淘汰赛一共有场比赛， ∴一共有场比赛， 答：这种方案共需要119场比赛能决出冠军． 题型8 图表信息问题 从表格或图表中提取数据信息，确定已知量和未知量之间的关系。可能涉及多个数据点的比较分析，需要将图表信息转化为数学表达式，建立方程求解。 29．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 30．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 31．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 32．（19-20九年级下·上海静安·课后作业）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 【答案】（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折 【分析】（1）根据月功能费在扇形统计图中所占比例计算即可. （2）用短信费所占比例乘以即可. （3）用第（1）问中求出的总话费，分别乘以基本话费和长途话费所占比例，求出两者具体金额后填图. （4）可设长途话费的月平均减少率为，根据题意“两个月后，月长途花费将降至28.8元”可得，解一元二次方程即可. 【详解】（1）元 （2）. （3）如图， （4）解：设平均减少率为，据题意得     解得 答：长途话费的月平均折扣为八折. 【点睛】本题综合考查了条形统计图与扇形统计图中的数据关系，和一元二次方程解决问题中的增长率问题，熟练掌握相关知识点，找到其中的数量关系并列式计算是解答关键. 题型9 握手、循环赛问题 单循环赛和握手问题公式：总次数=n(n-1)/2，其中n为人数或队数。设参与方数量为未知数，根据总次数列方程。注意公式的推导和理解。 关键：检查是否互素或含公约数，排除非本原解（如6,8,10需约分）． 33．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 34．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 35．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 36．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 题型10 营销问题 掌握利润=售价-进价，总利润=单利×销量。设涨价或降价金额为x，用x表示销量变化，根据总利润目标列方程。注意销量与价格通常成反比关系。 37．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每个玩偶降价元． 38．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 【答案】(1)该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为 (2)每个钥匙扣应降价8元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由表格先得出月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式，然后再根据题意可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得： ， 解得：， ∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：每个钥匙扣应降价8元． 39．（25-26九年级上·重庆·开学考试）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 40．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题： 甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走路线，全程1500千米，乙队走路线，全程1600千米，但路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天． (1)求甲、乙两队原计划分别自驾多少天？ (2)甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了人，经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求的值． 【答案】(1)甲原计划需要5天，乙原计划需要4天 (2) 【分析】本题主要考查了列分式方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设甲原计划需要天，则乙原计划需要天，根据速度的关系，列出方程求解即可； （2）根据题意，表示出甲乙两队的总费用，根据费用的数量关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲原计划需要天，则乙原计划需要天，根据题意得： 解得， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ∴， ∴甲原计划需要5天，乙原计划需要4天； （2）解：根据题意得： ， 解得或（舍去） 所以，． 题型11 动点问题 设运动时间为t，用t表示动点位置和线段长度。根据几何关系（相似、勾股定理等）建立面积或长度的二次函数关系，最终转化为方程求解。注意t的取值范围。 41．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，当爬行或时，两只老鼠与点组成的三角形的面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、垂直平分线的性质以及三角形面积公式，正确列出方程是解题的关键． 设爬行时间为，则，，；再根据两只老鼠与点组成的三角形的面积为可得，进而求解即可． 【详解】解：存在． 垂直平分，， ． 设爬行时间为． 当老鼠在上运动时，，，． 由，得． 整理，得， 解得，． 当时，； 当时，， 和均符合题意． 故答案为：当爬行或时，两只老鼠与点组成的的面积为． 42．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 43．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 44．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 培优综合练 45．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得． 故答案为：B 46．（24-25八年级下·重庆·期中）已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意及不等式性质即可判断①；结合不等式性质即可判断②；根据题意得出a，c之间共有个或个整数，分三种情况：当时，当时，当时，分别根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵正实数a，b，c满足（均不为整数）， ∴，故①正确； ②， ∴， ∴a，c之间共有个或个整数，故②错误； ∵若（k为正整数），，， ∴当时， a，c之间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，， b，c之间的个整数为，，，， ， 或． 当a、c上有个整数，，无整数解． 当时，a、c间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，，， ， 或， 当，a、c间有个整数时， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，，， b，c之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ，故③错误； 故选：B． 47．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 48．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据旋转与菱形的性质、勾股定理可以求出的长度；如图（3）：过J作于M，连接，然后证明四边形是平行四边形可得长度，求出，再利用三角形面积公式列一元二次方程即可得的长度． 【详解】解：如图（2）：设，则， ， ∵挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合， ， ∴， ∵四边形为菱形， ， 在中，， ∴，解得：或（舍去） ； 如图（3）：过J作于M，连接， ∵， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， 整理得：，解得：， ， ； ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识点，熟练掌握并运用这些性质和添加适当的辅助线是解此题的关键． 49．（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 【答案】任务1∶120元；任务2：150元；任务3：见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：根据题意，列出方程，即可求解； 任务3：设所获利润为w元，根据题意列出w关于x的函数关系式，求出当时，根据保证日销售利润不低于3030元，可得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意得：， 解得：， 即每只龙泉青瓷茶杯的进价为120元； 任务2：根据题意得：， 整理得： 解得：， ∵每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售， 所以该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：设所获利润为w元，根据题意得： 当时，， ∵保证日销售利润不低于3030元， ∴， 解得：， ∵且m为整数， ∴m取2， 当时，日捐款总额为元； 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 50．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【分析】（1）证明，进而用即可证明； （2）过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，设，则，，证明，得到，由此得到，设直线的解析式为，将，代入得到，解方程求出a值即可． 【详解】解：， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ． （2）如图1，过点作轴于， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 等腰，，， 又轴，轴轴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， ， 直线的解析式为， 与轴交点， ； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，如图： 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，解分式方程等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题． 51．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】(1) (2)，底面正三角形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则，过点作于点，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍）， 答：裁去的正方形边长； （2）解：延长交于点， ∵等边， ∴， 由矩形可得： ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴ ∵， ∴ 过点作于点，则， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ， ∴， 将代入， 则 解得：， ∴等边三角形边长为． 52．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 53．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 54．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 55．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 【答案】(1)， (2)小李家1月的月分类垃圾总量是千克 (3) 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列出代数式，方程是解题的关键． （1）根据题意，分段收费计算即可； （2）设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克，根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据各段的费用计算即可求解； （3）设2月份的A类垃圾为千克，由题意可得，再由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：∵超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴当时，（分）， 当时，（分）， 故答案为：，； （2）解：已知超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴每千克积分， 已知超过300千克的部分，每20千克积15分， ∴每千克积分， 设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，， ∴小李家1月的月分类垃圾总量是千克； （3）解：月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分， ∴每千克积（分）， 由（2）可知，小李家1月的月分类垃圾总量是千克，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克， ∴小李家2月的月分类垃圾总量是千克， 设2月份的A类垃圾为千克， ∴， 解得，， ∴（千克）， ∴小李家2月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∵3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加， ∴小李家3月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∴ 解得，． 56．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 57．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 58．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图①，中，，，，中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点A出发，沿方向匀速运动，速度为与交于点，连接，．设运动时间为t（）（）．解答下列问题： (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，？ (3)如图③，与关于直线对称，连接． ①当时，求t的值； ②是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或， (3)①；②存在，． 【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可； （2）如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为H，根据（1）d得到，再由，得出求出，，由三角形面积公式得出，最后根据，得出，据此列方程进行求解即可； （3）①连接交于M，由对称性质可知，，由此得出当时，四边形是平行四边形；据此得出，列方程即可求出；②根据菱形对角线相互垂直平分，得出，结合线段长列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，∵ ，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图②所示，由题意得，， ∴， ∴， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点B在线段的垂直平分线上． （2）解：如图②所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为H， 由（1）可知，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 解得：，， 即当或时，. （3）解：如图③所示，连接交于N， ∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∴， 由（1）可知， ∴， ∴，即四边形是平行四边形； ②当四边形为菱形时，如图③，，， 由①得， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴ ∴， 综上所述，存在使． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 59．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件，则_________，_________； 选择条件，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 【答案】，； ，； ； 【类比迁移】，； 【拓展应用】，方程的正根为或． 【分析】当，时，可以求出，，根据正方形的面积公式分别求出大正方形和小正方形的面积； 根据正方形的面积公式可得、，再根据正方形的边长不能是负数可得方程组，解方程组求出、的值； 根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可得，， ，利用完全平方公式之间的关系可得：，从而得到：、，解方程组求出、的值； 仿照i小桐的方法构造正方形，利用正方形的面积公式可得方程，解方程求出：，，因为表示的是正方形的边长，所以要把负数舍去； 【拓展应用】：仿照【类比迁移】构造正方形，利用正方形的面积公式求解． 【详解】解：当，时， ，， ，；     解：，， ，， 、表示的是三角形的边长， ，， ， 解得：， ，；     ， ， ， 、表示的是三角形的边长， 、表示的均为正数， ，     ， ，、均为正数， ， 方程组， 得：； 【类比迁移】：如下图所示，长方形的长为，长比宽多， 则长方形的面积为，小正方形的边长为， 大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积也可以表示为， 整理得：， ， 解得：，(舍去)， 故答案为:，； 【拓展应用】：如下图所示，已知每个矩形的面积为， ， ， 中间围成的正方形的面积为， ， 或(舍去)， ， 整理得：， ， 解得：，， 方程的正根为或． 【点睛】本题主要考查了数形结合的思想，解决本题的关键是根据方程中未知数之间的关系构造正方形，利用正方形的面积公式解一元二次方程． 60．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当与的边平行时，或或或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据题意表示出，即可求解； （2）分当落在上时，当在上时，得出四边形是矩形，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）同（2）分两种情况讨论，根据题意得出或；或，建立方程解方程，即可求解； （4）根据题意，分四种情况讨论，找到等量关系，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∴ ∵在上的速度为每秒1个单位， ∴重合时， ∵在上的速度变为每秒个单位， ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示，当落在上时， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴，则 ∴ 解得： 如图， 当在上时， 同理可得四边形是矩形，，则 ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，当点落在的边上时，或 （3）解：如图所示，当在上时，设，交于点，此时 在中，，，则 ∴ ∵，则 ∴ ∴， 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去） 如图，当在上时，设，交于点，此时 在中， ∴， 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 （4）解：如图所示，当在上时，设，交于点，交于点，连接，此时 当时， ∴ ∴，则 由（3）可得， ∴ ∵，则 在中，，则 ∴ ∴ ∴ 解得： 如图所示， 时，在上时，此时 延长交于点， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时 延长交于点， 同理可得，即 ∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时，设交于点，交于点， ∵， ∴ 依题意，， ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵ ∴ 解得： 综上所述，当与的边平行时，或或或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 试卷第2页，共88页 2 / 86 学科网（北京）股份有限公司 $