第二章 一元二次方程（单元测试·基础卷）数学北师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D D A B C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．2 13．2 14． 15．且 16．16或24 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ ，．................................3分 （2）解：∵ ，其中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，．................................6分 18． 【详解】解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式 ②， ③ 四，没有正确运用平方根的意义；................................3分 任务二：解：原方程可化为：， 配方得：， 即 ， ∴， ∴ 或．................................6分 19． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解，................................3分 （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是．................................6分 20． 【详解】（1）解：设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(舍去)， 该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为；................................3分 （2）解：设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元， 根据题意可得：， 解得：，， 当售价定为元或元时月销售利润都能达到元， 为了尽可能让顾客得到实惠，售价应定为元．................................6分 21． 【详解】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根................................3分 （2）解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上，................................8分 22． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为．................................4分 （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．................................8分 23． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， 即m的取值范围为；................................3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴， 解得或， 由（1）可知，， ∴m的值为7．................................8分 24． 【详解】（1）解：设木栏的长为x米，根据题意，得竖直方向围墙需要栅栏长度为， ∵建成后木栏总长45米， ∴， ∴． 故答案为：．................................2分 （2）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， 答：花园面积是，此时边的长为21米．................................8分 （3）解：饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．理由如下： 设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， ∵， ∴没有实数根， ∴饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．................................12分 25． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”．................................4分 （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或．................................8分 （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或．................................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 3．将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5．一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 8．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 9．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 10．如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将关于的一元二次方程化成一般式为 ． 12．已知方程可转化为，则 ． 13．若是方程的两个根，则 ． 14．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ． 16．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 18．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 20．为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 21．已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 23．已知是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． 24．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个1米宽的门（不用木栏），通道的宽也为1米（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设木栏的长为x米，解答下列问题： (1)________米．（用含x的代数式表示） (2)若饲养场（矩形）的面积为189平方米，求边的长； (3)饲养场（矩形）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B． 方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； C． 方程含两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合题意； D． 方程未明确，当时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解： 方程化为一般形式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3，， 故选：D 3．将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可． 【详解】解： ∴； 故选C． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；首先求出根的判别式的值，然后根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 6．若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 若方程无实数根，则需满足，即， 解得． 故选：D． 7．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 8．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 9．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质． 先解方程得到对角线可能的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，最后计算面积． 【详解】解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 10．如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键．先证出两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，再证出，设，则，利用平行四边形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 由平移的性质得：， ∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16， ∴， 解得，符合题意， 即， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将关于的一元二次方程化成一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；（是常数，且）． 将关于的一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一般式为， 故答案为： ． 12．已知方程可转化为，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．根据题意可得，整理可得，即可获得答案． 【详解】解：由， 可得， 整理，得， 所以． 故答案为：2． 13．若是方程的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2 14．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．当时，方程有两个相等的实数根．当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有实数根，，且，然后解两个不等式得到a的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 16．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 【答案】16或24 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，首先解方程，再根据运算“※”： ※，求出的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：或6， ①当时，； ②当时，． 故答案为：16或24． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，熟练掌握这两种方法是解题的关键． (1) 对于方程 ，可以考虑使用因式分解法来求解，即找到两个数，它们的乘积为，且它们的和为，这两个数分别是和2，所以可以将方程分解为 ，从而得到方程的解． (2) 对于方程 ，由于不易直接因式分解，可以使用一元二次方程的求根公式来求解，即 ，其中 ． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ ，． （2）解：∵ ，其中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 18．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【答案】任务一：①等式的基本性质；②；③四；没有正确运用平方根的意义 任务二：， 【分析】本题考查等式的性质，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等． 任务一：①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意义作答即可； 任务二：配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式 ②， ③ 四，没有正确运用平方根的意义； 任务二：解：原方程可化为：， 配方得：， 即 ， ∴， ∴ 或． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 20．为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题中的数量之间的关系列方程求解，并把不符合实际情况的解舍去． 设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为，根据连续增长两个月后销量由原来的个增加到个，可列关于的一元二次方程，其中的负数解不符合题意应舍去； 设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元，根据销量单件利润总利润列出关于的方程，为了尽可能让顾客得到实惠应选择较低的定价． 【详解】（1）解：设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(舍去)， 该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元， 根据题意可得：， 解得：，， 当售价定为元或元时月销售利润都能达到元， 为了尽可能让顾客得到实惠，售价应定为元． 21．已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2）解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上， 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 23．已知是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． 【答案】(1)m的取值范围为 (2)m的值为7 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据是关于x的一元二次方程的两实数根，可知，然后求解即可； （2）根据，根与系数的关系和（1）中m的取值范围，可以计算出m的值． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， 即m的取值范围为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴， 解得或， 由（1）可知，， ∴m的值为7． 24．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个1米宽的门（不用木栏），通道的宽也为1米（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设木栏的长为x米，解答下列问题： (1)________米．（用含x的代数式表示） (2)若饲养场（矩形）的面积为189平方米，求边的长； (3)饲养场（矩形）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解； （3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，熟练掌握矩形的性质，根的判别式，一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设木栏的长为x米，根据题意，得竖直方向围墙需要栅栏长度为， ∵建成后木栏总长45米， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， 答：花园面积是，此时边的长为21米． （3）解：饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．理由如下： 设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， ∵， ∴没有实数根， ∴饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米． 25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 3．将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5．一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 8．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 9．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 10．如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将关于的一元二次方程化成一般式为 ． 12．已知方程可转化为，则 ． 13．若是方程的两个根，则 ． 14．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ． 16．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 18．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 20．为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 21．已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 23．已知是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． 24．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个1米宽的门（不用木栏），通道的宽也为1米（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设木栏的长为x米，解答下列问题： (1)________米．（用含x的代数式表示） (2)若饲养场（矩形）的面积为189平方米，求边的长； (3)饲养场（矩形）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$