培优01 一元二次方程的解法（8大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

null 培优01 一元二次方程的解法（8大题型） 题型1 一元二次方程一般形式的辨析 标准形式为 ax2+bx+c=0（a≠0）。核心验证二次项系数非零，若含参（如 k），需讨论 k=0（降次）和 k≠0 两种情况，合并同类项后按a,b,c 定位系数． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 题型2 一元二次方程根的性质应用与估算   利用一元二次方程的根使原方程成立，得到关于方程根已知值的代数式，通过代入、凑项等方法求代数式的值；利用f(m)⋅f(n)<0 判根区间，估算一元二次方程的根经常采用逼近法（如​≈2.236）． 6．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 8．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 9．（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 11．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若是方程的一个根，则 12．（24-25八年级下·山东威海·期末）对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 题型3 应用配方法解一元二次方程  步骤固定：①移常数项；②配常数（加 ，同时减）；③化 (x+h)2=k；④开方时取 ±；关键：当a=1 时，先提 a 再配方（如 2x2+4x=2(x2+2x)）． 14．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在解方程时，对方程进行配方，图①中是嘉嘉做的，图②中是琪琪做的．对于两人的做法，下列说法正确的是（   ） ． 图① ． 图② A．两人都正确 B．嘉嘉正确，琪琪不正确 C．嘉嘉不正确，琪琪正确 D．两人都不正确 17．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 18．（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 19．（24-25九年级下·天津静海·开学考试）解方程： (1) (2) 20．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用配方法解下列方程： 题型4 一元二次方程根的判别式的应用 策略：Δ=b2−4ac 决定解的特性：Δ>0：两不等实根；Δ=0：两相等实根；0Δ<0：无实根。扩展应用：证根的情况（如“恒有两实根”需 Δ≥0）；求参数范围（如 Δ<0 解不等式）． 21．（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）方程的根的情况是（   ） A．有两个不等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．无法判定 22．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 24．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级下·湖南衡阳·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 26．（24-25九年级上·陕西西安·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 27．（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 29．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 题型5 用公式法解一元二次方程 直接套公式：，步骤：①算 Δ；②代入求根；③0Δ<0 时写无实根；注意： a,b,c 含负号时符号勿忽略符号． 30．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 33．（24-25八年级下·广西崇左·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③ 34．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 35．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 36．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 37．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 38．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）（1）解方程：． （2）小强用配方法求解一元二次方程的过程如下： 解：二次项系数化1，得第一步 移项，得第二步 配方，得第三步 即第四步 直接开平方，得第五步 即，第六步 请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第_____步开始出错了，并加以改正． 题型6 用因式分解法解一元二次方程 前提：方程可化为 A⋅B=0 型（如  (x−2)(x+3)=0）． 方法：十字相乘法（首选）：分解常数项，交叉凑 b 值；提公因式法： x2−4x=x(x−4)=0；公式法：用平方差 a2−b2=(a+b)(a−b)． 39．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 41．（23-24九年级上·广东梅州·期末）对于实数，我们定义新运算※，则方程※的解为 ． 42．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ． 43．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 44．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 45．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）在中，，的长恰好是一元二次方程的一个实数根，求该三角形的面积． 题型7 换元法的应用 识别重复结构（ (x2+1)2−3(x2+1)+2=0）。步骤：①设 t=整体（如t=x2+1）；②解tt 的方程；③回代解 x；④验根；关键：新元tt 需满足原式范围． 46．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 47．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 48．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 49．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 50．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）已知实数满足，则的值为 ． 51．（24-25八年级下·上海·阶段练习）在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 52．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，那么 （）方程解为 ； （）解为 ． 53．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 题型8 一元二次方程根与系数关系的应用 韦达定理： x1​+x2​=，x1​x2​=。应用方向：求对称式值（如 ）；构造新方程（以 x1​+x2​ 和 x1​x2​ 为系数）；已知根关系求参数（如 x1​=2x2​ 时联立韦达定 k）． 54．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 55．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 56．（24-25九年级下·湖南衡阳·开学考试）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 57．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 58．（24-25九年级上·福建福州·期末）若实数，满足，，，且，则 ． 59．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 60．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则 ． 61．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 62．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为2 (1)求c的值； (2)求该方程的另一个根． 63．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求的取值范围． 64．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若，是菱形两条对角线的长，且，是一元二次方程的两个根，求菱形的周长． 65．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的一元二次方程．试根据下列条件求m的值． (1)两根互为相反数． (2)两根之和等于3． (3)两根之积等于1． (4)两根的平方和等于8． (5)两根之和的相反数等于两根之积． 66．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 培优综合练 67．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，，则（   ） A．线段的长是方程的一个解 B．线段的长是方程的一个解 C．线段的长是方程的一个解 D．线段的长是方程的一个解 68．（24-25八年级下·重庆·期末）在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则 ． 69．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）互不相等的实数，，满足，． (1)若存在最小整数值，求整数． (2)若，为整数，求的值． 70．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 71．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 72．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 73．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 74．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 75．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 76．（2025·河南周口·三模）综合与实践 在数学实践课上，实践小组了准备一张等腰直角三角形纸片和一张正方形纸片进行实验探究． 如图，与正方形的顶点重合，，连接，射线与射线交于点． 初步探究 （1）如图1，当点在上，三点共线时，则的值是_____，的度数为______． 操作探究 （2）在图1的基础上，将正方形绕点顺时针旋转得到图2，连接．求证：． 拓展探究 （3）在图1的基础上，将正方形绕点顺时针旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长． 77．（24-25八年级下·海南三亚·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与x轴交于点，P是线段上的一个动点（与点A、B不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积： (3)当时，求函数的最大值和最小值之差； (4)当函数且线段的值最小时，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，请直接写出线段的值． 78．（24-25八年级下·广西梧州·期末）【方法回顾】（1）如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点．我们运用全等和正方形等知识进行推理可以知道，线段，，之间的数量关系是____________________； 【问题解决】（2）如图2，菱形的边长为，过点且垂直于的直线交边于点，过作，与直线交于点，点是上一点，且，求的长； 【思维拓展】（3）如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则_____．（用含的式子表示） 试卷第2页，共61页 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$