黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市宾县一中高二（下）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果函数y=f（x）在x=1处的导数为1，那么=（　　） A. B. 1 C. 2 D. 2.函数f（x）=1-x+x2的极小值为（　　） A. 1 B. C. D. 3.下列函数求导运算正确的是（　　） A. B. （e-x）′=e-x C. （xcosx）′=cosx+xsinx D. 4.已知曲线f（x）=x2-2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）=（　　） A. B. C. D. 5.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）极值点的个数为（　　） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 6.若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（3x）≥1恒成立，则实数a的最小值为（　　） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 7.若，则以下不等式正确的是（　　） A. c＞b＞a B. a＞b＞c C. b＞a＞c D. b＞c＞a 8.函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R.若f（1）=e,xf′（x）＜（x-1）f（x），则不等式f（lnx）•lnx＞x的解集为（　　） A. （1，+∞） B. （0，1） C. （0，e） D. （e,+∞） 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若函数f（x）=x3-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的可能取值是（　　） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 10.已知函数f（x）=（x+1）（ex-x-1），则下列说法正确的有（　　） A. f（x）有唯一零点 B. f（x）无最大值 C. f（x）在区间（1，+∞）上单调递增 D. x=0为f（x）的一个极小值点 11.对于函数f（x）=xlnx,下列说法正确的是（　　） A. 当时，x1lnx1＜x2lnx2 B. 若f′（x）是函数f（x）的导数，则f′（x）≤x C. 对任意x＞1都有f（x）＜a（x2-1），则 D. 设在定义域上有两个不同的极值点x1，x2，则x1+x2＞2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f（x）=x3-3x2+2在x=1处的导数值为______. 13.已知函数f（x）=（x-1）3-3x-b+1，若f（x）有三个零点，则实数b的取值范围为______. 14.已知λ＞0，对任意的x＞1，不等式恒成立，则λ的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx. （1）求f′（1）及f（1）的值； （2）求f（x）在点x=1处的切线方程. 16.(本小题15分) 已知函数f（x）=x3-x2-3x+1． （1）求函数f（x）的单调区间与极值； （2）求函数f（x）在区间[-4，5]上的最值． 17.(本小题15分) 已知函数f（x）=aex-lnx-1． （1）设x=2是f（x）的极值点．求a的值，并讨论f（x）的零点个数； （2）证明：当时，f（x）≥0． 18.(本小题17分) 已知函数f（x）=a（2x-lnx），g（x）=bx-x2，且曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线与直线y=x+1垂直. （1）求b； （2）讨论函数h（x）=f（x）+g（x）的单调性； （3）若函数m（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 19.(本小题17分) 函数f（x）=ex，g（x）=ax-1（a∈R），e≈2.71828. （1）若a=2，求函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值； （2）任意x∈[0，+∞）时，关于x的不等式f（x）+ax2≥1+x恒成立，求参数a的范围. 1.【答案】A  2.【答案】C  3.【答案】D  4.【答案】D  5.【答案】C  6.【答案】A  7.【答案】A  8.【答案】C  9.【答案】CD  10.【答案】BCD  11.【答案】BCD  12.【答案】-3  13.【答案】（-4，0）  14.【答案】  15.【答案】解：（1）由f（x）=2xf′（1）+lnx,得f′（x）=2f′（1）+， ∴f′（1）=2f′（1）+1，即f′（1）=-1， ∴f（x）=-2x+lnx,f（1）=-2； （2）∵f′（1）=-1，f（1）=-2， ∴f（x）在点x=1处的切线方程为y+2=-1×（x-1）， 即x+y+1=0．  16.【答案】解：（1）因为f′（x）=x2-2x-3， 令f′（x）=0，可得x=-1或x=3， f′（x）和f（x）随x的变化情况如下：          x  （-∞，-1） -1   （-1，3）             3  （3，+∞）       f′（x） +            0 -              0 +        f（x） ↑  最大值 ↓  最小值 ↑ 函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），单调减区间为（-1，3）， f（x）的极大值为f（-1）=，f（x）的极小值为f（3）=-8；  （2）由（1）可知函数f（x）在（-4，-1），（3，5）单调递增，在（-1，3）单调递减， f（-1）=，f（3）=-8，f（-4）=-，f（5）=． 函数f（x）在区间[-4，5]上的最大值为，最小值为-．  17.【答案】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），， 由题设知，f'（2）=0，所以， 从而，， 当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0， ∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增， ， ∵f（）=＞0，f（e2）＞0， ∴有两个零点． （2）证明：当时，f（x）≥． 设，则， 当0＜x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0， ∴x=1是g（x）的最小值点， 故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0， 因此，当时，f（x）≥0．  18.【答案】解：（1）g（x）=b-2x,故g′（1）=b-2，又y=x+1斜率为1，故b-2=-1，解得b=1． （2）因为b=1，故h（x）=-x2+（2a+1）x-alnx（x＞0）， 则， 当a≤0时，x-a＞0，x＞0， 故在上，h′（x）＞0，h（x）单调递增； 在上，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当时，令h′（x）=0，有且x2＜x1， 故在（0，a）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 在上，h′（x）＞0，h（x）单调递增； 在上，h′（x）＜0，h（x）单调递减． 当时，h'（x）≤0，h（x）在（0，+∞）单调递减； 当时，在上，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 在上，h'（x）＞0，h（x）单调递增； 在（a,+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减． （3）m（x）=a（2x-lnx）-x+x2=x2+（2a-1）x-alnx, 由题意在[1，4]上恒成立， 即φ（x）=（2x-1）（x+a）≤0在[1，4]上恒成立， 因为2x-1＞0，故φ（4）≤0，即a≤-4， 所以a的取值范围为（-∞，-4]．  19.【答案】3-2ln2； ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$