精品解析：2025年湖南省株洲市田心中学中考一模数学试题

湖南省株洲市石峰区田心中学2024-2025学年中考一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. π C. 0.12 D. 0 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 下列运算正确的是（ ） A. a3＋a3＝a6 B. 2（a＋1）＝2a＋1 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. a6÷a3＝a3 4. 如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 6. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取30名学生的中长跑成绩（满分20分）绘制成下表：关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） 成绩/分 15 16 17 18 19 20 人数/人 6 8 5 4 A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 8. 对于一次函数给出下列结论：；时图象经过一、二四象限；时图象与坐标轴围成的三角形的面积等于；不论为何值，其图象一点经过一个定点．其中，结论正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 10. 从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算．小芳这四项的得分依次为85，95，92，88，则她的最后得分是______分． 13. 如图，正九边形内接于，为正九边形的一边，点为正九边形的一个顶点，则的大小为______． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和， 则n的值为______． 15. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 20. 某地区为了了解2020年初中毕业生毕业后去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向：.读普通高中；.读职业高中.直接进入社会就业；.其它；进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b），请问： （1）此次调查共调查了_________名初中毕业生； （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用树状图或列表法求出同时选中甲和乙两同学的概率． 21. 已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 22. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 23. 如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的长； （2）若，求平行四边形的面积． 24. 现将抛物线关于直线对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为． （1）当，，，时，求抛物线和的解析式； （2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求取值范围； （3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式． 25. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．过原点，点和点三点作，再过点作的切线，为上一动点，过作轴的垂线．交轴于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当时，恰好为等腰三角形，求此时的值； （3）连接，，交于点，时，记的面积为．的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市石峰区田心中学2024-2025学年中考一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. π C. 0.12 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：根据无理数的定义可知无理数是无限不循环小数， ∴π为无理数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是无理数的定义，注意分数，有限小数，无限循环小数都属于有理数． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. a3＋a3＝a6 B. 2（a＋1）＝2a＋1 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. a6÷a3＝a3 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法计算判断即可． 【解答】解：A、a3＋a3＝2a3，错误； B、2（a＋1）＝2a＋2，错误； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，错误； D、a6÷a3＝a3，正确； 故选：D． 4. 如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示： 那么，即． 由题意可知，圆规两脚间距离就是所画圆的半径． 故选：A． 5. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1150万， 故选：C． 6. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 7. 为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取30名学生的中长跑成绩（满分20分）绘制成下表：关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） 成绩/分 15 16 17 18 19 20 人数/人 6 8 5 4 A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的定义，掌握平均数、中位数、众数、方差对数据的影响是解题的关键． 由题目已知可得，据此可以判断一定不随x，y的变化而变化的是众数，中位数． 【详解】解：由题目已知，随机抽取的是30名学生的跳远成绩，根据图表可知：， ∴， ∴一定不随x，y的变化而变化的是众数，中位数， 故选：A． 8. 对于一次函数给出下列结论：；时图象经过一、二四象限；时图象与坐标轴围成的三角形的面积等于；不论为何值，其图象一点经过一个定点．其中，结论正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵一次函数 ∴，故正确； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故正确； 当时，一次函数化为， 当时，当时， ∴与轴交点为；与轴交点为；则图象与坐标轴围成三角形的面积为，故错误； 当时，， ∴论为何值，其图象一点经过一个定点，故正确。 故选：． 9. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，， ， ， ， 的周长 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 10. 从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，二次函数的性质，概率公式，首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴； 列表如下： ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 12. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算．小芳这四项的得分依次为85，95，92，88，则她的最后得分是______分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：她的最后得分是(分)， 故答案为：90． 13. 如图，正九边形内接于，为正九边形的一边，点为正九边形的一个顶点，则的大小为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握圆心角的计算，圆周角定理是解题的关键． 如图所示，连接，得圆心角，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正九边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和， 则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，和点，都满足解析式，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解． 【详解】由已知得，母线长==5，半径为3， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，轴于点，证明得，证明四边形是矩形得，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 . ；. 当时 ． 19. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 【小问2详解】 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 20. 某地区为了了解2020年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向：.读普通高中；.读职业高中.直接进入社会就业；.其它；进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b），请问： （1）此次调查共调查了_________名初中毕业生； （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用树状图或列表法求出同时选中甲和乙两同学的概率． 【答案】（1）100；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解； （2）求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可； （3）根据题意可以画出相应的树状图，共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有4个，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）40÷40%＝100（名）， 即此次调查共调查了100名初中毕业生， 故答案为：100； （2）B的人数：100×30%＝30（名）， C所占百分比为：25%， 补全统计图如图； （3）画树状图如下图： 共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有2个， ∴同时选中甲和乙两同学的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）由，两边加上，得到，利用即可得证． （2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，则, ∵， ∴， ∴． 22. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）至少购进5台A型智能机器人． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 23. 如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的长； （2）若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）8 （2）12 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，从而求出，，即，，从而求出，，，根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵, ∴，， ∴， ∴． 24. 现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为． （1）当，，，时，求抛物线和的解析式； （2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围； （3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）首先配方得到，然后根据轴对称和关于点对称的性质分别求出抛物线和的顶点坐标和二次项系数，进而求解即可； （2）根据题意分情况讨论，然后分别画出图象求解即可； （3）首先配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后配方得到抛物线的解析式为，求出，，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：当，，，时， ∴， ∴顶点坐标为； ∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； ∵关于点中心对称的抛物线记为， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当，，时， ∴， 如图所示，当时，直线与抛物线，和没有交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有2个交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有3个交点； 如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点； 综上所述，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：当，时， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为， ∴，，， 如图所示， ∵关于点中心对称的抛物线记为， ∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】此题考查了二次函数的轴对称和中心对称变换，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．过原点，点和点三点作，再过点作的切线，为上一动点，过作轴的垂线．交轴于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当时，恰好为等腰三角形，求此时的值； （3）连接，，交于点，时，记的面积为．的面积为，求． 【答案】（1）见解析 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据四边形内角和为，得出，进而根据等角的补角相等即可得证； （2）分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解； （3）过点P作于H，；过点A作于点N，先证明得出，则，，证明得出，，根据为中位线，则，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， 过点Q作轴于点H，如图所示： 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴设， 设直线解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； ①当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：； ②当时，连接并延长，交于点N，连接，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； ； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点A作于点N，如图所示： 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 即， 解得：， 此时直线过原点，点A、B、O重合，不符合题意； 综上所述：或或． 【小问3详解】 解：过点P作于H，；过点A作于点N， ∵， 设， 设， ∵为直径 ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 则， ∴， ∵， ∴为中位线， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $