精品解析：天津市汉阳道中学2025年中考数学最后一卷

2025年中考数学最后一卷 一、单选题 1. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的乘法法则分别判断即可． 【详解】解：A、，故正确，不合题意； B、，故错误，符合题意； C、，故正确，不合题意； D、，故正确，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握计算法则是解题关键． 2. 如图几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据几何体的俯视图是从几何体的上面看到的图形即可判断. 由图可得几何体的俯视图是第三个，故选C. 考点：几何体的三视图 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握几何体的三视图，即可完成. 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5. 西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约平方米，这个数用科学记数法可表示为，其中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将用科学记数法可表示为， 又∵这个数用科学记数法可表示为， ∴． 故选：C． 6. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行乘方，特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选B． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握同分母分式的加减法运算法则是解题的关键． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数，图像在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，且当时，；当时，； ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 9. 大约在1500年前成书的《孙子算经》中，记载了这样一个问题：“今有鸡兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？设笼中有x只鸡y只兔，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组； 【详解】解：设笼中有x只鸡，y只兔， 根据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作交于点．若，，且为边的中点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由得出，由作图可知∶平分，得出是等腰三角形，得出，为边的中点，得出． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知∶平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 故选∶． 【点睛】本题考查作图一基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11. 如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 BE．有下列结论：① AB＝BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的；④BE＝＋2．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角的数量关系可求∠AEB=67.5°=∠EAF，可得AB=BE，故①正确；计算出∠EBG=22.5°，得出∠EBG=∠FBG，故②正确；过点G作GM⊥BE于点M，由角平分线的性质可得GF=GM，根据直角三角形的斜边大于直角边得出GE＞GM=GF，从而根据三角形的面积公式得出结论，得到③错误；连接AG，根据等腰直角三角形的性质可知AG=，推导得出AG=EG=，从而EF=EG+FG=+1，再由BE=BF+AF，判断出④正确． 【详解】解：由旋转的性质可得：EF=FB，∠EFB=90°， ∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AB， ∴∠ABC=∠C=∠EFB=90°， ∴四边形EFBC是矩形， 又∵EF=BF， ∴矩形EFBC是正方形， ∴∠BEF=∠EBF=45°， ∵∠DAE=∠AEF=22.5°， ∴∠AEB=∠FEB+∠AEF=67.5°=90°-22.5°=∠EAF， ∴AB=BE，故①正确； ∵∠EBF=45°，∠FBG=∠AEF=∠DAE=22.5°， ∴∠EBG=45°-22.5°=22.5°， ∴∠EBG=∠FBG， ∴BG平分∠EBF，故②正确； 过点G作GM⊥BE于点M，如图1， ∵BG平分∠EBF， ∴GF=GM， 在Rt△GME中，GE＞GM=GF， ∴S△BFG≠S△BFE， ∵S△BFE＝S四边形EFBC， ∴S△BFG≠S四边形的EFBC，故③错误； 连接AG，如图1， ∵∠AFG=90°，DE=AF=FG=1， ∴∠GAF=45°，AG=， ∴∠EAG=67.5°-45°=22.5°， ∴∠AEG=∠GAE， ∴EG=AG=， ∴EF=EG+FG=+1， 又∵EF=BF，AB=BE， ∴BE=BF+AF=+1+1=+2，故④正确， ∴正确的是：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，正方形的判定与性质及角平分线的性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键． 12. 如图，抛物线与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①；②；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴可得a与b的数量关系，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①②③，由直线经过点A可得k与b的数量关系，从而判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，②正确． ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，①正确． 由图象可得当x＞2时，y随x增大而增大， ∴③错误． 将A（5，0）代入得， 解得， ∵b＜0， ∴k＞0， ∴点E（k，b）在第四象限，④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数图像的性质，函数图像与参数的关系，通过函数图像解不等式，函数图像与图像的关联，能够通过图像的性质列不等式是解题关键． 二、填空题 13. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”概率是． 故答案为： 14. 若，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故答案：． 15. 计算：_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二次根式乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：-2 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，熟知二次根式的乘除法则及性质是解题关键． 16. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线经过点，则m的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移2个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，得到直线， 把点代入，得， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 17. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，，分别交，于点M，N，已知，． （1）______． （2）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】(1)首先可证得，可求得的长，再由勾股定理可求得的长； (2)首先根据“”可证得，可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点F作，交的延长线于点H， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点均在格点上． （1）的长等于_____． （2）若边与网格线的交点为，请找出两条过点的直线来三等分的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的_____（不要求证明）． 【答案】（1）； （2）作图见解析；作，可得交点与． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）作，可得与的交点与，由平行线等分线段定理可得，即得； 本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，直线即为所求． 理由：∵，且与，与，与之间的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：作，可得交点与． 三、解答题 19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得　　； （Ⅱ）解不等式②，得　　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　　． 【答案】（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）x≤1． 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤4； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 某养鸡场有只鸡准备对外出售从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位；），绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题： （1）图①中的值为______ ；图②中鸡的总数为______ ． （2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计这只鸡中，质量为的约有多少只？ 【答案】（1）； （2），， （3）200只 【解析】 【分析】（1）根据各种质量的百分比之和为1可得的值，把各种质量的鸡只数相加即可得出鸡的总数； （2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可； （3）将样本中质量为数量所占比例乘以总数量2500即可． 小问1详解】 解：图①中的值为； 图②中鸡的总数为(只) 【小问2详解】 解：这组数据的平均数为， 众数为， 中位数为； 【小问3详解】 解：（只） 答：估计这2500只鸡中，质量为的约有200只． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为交于点． （1）如图①，连接，求证平分； （2）如图②，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质和已知求出，求出，即可得出答案； （2）连接交于点H，证明四边形是矩形，把转化成，通过勾股定理求出，再由中位线求出，再用减去即可． 【小问1详解】 证明：如图①中，连接， ∵为的切线， 则平分； 【小问2详解】 解：如图②中，连接交于点H． 是直径，是切线， ∴四边形是矩形， ， 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． 22. 数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼的高度．无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为120米，楼的高度为18米的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同平面内）． （1）求楼的高度（结果保留根号）； （2）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1）米 （2）138米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，由题意可得米，米，在中，米，结合可得出答案． （2）作于点G，交于F，可得米，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，则四边形是矩形， ∴米，米． 在中，， ∴米． ∴米． ∴楼的高度为米； 【小问2详解】 解：作于点G，交于F， ∴米， ∵，， ∴， ∴， 在中，． ∴， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴米． ∴无人机距离地面的高度为138米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的性质与判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 23. 甲、乙两车分别从相距的M、N两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达M地后停止行驶，甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距N地的路程y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车的行驶速度是 ，乙车的行驶速度是 ， ； （2）求线段的解析式并写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时后两车相距为？请直接写出答案． 【答案】（1），，240； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”先求出乙车的速度，再根据“路程＝速度×时间”求出a值，再根据“速度＝路程÷时间”求出甲车的速度即可； （2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）设乙车出发t小时后两车相距，分三种情况：①第一次相遇前，②第一次相遇后，甲车到达N地前，③甲车到达N地后，第二次相遇前，分别列方程求解即可． 小问1详解】 解：由题意得：乙车的行驶速度是， ∴， ∴甲车的行驶速度是， 故答案为：，，240； 【小问2详解】 解：∵甲车到达N地的时间为小时， ∴点B的坐标为， ∵甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴线段的解析式为； 【小问3详解】 解：设乙车出发t小时后两车相距， ①第一次相遇前， 由题意得：， 解得：， ②第一次相遇后，甲车到达N地前， 由题意得：， 解得：， ③甲车到达N地后，第二次相遇前， 由题意得：， 解得：， 综上所述：乙车出发或或后两车相距为． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，待定系数法求一次函数解析式以及一元一次方程的应用，读懂函数图象是解题的关键． 24. （1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可； （2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得 ，进而可证，再由相似的性质求解即可； （3）如图3，在下方作，使得，，证明得到，故作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小，利用圆周角定理和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，利用三角形的内角和定理和角度的运算得到，利用勾股定理求得，进而求得由求解即可． 【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则， 当C与重合时，的值最小，， 故答案为：3； （2）连接， ，点为的中点， 在 中，， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）存在． 如图3，在下方作，使得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小， 如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到取最小值时点P的位置是解题的关键． 25. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①9；②．③ 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考数学最后一卷 一、单选题 1. 下列计算不正确是（ ） A. B. C. D. 2. 如图几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 5. 西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约平方米，这个数用科学记数法可表示为，其中的值为（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 7. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 大约在1500年前成书的《孙子算经》中，记载了这样一个问题：“今有鸡兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？设笼中有x只鸡y只兔，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作交于点．若，，且为边的中点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 11. 如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 BE．有下列结论：① AB＝BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的；④BE＝＋2．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 12. 如图，抛物线与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①；②；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 13. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 14. 若，则x的值为_______． 15. 计算：_______． 16. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线经过点，则m的值为____． 17. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，，分别交，于点M，N，已知，． （1）______． （2）______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点均在格点上． （1）的长等于_____． （2）若边与网格线的交点为，请找出两条过点的直线来三等分的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的_____（不要求证明）． 三、解答题 19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得　　； （Ⅱ）解不等式②，得　　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　　． 20. 某养鸡场有只鸡准备对外出售从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位；），绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题： （1）图①中的值为______ ；图②中鸡的总数为______ ． （2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计这只鸡中，质量为的约有多少只？ 21. 如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为交于点． （1）如图①，连接，求证平分； （2）如图②，若，求的长． 22. 数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼的高度．无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为120米，楼的高度为18米的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同平面内）． （1）求楼的高度（结果保留根号）； （2）求此时无人机距离地面的高度． 23. 甲、乙两车分别从相距的M、N两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达M地后停止行驶，甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距N地的路程y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车的行驶速度是 ，乙车的行驶速度是 ， ； （2）求线段的解析式并写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时后两车相距为？请直接写出答案． 24. （1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 25 如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $