第15章 微专题12 等腰三角形中的分类讨论&微专题13 构造等腰三角形的常用方法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（沪科版2024）

微专题12等银三角形中的分类讨论 FDCD.:.EDEF+FD=BE+CD=TBC, ∠ADC=∠DE.,DE=CE 在△AED和△ABD中， 1,C2D3.6 ·AC+AD=AE十AD=DE=EC=BC [CEAD=∠FAD. 4.量△AC为梦膜三角形，AB=AC,分精种情况时它 ,找段ED的长度架持不变 龄段图评7115.3-15.4) ∠LED=∠AFD, ①看∠A<(,如答图①所示 么延敢B4,CD幅交于意Q L B 2.C 3B 4.C 4.B AD-AD. BD LAC,∠A十∠ABDm90 '∠CAQ=∠HAE=∠BDC=O 6,∠日■60《客案不幢一)7,48及32 △AFD2△AFD《AAS)AE=AF,DE-DF ∠AD3,,∠A=9°-36=54 .∠A02+∠Q-90 9.不第10.50° 点A和威D在EF的重直平分线上， AB-AC.ZABC-∠C-×(18-5r-6 ∠AH5+∠Q=90 11.41)150°<2)6 ,AD项直平分EF ∠ACQ=∠ABE 12BeAC,∠C=0.∠B=∠C■3 (2)AB=7.AC=5. ∠ABE-∠ACQ .∠LAC=1250 在△ABE种△AQ中，AB=AC ,ABLAD,∠HAD=0 m-品w+8n-号×7DE+号X5D球2韩 ∠BAE=∠CAQ ∠DAC=12如°-9”=35=∠CAD■D=2. 又？DE=DF.DE=4, .△AB☑△ACQ《ASA)÷,BE-CQ ,ABLAD,∠B=0,÷.BD=2AD=4 :∠BAC=60,AD平分∠BAC ②若∠A>0”,如暮圆图质示， :BD平分∠ABC,∠QHD=∠CBD BC-AD+CD-4 ∠BAD=35,AD=2DE=8, 同①可荐∠DMB=90-36=84.:AB=AC W∠DC=0'..∠BDC=∠BDQ=90 13《们)所求作点P如附所尿 7.2 “∠AC-∠C-7×4-2 ,8D=D, 42)5 从(1》过点M作MN⊥AD于点N, △CD买2△BQD,（A5A} ∠B=00,MBLAB 紧上所递，这个等要三角形密角的度数为6设2 14.《1)证明：BD1AC,∠C=5 CD-QD.ECQ-ICD. NAM平分∠MD, 5,此题分以下丙种情况： ∠CBD■0°-T5=15. X方法1：《履长法)在BC上取点E .M-MN. (1)如等图①，AB边的垂直平分线与4C边交乎点 ,ADE是等边三角形， 使BE-AA,西接DE N为C的中点，BCC=NN D,∠ADE=0°.渊∠A=0 ∠DBE=0, ,BD平分∠AC, HAB■AC,,∠B■(180-G0h+2■65： ∠AC■0+16=T5 :ABCD.∠C=1切°一∠B=0.∴.kC1CD .∠ABD=∠EBD :AMC=MN,MN⊥AD,DM平分∠ADCg 〔2)如答因密，A出边的垂直平分线与CA的话长线 ∠AC-∠C=s”, AB-EB. 交于点D,∠ADE=n”,则.∠DAF-50 AB=AC品△AC为等服三角形， (2)向山)得∠B=∠MNA=0°， 在△ABD和△BD中. ∠ABD-∠ED Ma-MN.AM-AM. AB=AC,∠B=50+2=25 《2):∠C-∠ACG-T5, 8D-8D. R△AB2民：△ANM.(HL).ABAN 故∠B的大小为或5 .∠A-130-∠C-∠A8C=30 ∴△ABD☑△EBD.(SA5S BDLAC..ZADB-90.AB28D 同W可得CD=DN .∠BAC=∠BED-1C8' ,△DE是等边三角形，，BE一D一DE=4 ADAN+DN.ADAB+CD. .∠DEC=2 AR2RD-8. 9.目10.C11.等边12.12s1&.15 AH=AC.∠C∠ACw35” 15.门)证明，”△AC为等边三角形 14.(IE明：：DE⊥AB于点E,DF1C子总F, ∠CDE=-72 .AB=AC,∠4C-∠C=r. ∠AED=∠CFDm0° .∠DE=∠CED.CD=CE 在△ABE和△AD中， D为AC幽中点，.AD一CD 6,BD为AC上的中效，AD=D 谓■EB+GE=AB十GD. (AB-CA. 在民：△ADE和R△CDF中， (1山当AB+AD)-(C+CD)=3m时， 方法2：《补知债》薦长A室点E,使 则AB-BC-多cm ,∠BAC-∠C IAD-CD. IDE-DF. .R△ADE2R△CDF.(HL BE=BC,造接DE BC-5 cm...ABC38(rm) AE-CD. 根整SAS旺明△EBD≌△CBD,可得 △ABEQ△CAD.{SAs),IE-AD ,∠A=∠DCF.p∠A=∠ACB,AB=BC (2)当(C+7D)-(AB+AD)=3m时， DE一DC,再由三角厚内角和求证 AB-AC..AB-AC-BC 则BCAB-8Gm, ()由(1)等△AHB☑△CAD, ∠EAD-∠EDA=2'.'.EA=D=CD ∠ABE=∠CAD, ”△AC是等边三角形. 'BC=5m,AB=C-3=2(m, 身可证明BCAB十CD ∴∠BPD-∠BAD+∠AIE=∠BAD+∠CMD (2)由《1》氨，△AC是等边三角形， 但是当AB=2em时，三边长分拼为2出，2c L猛长D第点H,使PD-MD,连移B ∠BAC=BO, ∠ACB✉60”， 5m,而2十2<.不合巡意，衡去 在△DH利△CDF中， 《3)由(11得AD=BE, ,∠ACD=∠G+∠CDG=0 放版长为8C匹 (BDCD. :80LAD,∠BPQ-o°，÷∠P0= CD=G.∠G-∠CDG3o 7.5 ∠BDH-∠CDP .BP-2PQ-12. 'ADCD,.∠DBC=∠ABD30 微专题13构慧等腰三角形的常用方法 HD-FD. 又AD=BE. .∠DC-∠G-8D=GD 1.(IE明，每图，过成P作PF∥AC .△BD≌△DF.(SAS .AD=B=BP+PE=13+2=14 DF⊥BG,FG=BF= 交C干点F .∠I=∠CFD,CF=BH 单元笨合复习（五】轴对称图形与等霞三角形 核心素养提丹 ”点P,Q时出发，且速度列。 AE=EF,∠BAF=∠AFE :门餐点突被 PCQ. N∠AFE=∠CFD,∠EAF=∠H. 1.C2.55 玩m15a2 PFAQ. C.AB-BH...AB-CF. 3.如图所系.（容蜜不暗一） 像合与实践使制校国平置地图 .∠PB-∠ACB.∠DPF-∠DC 如图，延长DA到点E,使AE .(1)周东30110G00 又AH=AC.∠B=∠ACH -AC,州∠E=∠ACE, (2)加市的位置如西衡茶， ∠B■∠PFB.&.BP=FPFP=CQ .∠AC=∠E+∠ACE= 在△PFD和△QD中， 2∠E 4,8.2 ∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QNDC,P=CQ, ,∠BAC-2∠B,∠B=∠E-∠AE. 6.(1DE明：，DE LAB,DP⊥AC,DE-DF, △PEa△QCD(AA8)∴.PD=QD .BC-EC AD平分∠HAC (2)线双ED的长正促持不度，雨由如下： ,CD米分∠ACH,∠ACD=∠HCD ,∠BAD=∠CAD 由1)射，PB=PF .∠ADC-∠B+∠CD-∠B+∠ACD DE LAB.DFLAC. 'PE⊥BF,HE=EF.由(1)知，△PFD△QCD 又∠DCE=∠ACE十∠ACD=∠H+∠AD 5∠AED∠AFD=90 一家究在线·八年级皮学（上），HK 27微专题12等腰三 类型①当顶角或底角不确定时，分类讨论 1.等腰三角形的一个角的外角为110°，则这个等 腰三角形的顶角度数为 () A.110 B.110°或70° C.70°或40 D.40 类@②当底和腰不确定时，分类讨论 2.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm, 则这个等腰三角形的周长是 () A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 3.(中考·镇江)等腰三角形的两边长分别为6 和2，则第三边长为 类型③当高的位置不确定时，分类讨论 4.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为36°，求这个等腰三角形底角的度数. 类型④由腰的垂直平分线引起的分类讨论 5.在△ABC中，AB=AC,AB边上的垂直平分 线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°， 求底角∠B的度数 103探究在线八年级数学（上）·HK 角形中的分类讨论 类型⑤由腰上的中线引起的分类讨论 6.等腰三角形ABC的底边BC长为5cm,一腰上 的中线BD将其分为周长差为3cm的两部分， 求腰长 参型⑥点的位置不确定引起的分类讨论 7.如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标是(2,0)， 点B的坐标是(0,3)，以 3 AB为边作等腰三角形，则 在坐标轴上的另一个顶点有个。 微专题13 构造等} 类型① 利用平行线构造等腰三角形 +模型展示+++++ (1)利用“角平分线十 平行线”构造等腰三角形， 如图①，若∠1=∠2，AC ∥OB,则△OAC为等腰 图D 三角形 (2)作腰的平行线构造等腰三角形. 如图②，图③，若AB=AC,DE∥AC,则 △BDE为等腰三角形 图② 图③ (3)作底边的平行线构造等腰三角 形.如图④，图⑤，若AB=AC,DE∥BC, 则△ADE为等腰三角形. 图④ 图⑤ 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点P从点B出 发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿 线段AC的延长线移动，点P,Q移动的速度 相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)求证：PD=QD: (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为点E,当 P,Q在移动的过程中，线段BE,ED,CD中是 否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 夏三角形的常用方法 类型②角平分线十垂线→等腰三角形 厂一模型展示+++++++++++++++一 如图，在△ABC中， AD平分∠BAC,CD⊥ AD,故可以延长CD交 E2...Dh AB于点E,则△ACE是B 等腰三角形 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE是 △ABC的角平分线，CD⊥BE交BE的延长线 于点D.求证：BE=2CD. 第15章104 类型③利用截长补短法构造等腰三角形 3.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC, BD平分∠ABC,交AC于点D. 求证：BC=AB十CD. 类迎④利用倍长中线法构造等腰三角形 4.如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一 点，AD,CE相交于点F,且AE=EF 求证：AB=CF. 105探究在线八年级数学（上）·HK 金@⑤利用倍角关系构造等腰三角形（选做）》 十模型展示++++++ 在△ABC中，∠ABC=2∠ACB. 如图①，作BD平分∠ABC,则△DBC是 等腰三角形： 如图②，延长CB至点D,使BD=BA,则 △ADB,△ADC是等腰三角形； 如图③，作∠ACD=∠ACB,交BA的延 长线于点D,则△DBC是等腰三角形 D 图① 图② 图3 5.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分 ∠ACB交AB于点D.求证：AC+AD=BC.