15.3 角的平分线-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（沪科版2024）

17.1)DP⊥AB,∠B=0, 第2渠时角的平分线的性黄与判宽 ·△ADF,△A军是直角三角形 基建在线 在R△A(E和民：△ADF中， LC 2.A 8 L.DE⊥A,DF⊥AC ∠ED=∠CFD= R△A≌R:△ADF.H日 二△D呢与△(CDF都是直角兰角毛 CE-DF. 在R△BDE有△CDF中 (2EFLOC.DFLAB. ∠CEF,∠BDF9 m ∠BFD+∠AF90 R△B2DE≌R△CDF,(HL.)DE=DF 又，∠ACB=∠A下+∠E=阳“，∠ACF= AD是∠BC的平分 ∠ABF, 能力在线 ,ABDm5“ 成D 在△FCE阳△8FD中， 发103 ∠F=∠DF, )证明：过点E作G CE-FD LD于G,EH⊥BC于 ∠CEF=∠FDB=', 点H, △FE☑△HFD(ASA)FC=HF ∠F-∠AEF-55 ∠E1F=0”-5ma5 二点F在C的直平线上 油1)知，∠EAP=∠A0-5, 15.8角的不分线 AB平分∠FA 氧1时 向的平分线的作正 EF⊥AF,LAD.EFEG, 基础在战 BE半分∠AC,P⊥BF,EH⊥，÷EF=EI 1.4 4.EGEH 3.如所乐∠à的角为∠，射规（炉为其角平 AD,EHC.DE平分∠ADC 材又.4开一1 拓展在拨 7.50 ,图精承，AD即为所求 弟3课时三角形的角平分线 葱建在线 1.D2553.A 能力在腹 长，中转站菱线三弟公路的距肉都和等 能力在线 好物中转站必填是三第相之直线所组成的三角形 的内角外角平分线的交点 ,如图所示.答常不鞋一) 周足养件的点P有国十：图略 拓展在线 反如图，在接D :AD平分∠RAC,BD平分 A1t. 拓展在线 ÷点D到C,A,C的跑离相 7.(t如周，过么A作AD上CT 等，厚为DE约长 点D,点D厚为所求 :△A线C的风长为4指，面积为2m, (21连接E, 由《1)得ADC 六sr-8m+sm+签w-7ACW+度： 由题宣年，点D与点E关干C对释，面AC为线段 DE+ADE-×DEX《AC+度C+A DE的看直平分找 目92DE×6.解得DE一4 SAE-AD.CE-CD. AC-AC. 龄DE的长为 △AD≌△AEC(55S 16,4等接三角形 ∠AC=∠ADC=',∠E=∠D= 界【课时等：工角形的注霜定理1观菲忙 ∴∠E=∠AC+∠AD= 基键在线 ∠H=10”-∠CE-∠AF联'=40 17gg,143,404,B 26 一探究在领·八年 5.(11135 (1:△AD和△ACE都为等边三角形 ∠AF∠XF-∠AB=.LB=G ,ABHD应AD,CmCE-AE ,∠D-1r-∠EX-∠AH-1n'-0 AB=AC,B=E 4月m44 n.3线5n =《,∠=∠议F=. 能力在城 ,∠常-∠D-∠度=44”-T=2I 7,5M100°.或1如 死展在线 拓愿在就 1,(1)P平分∠C1E.∠E1F=∠CAF 10160 AB=AC,AB=AB,·AE=A 幕2课的等量三角型的性黄又星 AC-AE. 基圈在战 在△AC下和△AE下中，：∠CAF=∠EAF 1,2H AF-AF. 3.AB AC.BD-CD. ,AD平分∠BA日 ”ABAE.∠E=∠AE.”∠AE∠AF DE⊥AB.DF⊥AC 由1)知，△AC2△AEF, DE-DE. .EFCF=BM,∠E-∠CF∠AM 4:等腰三角据”三线合一“的性质 能力在暖 在△AM和△ACF中，∠AM-∠ACF, 5.1.11 7,如图，莲楼AC,AD △AHNa△CP.(5AS 由8AS易i证么AH≌△AED,程 .AM-AF,∠HAM-∠CAF Aw九日 ABAC,∠ABC= A⊥DF=F △AC老等边三角形. 再F是CD的中点 拓黑在战 ∠MFa∠.A+∠CAFu∠M+∠BAN 8.2句 第3深时等展之商形的州觉 AM一AF,二△AFM为等克三角形 基在 第4课明合30角的直商工角形性情 1A2日&C 基硅在线 《,相等.理山如下 1.A艺1025 华装”， 天∠ACI-阳，DLAB AB AC,∠AE-∠C ∠D=∠A=0 ∠ABD-∠AMCD ,C=2m6. ∠AD-∠AC∠AD-∠AR 在4AC中，∠A-.- ∠DC=∠C.∴，D A-12 3.C 6c 7 院力在域 ，△AC是等边三角形， ,∠AC=∠ACB=∠CAB=0 DFLAB.DE CU.EFLAC. 7.雀接AC,C为BE的中点，△ABE为 ∠DB∠CF=∠CE9 等边三角形，CD⊥A, ,∠C-∠E=∠W1w ,ACLE,∠12D=∠1C=3m。 六∠D-∠B-∠F- 设BD-,则BC-材-AB-4, ·△EF是等立三角用 A0-心需- 能力在线 无展在线 10,H11.412日 .1)明，如，连接M 过点P作C1A从，看足为点C ∠P取30， :DE为线段AC的屏直平骨 ∠A-∠-∠- AC=C,点F为AB前中 =5, 点 ,∠PAB∠APA CF为钱股AH的延直平分规 PB=AB7 n mile △C为等颗三角形： (2)AC-C,点F为B的中点 P<美8mle .下为∠AB的平分浅 域面一直向术酸行有链圆的位隐 级学上}·HK15.3 角的平分线 ©第1课时 角的平分线的作法 基础在线》知识要点分类然 规作图痕迹，以下结论错误的是 知识点1角平分线的作法 1.已知∠AOB,求作射线OP,使OP平分 ∠AOB,作法的合理顺序是 () ①作射线OP:②在射线OA,OB上，分别截取 A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B OD,OE,使OD=OE;③分别以点D和点E C.DE⊥AB D.AE=AC 为圆心，大于DE的长为半径作圆孤，在 6.请在原图上作一个∠AOC,使其是已知 ∠AOB内，两弧交于点P. ∠AOB的倍.（要求：保留作图痕迹，在所作 A.①②③ B.②①③ 图中标上必要的字母，不写作法和结论) C.②③① D.③②① 2.观察图中尺规作图痕迹，说 明作图的依据是 () A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 3.如图，作∠α的补角，然后再画该补角的平分线 ③拓展在线》 培优报尖提升练 7.(厦门期末)如图，在△ABC中，∠C=25° (1)在BC上求作一点D,连接AD,使得线段 AD最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹) (2)在(1)的条件下，李明作点D关于AC的对 知识点2过一点作已知直线的垂线 称点E时，发现点E恰好在BA的延长线上， 4.如图，已知△ABC,求作BC边上的高.（尺规 求∠B的度数 作图，保留痕迹) 能力在线>方法规律综合练 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作∠BAC 的平分线AD和作DE⊥AB于点E,根据尺 95探究在线八年级数学（上）·HK ©第2课时角的平分线的性质与判定 ①基础在线 、知识要点分类练 知识点1角平分线的性质定理 1.(中考·青海)如图，OC平分∠AOB,点P在 OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距 离是 ( ②能力在线 》 方法规律综合练 A.4 B.3 C.2 D.1 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE.若AB=3AC, 1.cm/A △BDE的面积为12，则△ABC的面积是() A.9 B.12 C.15 D.16 D d,em 6.(池州开学考试)如图，在△ABC中，点D在 第1题图 第2题图 BC边上，∠BAD=110°，BE平分∠ABC交 2.(中考·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将两 AC于点E,过点E作EF⊥AB交BA的延长 把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在 线于点F,且∠AEF=55°，连接DE. ∠AOB的平分线上，则 ( (1)∠CAD的度数为 A.d1与d2一定相等 (2)求证：DE平分∠ADC: B.d1与d2一定不相等 (3)若AD=4,CD=8,且S△AcD=15,则EF的 C.l1与l2一定相等 长为 D.l1与l2一定不相等 知识点2角平分线的判定定理 3.如图，DA⊥AC,DE⊥BC.若AD=5cm, DE=5cm,∠ACE=80°，则∠DCE=( A.30° B.40° C.50 D.60 第3题图 第5题图 4.如图，BE=CF,DE⊥AB,交AB的延长线于 点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证：AD ③拓展在线 。培优拔尖提升练 是∠BAC的平分线. 7.如图，点G在AB的延长 线上，∠GBC,∠BAC的 平分线相交于点F,若 ∠AFB=40°，则∠BCF 的度数为 第15章96 ©第3课时 三角形的角平分线 基础在线》知识要点分类练 长交BC于点D,若∠AOE=60°，则∠ACB的 度数是 知识点1三角形三条内角平分线的交点的 性质 1.△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作 出∠A,∠B的平分线，如果两条平分线交于 A.55 B.70° C.65° D.60 点O,那么下列选项中不正确的是 5.直线，2，l3表示三条相互交叉的公路，现在 A.点O一定在△ABC的内部 拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距 B.∠C的平分线一定经过点O 离都相等，请画出符合要求的地址（保留作图 C.点O到△ABC三边的距离一定相等 痕迹，不要求写作法) D.点O到△ABC三个顶点的距离一定相等 2.如图，P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥ AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,已 知PD=5cm,则PE= cm,PF= cm. 知识点2三角形内角平分线的实际应用 3.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的 6.如图，AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,DE⊥ 距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪() AB,垂足为点E,若△ABC的周长为46cm, 面积为92cm2,求DE的长. A.三条角平分线的交点处 B.三条中线的交点处 C.三条高的交点处 D.三条边的垂直平分线的交点处 ②能力在线》方法规肆耀合然 4.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，BE,CF分 别是∠ABC,∠ACB的平分线，连接AO并延 97探究在线八年级数学（上）·HK