第13章 微专题7 三角形的角平分线、高线的夹角模型&微专题8 三角形中内，外角平分线的相关计算-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（沪科版2024）

44 微专题7三角形的角马 母题：如图，在△ABC中，AD是高，AE是 角平分线，且∠C>∠B. (1)若∠B=32°，∠C=60°，求∠BAE, ∠DAE的度数： (2)若∠C-∠B=a,直接写出此时∠DAE 的度数. 变式角度1高线在三角形外部，与三角形角 平分线经过三角形的同一顶点 1.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线， AE平分∠BAC.若∠B=30°，∠ACB=110°， 求∠DAE的度数， 分线、高线的夹角模型 变式角度2垂线在三角形的内部或外部，与 三角形的角平分线或其延长线（或反向延长线） 交于任意一点 2.【问题探究】如图，AD是△ABC的角平分线， E为直线AD上一点（不与点D重合），EF⊥ BC于点F,已知∠B=40°，∠C=60° A(E) 图①D 图2 图③ 图④ (1)如图①，若点E与点A重合，求∠DEF的 度数； (2)如图②，若点E在线段AD上（不与点A 重合)，求∠DEF的度数； (3)如图③，若点E在AD的延长线上，此时 ∠DEF的度数是否为定值？请说明理由； (4)如图④，若点E在AD的反向延长线上，则 ∠DEF的度数为 【操作发现】若∠B=a,∠C=B,且∠B<∠C, 试用含a,B的代数式表示∠DEF的度数： 第13章60 44 微专题8三角形中内、 类型①两个内角平分线的夹角 1.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线 交于点P,根据下列条件，求∠BPC的度数， (1)若∠A=68°，则∠BPC =； (2)从上述计算中，我们能 发现：∠BPC= (用含∠A的 式子表示). 堡型②一个内角平分线和一个外角平分 线的夹角 2.(南昌阶段练习)特例感知 (1)如图①，BP是∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角∠ACD的平分线. ①若∠A=50°，则∠P= ②判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由： 类比迁移 (2)如图②，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD的平分线交于点A1, ∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点 A2,…,∠A。-1BC的平分线与∠A-1CD的平 分线交于点A.(n为正整数).设∠A。=a,则 ∠A.= 图② 61探究在线八年级数学（上）·HK 外角平分线的相关计算 堡型③两个外角平分线的夹角 3.如图所示，BO,CO分别是△ABC的外角 ∠EBC和∠BCF的平分线. (1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠BOC (2)若∠A=60°，则∠BOC= (3)试探索∠BOC与∠A之间的数量关系. 堡型④内、外角的n等分线的夹角 4.【类比思想】问题引入： 图① 图② (I)如图①，∠CB0=3∠ABC,∠BC0= 号∠ACB,∠A=a,则∠BOC- (用含a的式子表示) (2)如图②，∠CB0=专∠DBC,∠BC0= 3∠BCB,∠A-=a,请猪想∠B0C- (用含a的式子表示) 类比研究： (3)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC, ∠ECB的n等分线，它们交于点O,∠CBO= 1∠DBC,∠BCO=1∠ECB,∠A=a,请猜想 ∠BOC=1a.1)4 :AD是边上的高线，∠D=0 (2iE明：CDLAB.∠DB-0 ∠DAE-9-∠AED=40 ∠议D=0一∠B■28， 【问越原究11)∠B40,∠C=0,EF⊥C, ÷∠D=∠CB-∠D=16 ∠1=1=∠=∠C=r,∠CAF=0 ∠(DF=74'+ ∠CFD=1sm-∠CD-∠CDFa0 六，△D是直角三角根， AD平分∠BC.∠CAD-∠BC=4 拓展在线 ∠DF∠CD-∠CAF=-3'=10 14,1017 2):∠=40，∠C=0'.,.∠BA=8 (2)①AAD是”裤互余三角题”.理由如下， :AD平分∠BA÷∠D-∠AC-O ∠ACB, ∴，，∠CAB+∠B-0 ∠ADF=∠HA+∠B=O :AD是∠AC的平分线 ”。m03-/A10. ∠AB？∠AH. )∠泥F的度数为宠氧.理由如下 ∴，2∠DA+∠I-90, 由(2)可加，∠ADC=. 六AABD最“在耳余三角形” ∠FDE-∠A-, ☒1w境21 ∠DF=a-∠DE=10 第4跟时三角形的外角 44)1 基通在就 【整作发现】。 L.C2∠2>∠1>∠A1.3初4A5# :在△AD中，∠A7,∠35.w∠BDE=∠A 散壶置书三角形中内，外角平分线的相关计算 +/正=】0 11181+号∠A :∠1△DE的一个角，∠， 2(1)①26 ∠1-∠B+∠DE-4+o15 7,c ©∠P=∠A.现如下 佳力在线 8,C其30 P半分∠4D,∠P- 11《 BP半分∠AC,六∠PC= 微专题？三角形的角平分线、高线的夹角棱型 ∠ACD=∠A+∠A, 母通1》∠B3g∠C60 ∠A=∠AD-∠AHC42(∠DP-∠P ∠B4'-18-∠B-∠C=8s 又Y∠PcD=∠PIC+∠P. AE是角平分线 ÷∠E号∠CTt iZP∠-∠P-Zn ∴，∠AED=∠F+∠AP-2"”+4'-76 23号 :AD是△LC的高DC 多1)0(1)。 ,∠A是-.∠E可-∠A)=对一G✉1 2)∠D4E-号a.0示，片∠C-∠B=a,∠C-,+ ∠BC+∠FC-1-青∠A+∠AcB+ ∠A∠C-1-∠B-∠C=1-∠B=e ∠度+Z-面-∠A+n=w专2A ∠H=10°-。-2∠且， :AE是角#分线i∠BAB-∠4C0-士 .2w+号a2w-素aX11 ∠.六∠AED=∠B十∠BE=∠B+0-a 阶段需浮4(18.】一13.2) 1.C2,a,4C5,4.C ∠90-a 7,号（容案不雕一）名1好机，g16,3山，2 :∠ADE-n..∠DAB-时-∠AED-o-(e 12.(130填70218域40 13C1▣图 (2AD是C边上的中线，BC-4 1,在△AC中，”∠B=0∠AC=118 BD=CDsBC= ·∠A=4, E,AC分料为△ABD的边AB,BD上龄高， 世AE平分，∠IA·∠EA月-∠BC- ∠AED-∠B+∠4B=5, 22 一探究在领·八用 子×2%3号关DE,第得呢- ∴，∠ABN=∠AfB+∠A-+2E AC平分∠ABN.∠A%=5十 敏点D到AB的距离为三. ∠D=∠A-∠A-5+i-=4B 儿三角形的一个外角等十与它不艇常的两个内角的 1e∠A-.”∠D-名∠0 和下C内罐角相等.两直线平行 二∠BA)-限 :∠A湘=，：∠ABN=∠N家+∠北O十e —50,6一8=化14.b=& :三角形的量长边为： ZA-∠uN,∠AaC-+a ÷5+8,甲8<1 2)由11可知4=-5.4=8,8C18. ∠D-∠AI仪∠，-号+月-日 解比三角形的同长为十6十=1山十 12.A :此三角形的周长为男数，为青数，调=9或1L 3,(1证明，DEBC.六∠1=∠2 .g十中e=1门十(=2过或2. ∠I=∠3，∠2=xC8G 二先已角后的同长为2或2 ∠BFG=∠DF=,FGLAB. 国)∠K-0+号∠BC (21是真食源，理由，P1AH,∠TDF=0°， .∠BF-o°-∠4DF 理由：W在△A倒C中，三第穆学分线AE,D,F相 Da.∠2m∠3 "∠1=∠3，÷∠1∠ 交于点品∠0W=豆∠A.∠x字∠R .DEVRC. ∠ABC+∠BaI80-∠RC,i∠HC= 依心素养提升 t80-(∠0'+∠B)=18r-(∠A8c+ 1,1)0°(4 第1（章全等三角形 1比.1全等三角形及其性展 超穆在线 1.C2,D,∠DEB∠DHE∠D DE DB )∠M是=∠Y 理南，易旺∠A0哪-可+号∠B∠E 1心0五.D6C.C品.29.0友号 能力在域 1w-∠0w=1-(9w+∠4-w 10.B1,A3.段13.1,4》14 15,(I1W'△ACa△DE, 品CD=BD-C=8-8=5, 又平分∠AC出，0LC (20,△A9ADEC, ÷∠G-0-∠-0-吉∠R ∠CA=∠ECD.∠HAC-∠E 二∠0=∠i 点BC,D在条直线上， 单元球合复习（三】三角形中的边角关系，命题与证阴 ,∠ACB-∠C-o 诗门考点突破 证鹏，”∠B=∠FD= 1.心24aA华元4 ∠CDE+∠ED=时 :∠AEF-∠CED.∠BAC-∠CDE. 元.A7.ALC,100 ∠AEF+∠AC=90 D∠A=60,∠F-,∠B=∠lD-o, .AFE=9,即求A民 ∠C=6-∠A90°-6=30，∠DEF9 拓展在线 6:f1110-3 (2)+△AiD☑△AME.BD-CE ,DE⊥.∠D=0 ÷∠(CE-∠ED+∠0EF-0'+4'- 如答中：当点E在射上，点DB上时 在△EH中，∠C=∠EH。115, (E=2rm.D=(10一)m, ∠CHE=W-∠C-∠CEH=I8-30' 10--24-2 135-15 厚∠CE的世数为1 11.1)D4 凸∠D的度数不变，为45， 理由如下，设∠AD一，AD平分∠M 如露圈心.当点E在W的反向短美线上·点D在 H的篇长线上时， :∠AB=0 E=2rm,BD=-10)m. Q数学（上》·HK