4.3 用一元一次方程解决问题（第3课时 利用公式、性质、规律等构建等量关系）（教学课件）数学苏科版2024七年级上册

第四章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题 第3课时 利用公式、性质、规律等构建等量关系 学 习 目 标 1 2 3 能利用公式、性质、规律等构建等量关系，列一元一次方程解决简单的实际问题． 能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理，提高分析问题和解决问题的能力． 经历“问题情境─建立数学模型─解释、应用与拓展”的过程，发展模型观念． 问题情境 已经学过的哪些图形公式、性质可以用于构建等量关系？ 长方形，正方形，三角形，梯形，平行四边形，圆等面积公式． 三角形三个内角的和等于180°. … 解：设三角形三个角的大小分别为2x，3x，5x． 根据题意，得　　　2x＋3x＋5x＝180°. 解这个方程，得　　　　x＝18°. 所以 2x＝36°，3x＝54°，5x＝90°. 所以三角形三个角的大小分别为36°，54°，90°. 答：这个三角形是直角三角形． 典例分析 判断三角形形状的依据是什么？ 三角形三个内角之间有什么关系？ 分析：这个问题中的等量关系： 　　　第一个角＋第二个角＋第三个角＝180°. 如何设未知数？ 设未知数的依据是什么？ 例1 已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状． 在比例问题中，常设“每一份”为x. 若甲、乙的配比为m:n，即设甲为mx，乙为nx. 典例分析 例2 用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色 棋子的个数有可能是50吗？ … 黑色棋子的摆放有什么规律？个数与什么有关？ (1) (2) (3) (4) 1＋3 1＋3×2 1＋3×3 1＋3×4 如何设未知数？ 根据图形摆放的规律，用含字母(如m)的代数式表示第m个图形中的数量. 1＋3m 典例分析 例2 用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色 棋子的个数有可能是50吗？ 解：设第m个图形中有黑色棋子50个． 根据题意，得　　 3m＋1＝50． 解这个方程，得　　m＝． m＝不是整数，不符合题意. 答：图形中黑色棋子的个数不可能是50． 实际问题要根据实际意义检验所得的结果是否合理． 典例分析 变式 如图， 用同样大小的棋子按以下规律摆放： 按此规律摆放，是否存在2 024枚棋子摆放出的图形？若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由. 解：不存在2 024枚棋子摆放出的图形. 理由如下， 设摆放出的第n个图形的棋子有2 024枚. 根据题意，得6＋3(n－1)＝2 024 . 解这个方程，得n＝. 因为不是正整数，所以不存在2 024枚棋子摆放出的图形. 讨论交流 如何用一元一次方程解决与图形变化规律有关的问题？ (1)根据图形摆放的规律，用含n的代数式表示第n个图形中的数量； (2)根据问题中条件“第n个图形具体数量”列出方程； (3)解方程作出判断，若能解出正整数n，则存在，反之，则不存在． 注意检验！ 归纳总结 (1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况； (2)间接设法：当直接设元列方程较烦琐或较困难时，可选取一个与所求的未知量密 切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量； (3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列 方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还需增设辅助未知数，解方程时不必求 出，可在解题时自动消去，即设而不求． 设未知数常用的方法： 新知巩固 1． 已知一梯形的面积是120，上底是12，高是8，求下底的长． 解：设下底的长为x． 根据题意，得　　 ×(12＋x)×8＝120． 解这个方程，得　　x＝18． 答：下底的长为18． 新知巩固 2． 在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有一个问题：远望巍 巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ (倍加增指下一层灯的盏数比上一层增加1倍)请你解决这个问题． 解：设顶层x盏灯． 根据题意，得　　 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381． 解这个方程，得　　x＝3． 答：顶层3盏灯． 新知巩固 3．按如图所示的方式搭“小鱼”，若用了140根火柴棒，则“小鱼”有多少条？ 解：设“小鱼”有n条． 根据题意，得　　 6n＋2＝140． 解这个方程，得　　n＝23． 答：“小鱼”有23条． 能力提升 1．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙两人完成零件个数之比为1∶2，乙与丙完成零件的个数比为3∶4，现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了多少个零件？ 解：设乙做了6x个零件，则甲做了3x个零件，丙做了8x个零件. 根据题意，得 8x＋6x＋3x＝51. 解这个方程，得 x＝3. 8x＝24. 答：丙做了24个零件. 能力提升 小长方形的长和宽与大长方形的长和宽有关系吗？如果有，什么关系？ 2．如图，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小相同的小长方形(空白部分)，其中AB＝5cm， BC＝9cm. (1)求小长方形的长和宽；(2)阴影部分图形的总面积为________. 小长方形的长与宽的和为5cm 小长方形的1个长与3个宽的和为9cm 解：(1)设小长方形的长为 x cm，则由图易知宽为 (5－x ) cm， 根据题意，得 x ＋3(5－x )＝9， 解这个方程，得 x ＝3. 所以 5－3＝2(cm). 答：小长方形的长为3 cm，宽为2 cm. (2)5×9－5×2×3＝15 cm2.　 15 cm2 真题感知 （南京中考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30 ℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100 ℃，流速为15 mL/s.某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280 mL温度为60 ℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度. 真题感知 解：设该学生接温水的时间为x s. 根据题意，得 20x×(60－30)＝(280－20x)×(100－60). 解这个方程，得 x＝8. 所以 20×8＝160， 280－160＝120， 120÷15＝8(s). 答：该学生接温水的时间为8 s，接开水的时间为8 s. 课堂小结 与图形相关的方程问题 根据问题中包含的公式或性质构建等量关系 根据图形摆放的规律构建等量关系 根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理 $