3.3轴对称与坐标变化 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

3.3　轴对称与坐标变化 知识点1 对称点的坐标特点 1．关于x轴对称的两个点的坐标，_______相同，_______互为 相反数；反过来，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关 于x轴对称． 2．关于y轴对称的两个点的坐标，_______相同，_______互为 相反数；反过来，纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关 于y轴对称． 3．关于原点对称的两个点的坐标，横、纵坐标都互为相反数． 横坐标 纵坐标 纵坐标 横坐标 知识点2 图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系 1．横坐标保持不变，纵坐标乘－1，所得图形与原图形关于__ 轴对称． 2．纵坐标保持不变，横坐标乘－1，所得图形与原图形关于__ 轴对称． 3．横坐标乘－1，纵坐标乘－1，所得图形与原图形关于原点 对称． x y 考点1 对称点的坐标特点 典例1 如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(－2，－1) 思路导析 先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到B(1，－2)， 然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标． 变式1 已知点A(a－1，－2)与点B(－5，b＋5)关于x轴对称， 则a＋b＝____． －7 变式2 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，很多剪纸作品 体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形， 将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为(－2，－n)，其关 于y轴对称的点F的坐标(2，1－m)，则(n－m)2 025＝____． －1 考点2 坐标与图形的变化—— 轴对称 典例2 如图，已知点P(－2，4)，M(－1，1)，请根据每一小题的要求填空． (1)写出与点P关于y轴的对称点Q的坐标为_______，与点M关于 y轴的对称点N的坐标为_______； (2)写出点P关于直线x＝1的对称点R的坐标为_______，则PR的 距离为__； (3)写出点M关于x轴的对称点T的坐标为___________，则NT的距 离为_____． (2，4) (1，1) (4，4) 6 (－1，－1) 思路导析 根据轴对称的性质作出图形，进行解答即可． 变式 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(－1，3)，C(－3，2)． (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)点A1的坐标为 ， 点B1的坐标为 ， 点C1的坐标为 ． 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作； (2)(2，－1)，(－1，－3)，(－3，－2)． 1．[2024·鹤壁期中]蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图中点A的坐标为(-3,4)，则其关于y轴对称的点B的坐标为( ) A．(3，4) B．(4，3) C．(－3，4) D．(3，－4) 2．在平面直角坐标系中，点A(1，a)与点B(b，2)关于x轴对称，则a＋b＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．如图，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(1，1)， (3，2)，将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，则C1的坐标为( ) A．(－3，－2) B．(3，－2) C．(－3，2) D．(2，－3) 4.[规律探究]在平面直角坐标系中，对△ABC进行如图所示的循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是(5，2)，则经过第2 025次变换后点C的对应点的坐标为( ) A．(－5，－2) B．(5，－2) C．(－5，2) D．(5，2) 5．若 ＋|b－3|＝0，则点(a，b)关于y轴对称的点的坐标 是_________． 6．在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的 坐标是_________． (－4，3) (－2，2) 7．[2024·法库县期末]剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一， 其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪 纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中， 点A，B，C的坐标分别为(2，0)，(4，0)，(0.5，4)，则点D的坐 标为_________． (5.5，4) 8．[2024·双流区期末]平面直角坐标系中，点A(1，－3)关于 直线x＝－1对称的点的坐标是___________． (－3，－3) 9.[规律探究][2024·大丰区期末]如图，动点P在平面直角坐标 系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次 接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样 的运动规律，经过第2 025次运动后，动点P的坐标是___________． (2 025，1) 10．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点坐标分别是A(3，3)，B(－2，2)，O(0，0)． (1)画出△AOB关于x轴对称的△COD，其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D； (2)在(1)的条件下，请写出点C，D的坐标． 解：(1)如图所示，△COD即为所求作； (2)C(3，－3)，D(－2，－2)． 11.[将军饮马][2024·城阳区期末]在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点依次用线段连接．A(0，2)，B(2，0)，C(5，3)． (1)点C关于y轴对称的点C1的坐标为 ； (2)在y轴上有点D，则CD＋BD的最小值 为 ； (3)试说明△ABC是直角三角形． 12．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的 坐标为(0，3)，点B的坐标为(1，－4)，按要求解下列问题： (1)写出点C关于x轴的对称点C′的坐标； (2)求△ABC的面积． 解：(1)C′(3，－2)； (2)如图， 13．[2023·南关区期末]如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴． (1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，0)，B(－1，0)，C(－1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l：x＝3的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标； (2)如果点P的坐标是(－a，0)，其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 解：(1)△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2(4，0)，B2(5，0)， C2(5，2)； 2eq \r(2) eq \r(a－4) 解：如图所示，线段AB，BC，AC以及点A，B，C即为所作． (1)(－5，3)； (2)如图所示，取点B关于y轴的对称点B′，连接B′C，交y轴于点D，连接BD，此时CD＋BD＝CD＋B′D＝B′C，为最小值． 由勾股定理得B′C＝eq \r(72＋32)＝eq \r(58)， 所以CD＋BD的最小值为eq \r(58). 故答案为：eq \r(58)； (3)证明：由勾股定理，得 AB＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)， BC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)， AC＝eq \r(52＋12)＝eq \r(26)， 所以AB2＋BC2＝AC2， 所以∠ABC＝90°， 所以△ABC为直角三角形． 将△ABC补成长方形AMNP， 所以S△ABC＝3×7－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×2×6－eq \f(1,2)×1×7＝10. (2)因为P与P1关于y轴对称，P(－a，0)， 所以P1(a，0)， 又因为P1与P2关于直线l：x＝3对称，0＜a＜3， 设P2(x，0)，可得eq \f(x＋a,2)＝3，即x＝6－a， 所以P2(6－a，0)， 则PP2＝6－a－(－a)＝6－a＋a＝6. $$