黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：120 一、单选题（每题5分，共40分） 1．曲线在处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（    ） A． B． C． D． 7．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（    ） A．8种 B．10种 C．12种 D．15种 8．恰有一个实数满足成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知点，，动点到直线的距离为，，则（    ） A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知数列中，，，求数列的通项公式 13．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝ ． 14．已知空间向量，若，则实数 . 四、解答题 15．（13分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 16．（15分）如图，从左到右共有5个空格． (1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？ (2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？ 17．（15分）已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间. 18．（17分）已知等差数列的前项和为，，，且．数列满足 (1)求的值； (2)求数列的前项和． 19．（17分）已知函数． (1)求的单调区间： (2)若有两个零点，求a的取值范围； (3)当时，，求a的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B B C B ABD BC 题号 11 答案 AC 12． 【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到. 【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又， ∴，∴. 故答案为：. 13．x5－1 【分析】逆用二项式定理即可计算. 【详解】原式＝(x－1)5＋ (x－1)4＋ (x－1)3＋ (x－1)2＋ (x－1)＋－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 故答案为：x5－1. 14．/ 【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】因为，， 因为，所以，解得： 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式; (2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）由于是等差数列,设公差为, 当选①②时:,解得, 所以的通项公式. 选①③时:,解得, 所以的通项公式. 选②③时:,解得, 所以的通项公式. （2）由(1)知,, 所以, 所以 . 16．(1)36 (2)48 【分析】（1）先排个位，再排万位，再排余下的位置，利用分步乘法原理求解； （2）依次从左到右涂色，再利用分步乘法原理求解. 【详解】（1）由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法， 再放余下的第二、三、四位，共有种，根据分步乘法原理，这样的五位数的奇数共有（个）． （2）从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有（种）． 17．（1）；（2），. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）由题意得：， ，又， 在处的切线方程为，即. （2）由（1）知：， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用. 18．(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意求得数列的前3项，利用，求得； （2）求得数列的公差，得到，解得，结合并项法及等比数列的求和公式 求和即可. 【详解】（1）等差数列的前项和为， 可得， 因为，可得，解得. （2）由， 所以等差数列的公差为， 所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的前项和： ， 19．(1)的单调减区间为，单调增区间为. (2) (3) 【分析】（1）求出函数的导数，结合，判断导数正负，可得答案； （2）根据题意要使函数有两个零点，需使得函数最小值小于0，列出不等式，求得答案； （3）将不等式恒成立化为在上恒成立，从而构造函数，利用导数求其最小值，结合解不等式，可求得答案. 【详解】（1）由题意，函数定义为 ， 则，在上单调递增，且， 故当时，，当时，， 故的单调减区间为，单调增区间为. （2）由（1）可知在时取得最小值， 即， 而当，且x趋近于0时，趋近于0，趋于无穷大，则趋于无穷大， 当趋于无穷大时，趋于无穷大，趋于，则趋于无穷大， . 故要使有两个零点，需有 ， 即a的取值范围为. （3）当时，，即， 即在上恒成立， 令， 则，函数在上单调递增， 且当趋近于0时且时，与都趋于无穷小，则趋近于无穷小， 当趋于无穷大时，趋于无穷大，趋于0，则趋于无穷大， . 故在上必有唯一零点，设为，即，且， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 由题意可知当时，恒成立，需在上恒成立， 即，即， 所以，即 ， 当时，，不合题意； 当时，，又，则， 故结合，由于函数在恒成立， 可得，即； 当时，，又，则，则， 即，又， 故， 综合上述或，即a得取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$