精品解析：广东省深圳市深圳中学龙岗学校（集团）兰著学校2024-2025学年下学期八年级3月月考数学试卷

2024-2025学年八年级数学下学期阶段检查 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 如果，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法，错误的是（ ） A. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 B. 有两个角都是的三角形是等边三角形 C. 三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形 D. 用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角” 6. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点E，则DF的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 8. 如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 已知函数，则自变量x的取值范围是___________． 10. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 11. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 ． 12. 某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于5%，则海尔该型号冰箱最多降价_______元． 13. 如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________； 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 15. 平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将先向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后对应的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，则点C的对应点坐标是______； （3）在x轴上有一点P，使得的值最小，则点P的坐标为______． 16. 如图，根据图中信息解答下列问题： （1）关于的不等式的解集是 ； （2）关于的不等式的解集是 ； （3）当 ，． 17. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：； （2）若，．求的长度． 18. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 19. 请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． （1）求绝对值不等式的解集； （2）已知绝对值不等式的解集为，求的值； 20. 【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级数学下学期阶段检查 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 如果，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，符合题意； B、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； C、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D、当2＞1时，那么，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 2. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集，利用不等式的基本性质求出m的范围即可． 【详解】解：∵（m-1）x＞m-1的解集为x＜1， ∴m-1＜0， 解得：m＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组， 先分别求出两个不等式的解集，在数轴上表示可得解集. 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得. 在数轴上表示为： 所以不等式组的解集为：. 故选：D. 4. 如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移可得，，，利用矩形的面积减去三角形面积即可得到答案； 【详解】解：∵直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，， ∴，，， ∴， 故选：B． 5. 下列说法，错误的是（ ） A. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 B. 有两个角都是的三角形是等边三角形 C. 三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形 D. 用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法、命题的真假判断、逆命题的概念．根据线段垂直平分线的性质、等边三角形的定理、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可． 【详解】解：A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确，故此选项不符合题意； B、有两个角都是的三角形是等边三角形，说法正确，故此选项不符合题意； C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形，说法正确，故此选项不符合题意； D、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的内角中至少有两个角是直角”，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有 个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式． 【详解】解：设有x人，则苹果有个，由题意得： ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点E，则DF的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°， ∵DF∥AB， ∴∠F=∠BAE=30°， ∴∠DAE=∠F=30°， ∴AD=DF， ∵∠B=90°-60°=30°， ∴AD=AB=×11=5.5， ∴DF=5.5． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．取中点E，连接．先证明，得到，即可得到当时，的值最小，在中，求出，即可得到线段长的最小值是2． 【详解】解：如图，取中点E，连接． ∵，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴线段长的最小值是2． 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 已知函数，则自变量x的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，解一元一次不等式组．根据二次根式有意义的条件，可得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 10. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】##1<x 【解析】 【分析】首先把点P的坐标代入l1，即可求得点P的坐标，再根据两函数的图象即可求得． 【详解】解：把点P的坐标代入l1，得2=a+1， 解得a=1， 故点P的坐标为(1,2)， 故由两函数图象可得关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，利用函数图象求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 11. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 ． 【答案】-3＜a≤-2 【解析】 【详解】∵解不等式组得：a≤x≤2， ∵不等式组的整数解有5个， ∴整数解为：2，1，0，-1，-2， ∴-3＜a≤-2． 故答案为-3＜a≤-2． 12. 某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于5%，则海尔该型号冰箱最多降价_______元． 【答案】610 【解析】 【分析】直接利用利润率＝利润÷进价，进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设海尔该型号冰箱降价x元，根据题意可得： 2500﹣1800﹣x≥5%×1800， 解得：x≤610， 故答案为：610． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________； 【答案】 【解析】 【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出， ，推出，代入求出即可． 【详解】解：延长AP交BC于E，如下图． ∵BP平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）； 在数轴上表示出来为： 【解析】 【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 【小问2详解】 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：． 故不等式组的解集为： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式（组）的解法是解本题的关键． 15. 平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将先向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后对应的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，则点C的对应点坐标是______； （3）在x轴上有一点P，使得的值最小，则点P的坐标为______． 【答案】（1）如图， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图、图形的平移、最短路线问题、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握平移的性质是关键． （1）根据平移的性质作出A、B、C三点的对称点，并依次连接即可； （2）由点及其对应点的坐标可确定平移，根据平移即可确定点C的对应点的坐标； （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，此时最小，故点P即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：A、B、C三点平移后的对称点，，依次连接这三点得到对应的； 【小问2详解】 解：∵点A的对应点的坐标为， ∴平移为向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴点C的对应点坐标， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，作点关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，此时最小，故点P即为所求： 设直线的解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 即； 令，得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，根据图中信息解答下列问题： （1）关于的不等式的解集是 ； （2）关于的不等式的解集是 ； （3）当 ，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； （1）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （3）结合函数图象直接写出答案． 【小问1详解】 直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； 【小问2详解】 直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； 【小问3详解】 根据图象可得，当时，． 故答案为：． 17. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：； （2）若，．求的长度． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理： （1）根据平分，可得，从而得到，再由对顶角相等，推出，即可得证； （2）根据勾股定理求出的长，过点D作于点F，由角平分线的性质得到，再证明，可得，从而得到，在中，利用勾股定理求出的长，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，． ∴， 如图，过点D作于点F， ∵平分，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 18. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元 （2） （3）型30台，型120台，最大利润是570元． 【解析】 【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价， （2）列一元一次不等式组求出取值范围即可， （3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润． 【小问1详解】 设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得： ，解得：， 答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元． 【小问2详解】 设购进型品牌小电器台 由题意得：， 解得， 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围． 【小问3详解】 设获利为元，由题意得：， ∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元 ∴ 解得： ∴ 随的增大而减小， 当台时获利最大，最大元， 答：型30台，型120台，最大利润是570元． 【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件． 19. 请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． （1）求绝对值不等式的解集； （2）已知绝对值不等式的解集为，求的值； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由|2x−1|＜a知−a＜2x−1＜a，据此得出，再结合b＜x＜3可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案． 【小问1详解】 根据绝对值的定义得：或， 解得或； 【小问2详解】 ， ， 解得， 解集为， ， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的基本步骤． 20. 【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ． 【答案】 （1）证明：过点作，与相交于点，如图： ，， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）；问题提升： 【解析】 【分析】问题解决：（1）过点作，与相交于点，，，可得是等腰直角三角形，有，，，从而，而，故，有，又，知，根据可得； （2）求出，因，，故； 问题提升：设直线与直线交于，过作于，由（1）知，，知是等腰直角三角形，而为的中点，可得是的垂直平分线，有，从而是的平分线，，再证是等腰直角三角形，得，故，解得，． 【详解】问题解决：（1）略 （2）解：，， ， 由（）知，是等腰直角三角形， ，， ； 问题提升：解：设直线与直线交于，过作于，如图： 由（1）知， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ， 是的垂直平分线， ， ，即是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂直平分线的性质与判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $