精品解析：江苏苏州市苏州工业园区景城学校2026-2027学年第一学期九年级级数学10月学情自测试卷

2026-2027学年第一学期阶段练习试卷 九年级数学学科 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程化成一般形式后，常数项是－2，则一次项系数是（ ） A. 1 B. －2 C. 4 D. －4 4. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 10. 已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 11. 如果函数是二次函数，那么m=____． 12. 的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 13. 已知方程有一个根是，则代数式的值为___________． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 15. 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是___________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 选用合适方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 18. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当在什么范围内，随的增大而减小？ （3）把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 19. 已知二次函数（其中为常数）． （1）若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； （2）若该二次函数的最大值是3，求的值． 20. 已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 21. 已知关于x的方程有两个实数根，. （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值. 22. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． （1）求A，B两点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 23. 已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C． （1）求A，B两点的坐标； （2）连接，若为等边三角形，求m的值． 24. 如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时，的取值范围； （3）点在轴上，，求点的坐标． 25. 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，如图建立平面直角坐标系，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．     （1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式，并写出自变量相应的取值范围； （2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点在同一条直线上，结果保留根号） 26. 今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． （1）求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； （2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 27. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期阶段练习试卷 九年级数学学科 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，形如 （其中 为常数，且 ）的函数是二次函数．逐一判断各选项是否符合定义，即可解题． 【详解】解：选项 A：中，，且为整式，∴它是二次函数，符合题意． 选项 B：的最高次项为一次，∴它不是二次函数，不符合题意． 选项 C：中含有分式，不是整式，∴它不是二次函数，不符合题意． 选项 D：中，可能为 0，∴它不一定是二次函数，不符合题意． 故选：A． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 3. 一元二次方程化成一般形式后，常数项是－2，则一次项系数是（ ） A. 1 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定一次项系数即可． 【详解】解：， 移项，得， ∴一次项系数为． 4. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算各点的函数值，比较, , 的大小关系． 【详解】解：在二次函数中， 对于点：； 对于点，； 对于点，， ∵为常数， ∴， 即． 故选：A． 5. 如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式，列出方程即可. 【详解】解：设矩形菜地的一边长为米，则另一边的边长为米， 由题意，得. 6. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合． 时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 7. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握抛物线的相关性质． ①根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线与轴的交点个数即可得结论；④根据抛物线的对称轴和等于1时小于0即可得结论；⑤根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论． 【详解】解：①观察图象得∶抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴位于y轴左侧， ∴， ∴， ，则①错误； ②∵对称轴，即， ， ．故②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； ④当时，， 即，故④错误； ⑤当时，有最大值， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴， 即，即，故⑤正确． ∴正确的有3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 10. 已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 11. 如果函数是二次函数，那么m=____． 【答案】2． 【解析】 【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值． 【详解】∵函数是二次函数， ∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝−1， ∵m＋1≠0， ∴m≠−1， 故m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键． 12. 的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据表格中值相等的对应点确定二次函数对称轴，再利用二次函数对称性得到对应的另一个自变量的值，即可得到方程的解． 【详解】解：由表可知和的函数值都是， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，，满足方程， ∴根据二次函数对称性，另一个满足的点的横坐标为， ∴方程的解是，． 13. 已知方程有一个根是，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴将代入原方程得， 整理得， ∴． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】设，则可得到点B的纵坐标为，点B的横坐标为，据此求出的长，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 15. 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是___________ 【答案】2≤t<11 【解析】 【分析】由题意根据抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，可以求得b的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当-1＜x＜4时，y的取值范围，然后令y=t，即可转化为方程x2+bx+3-t=0，从而可以得到t的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1， ∴=1，得b=-2， ∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2， ∴当-1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11， 当y=t时，t=x2-2x+3，即x2+bx+3-t=0， ∵关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根， ∴t的取值范围是2≤t＜11， 故答案为：2≤t＜11． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意并利用二次函数的性质进行解答． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于，证，得与关系，设，构建关于的二次函数，结合取值范围求的范围． 【详解】解：延长交轴于点， 则，轴， ∵，， ∴轴，， ∵平行轴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， 设，则点横坐标为， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 当时，； 当时，， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 选用合适方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）直接用开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当在什么范围内，随的增大而减小？ （3）把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】（1） 抛物线开口向上，顶点坐标为 （2） 当时，随的增大而减小 （3） 新抛物线不经过点 理由：平移后新抛物线解析式为 即为， 将代入得 ， 新抛物线不经过点． 【解析】 【分析】（1）由二次函数顶点式直接判断开口方向与顶点坐标； （2）结合抛物线开口方向与对称轴，确定随增大而减小的的范围； （3）先推导平移后的抛物线解析式，再代入点的坐标验证． 【小问1详解】 解：二次函数解析式为，二次项系数为，， 抛物线开口向上，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 略 19. 已知二次函数（其中为常数）． （1）若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； （2）若该二次函数的最大值是3，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为二次函数有最大值，得，即可作答． （2）先求出对称轴为直线，结合该二次函数的最大值是3，故顶点坐标为，，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数有最大值， ∴开口向下，在对称轴处取得最大值，即； 【小问2详解】 解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数的最大值是3， ∴二次函数的开口向下，二次函数的顶点坐标为， 故，， ∴， 解得（舍去）， ∴． 20. 已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，进而得到，待定系数法求出，即可； （2）把代入（1）中解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设，， 则， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，． 21. 已知关于x的方程有两个实数根，. （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值. 【答案】（1）且；（2）. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，则，解出即可； （2）根据根与系数的关系，求出的值，解出即可. 【详解】解：（1）方程有两个实数根，则， 即，解得：且； （2），， 则，解得：，， 则k的值为. 【点睛】本题是对一元二次方程的综合考查，熟练掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键. 22. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． （1）求A，B两点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数解析式的求解、二次函数与一次函数的图象关系，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及函数图象与不等式的关系是解题的关键． （1）分别令直线方程中、，求解对应的坐标； （2）将A、B坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数； （3）根据图象，确定抛物线在直线上方的x取值范围． 【小问1详解】 解：令，代入得， 解得， ∴， 令，代入得， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过、， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：∵直线与坐标轴交于、， ∴由图象可知，不等式的解集是． 23. 已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C． （1）求A，B两点的坐标； （2）连接，若为等边三角形，求m的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）把y=0代入，解方程即可； （2）求出顶点坐标，过C作于D，求出CD即可． 【详解】解：（1）， ∵，方程两边同时除以m得， 解得，， ∴A，B两点的坐标分别为：，． （2）抛物线的顶点横坐标为：， 把x=1代入得，y=-4m， 抛物线的顶点C的坐标为： 由（1）得，AB=4，过C作于D， ∵为等边三角形， ∴AD=2，AC=4， ∴ ∵点C在第四象限， ∴ ∴． 【点睛】本题考查求二次函数与x轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系． 24. 如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时，的取值范围； （3）点在轴上，，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）当时，；当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）直接利用图象法进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线交于点，点， ∴， ∴， ∴双曲线，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点，点在轴上，， ∴， ∴. 25. 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，如图建立平面直角坐标系，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．     （1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式，并写出自变量相应的取值范围； （2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点在同一条直线上，结果保留根号） 【答案】（1） （2）他应再向前跑米 【解析】 【分析】（1）已知顶点，设顶点式，代入原点求出系数，再求与x轴交点B，得到自变量范围； （2）形状相同说明a不变，弹起后最大高度为2，设弹起后的顶点式，代入，求出第二个落点C横坐标，再计算即可得到跑动距离． 【小问1详解】 解：由题意得足球第一次落地之前的运动路线为二次函数，顶点为且经过原点， ∴设函数表达式为， 代入，得 ， 解得， ∴， 令，则， 解得，， ∴， ∴自变量相应的取值范围为， ∴； 【小问2详解】 解：∵足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半即（米）， ∴设足球在草坪上弹起后的抛物线表达式为， 代入，得 ， 解得， ∵顶点位于点B右侧，即， ∴， ∴足球在草坪上弹起后的抛物线表达式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴（米）， ∵米 ∴（米）． 答：他应再向前跑米． 26. 今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． （1）求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； （2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每件商品降价元时，商场月份可以达到最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）设第十，十一这两月销售量的月平均长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设第十，十一这两月销售量的月平均长率为． 根据题意，得， 化简，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：第十，十一这两月销售量的月平均长率为． 【小问2详解】 设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元． 由题意得，， 即， ∴当时，w有最大值，． 答：当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润， 最大利润为8820元． 27. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为 （3）的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $