5.3二元一次方程组的应用 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

3　二元一次方程组的应用 第1课时　古算问题 知识点 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 1．审题，在题目中找出_______和_______，同时找到_________； 2．设出未知量，利用等量关系列出方程组； 3．解方程组； 4．检验方程组的解是否正确，答案是否符合题意，并作答． 已知量 未知量 等量关系 思路导析 根据“每个盗贼分得6匹，就多出6匹；每个盗贼分得7匹，就缺少7匹”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 变式 [数学传统文化][2023·章丘区期末]我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为( ) 思路导析 根据“购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 第2课时　增收节支 知识点1 增长(亏损)率问题的基本数量关系 1．增长后的量＝原量×(1___增长率)； 2．亏损后的量＝原量×(1___亏损率)． ＋ － 知识点2 利润问题中的基本数量关系 1．利润＝_____－进价； 2．利润率＝_____×100%. 售价 考点1 增长(亏损)率问题 典例1 某九年一贯制学校共有学生3 000人，计划一年后初中在校生增加8%，小学在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%.设这所学校现有初中在校生x人，小学在校生y人，由题意可列方程组为( ) 思路导析 根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 变式 古交丘陵山区科研基地利用膜侧播种技术种植的玉米、高 粱喜获丰收，玉米比露地栽培增产7.35%，高粱比露地栽培增产 6.05%.已知采用膜侧播种技术种植两种作物亩产量的和为1 135 千克；露地种植两种作物亩产量的和为1 063.5千克．设露地种 植玉米、高粱的亩产量分别为x千克，y千克， 根据题意可列方程组为( ) 考点2 利润问题 典例2 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是( ) A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元 思路导析 解决这个问题，必须明白①利润＝售价－进价，②降价销售实际上是降低了每件的利润，原来每件获利45元，降价35元销售，实际每件利润为(45－35)元．根据题意，列出方程组，求出方程组的解即可． 变式1 [2023·锦江区模拟]某商场按定价销售某种商品时，每件可获利30元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件利润相等．设该商品的进价、定价分别为x，y，则可列方程组为( ) 变式2 [2025·贵阳期末]第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7 日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某 商场购进“滨滨”和“妮妮”共1 000个，总共花费18 000元， 其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨” 和“妮妮”的利润率是40%，求一个“妮妮”的售价．(利润率 ＝ ×100%) (2)设一个“妮妮”的售价为m元， 由题意，得(28－20)×600＋(m－15)×400＝18 000×40%， 解得m＝21， 答：一个“妮妮”的售价为21元． 第3课时　行程与数字问题 知识点1 行程问题 问题 类型 内容 图示 等量关系 相遇 问题 甲、乙从两地出发，相向而行 ___________＋_______ _____＝A，B两地的距 离 甲走的路程 乙走的 路程 问题 类型 内容 图示 等量关系 追及 问题 甲、乙同时， 不同地 甲走的路程＝_________ _______＋___________ 甲、乙同地， 不同时 甲所用时间－乙所用时 间＝乙开始走之前甲用 的时间 A，B两地 的距离 乙走的路程 问题 类型 内容 图示 等量关系 环形 道路 问题 甲、乙同时 同地同向出发，甲追上 乙 甲走的路程－乙走的路 程＝_________ 甲、乙同时 同地反向出 发到相遇 ___________＋_________ ___＝环形周长 环形周长 甲走的路程 乙走的路 程 问题 类型 内容 图示 等量关系 航速 问题 船在水中航 行；飞机在 风中航行 —— ①顺水(风)航行速度＝___ ___________________＋___ _____________ ②逆水(风)航行速度＝___ ___________________－___ _____________ 静 水(无风)航行的速度 水 流(风)的速度 静 水(无风)航行的速度 水 流(风)的速度 知识点2 数字问题 数 表示 举例 两 位 数 若一个两位数的十位上的数字为x， 个位上的数字为y，则这个两位数 表示为_______；若将它的十位上 的数字与个位上的数字对调，则 这个两位数表示为_______ 一个两位数个位上 的数字为8，十位 上的数字为x，则 这个数为10x＋8 10x＋y 10y＋x 数 表示 举例 三 位 数 若一个三位数的百位上的数字为x，十位 上的数字为y，个位上的数字为z，则这个 三位数表示为_____________ 一个三位数，个 位上的数字为8， 十位上的数字为6， 百位上的数字为x， 则这个数为100x ＋60＋8＝100x＋ 68 若一个三位数的百位上的数字为x，十位 上的数字为y，个位上的数字为0，则这个 三位数表示为__________ 若一个三位数的百位上的数字为x，十位 上的数字为0，个位上的数字为y，则这个 三位数表示为________ 100x＋10y＋z 100x＋10y 100x＋y 【注意】 1.两个两位数分别为a，b，若把b放在a的左边组成一个四位数，那么这个四位数表示为100b＋a. 2．a为两位数，b为三位数，若把a放在b的左边，得到一个五位数，则这个五位数为1 000a＋b；若把b放在a的左边，则这个五位数为100b＋a. 思路导析 根据“十位数字比个位数字大4，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 变式 [中华传统文化]算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产． 以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠 分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右 至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位……可以任意选 定某档为个位，不拨出空档表示0.小华先在百位拨了一颗上珠和一颗 下珠，拨完十位和个位的算珠后，他对小明说：我拨的三位数中，个 位数字与十位数字的和等于百位上的数， 个位数字减2等于十位数字加2，请求出 这个三位数． 思路导析 利用路程＝速度×时间，结合“如果反向而行，那么他们每隔20 s相遇一次；如果同向而行，那么每隔50 s乙就追上甲一次”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 考点1 古算问题 典例1 [数学传统文化]“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？(选自《孙子算经》)”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况．如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，问盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？设盗贼有x人，失窃的绸缎有y匹，根据题意可列方程组 为( ) A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋6＝y，,7x＋7＝y)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋6＝y，,7x－7＝y)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x－6＝y，,7x－7＝y)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x－6＝y，,7x＋7＝y)) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋9＝y－9，,x－9＝2y＋9)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋9＝2y－9，,2x－9＝y＋9)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋9）＝y－9，,x－9＝y＋9)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋9＝2（y－9），,x－9＝y＋9)) 考点2 实际问题 典例2 [2023·大埔县期末]金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，设每棵松树苗x元，每棵梭梭树苗y元，则列出的方程组正确的是( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝180，,y－x＝10)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝180，,y－x＝10)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝180，,x－y＝10)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝180，,x－y＝10)) 变式 [2023·城关区期末]甲、乙两根绳共长18米，如果甲绳剪去eq \f(1,5)，乙绳增加1米，两根绳长相等，若设甲绳长x米，乙绳长y米，则以下列出的方程组正确的是( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝18，,x＋\f(1,5)x＝y－1)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝18，,x－\f(1,5)x＝y＋1)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝18，,x＋\f(1,5)＝y－1)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝18，,x－\f(1,5)＝y＋1)) eq \f(利润,进价) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3 000，,（1＋8%）x＋（1＋11%）y＝3 000×10%)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3 000，,8%x＋11%y＝3 000×（1＋10%）)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3 000，,8%x＋11%y＝3 000×10%)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3 000，,8%x＋11%y＝10%)) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1 135，,x＋y＝1 063.5)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1 063.5，,7.35%x＋6.05%y＝1 135)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1 063.5，,（1＋7.35%）x＋（1＋6.05%）y＝1 135)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1 135，,（1＋7.35%）x＋（1＋6.05%）y＝1 063.5)) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝30，,5（0.8y－x）＝8（y－20－x）)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝30，,5×0.8y＝8（y－20）)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝30，,8（0.8y－x）＝5（y－20－x）)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝30，,\f(0.8y－x,5)＝\f(y－20－x,8))) eq \f(利润,进价) 解：(1)设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1 000，,20x＋15y＝18 000，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝600，,y＝400，)) 答：商场购进“滨滨”600个，购进“妮妮”400个； 考点1 数字问题 典例1 一个两位数，十位数字比个位数字大4，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36，求原两位数．若设原两位数十位数字是x，个位数字是y，则列出方程组为( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4，,10x＋y＝10y＋x－36)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,10x＋y＝10y＋x－36)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4，,10x＋y－36＝10y＋x)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝4，,10x＋y－36＝10y＋x)) 解：设个位数字为x，十位数字为y，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,x－2＝y＋2，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1，)) 答：这个三位数为615. 考点2 行程问题 典例2 某学校体育场的环形跑道长250 m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车，同时同地出发，如果反向而行，那么他们每隔20 s相遇一次；如果同向而行，那么每隔50 s乙就追上甲一次．设甲的速度为x m/s，乙的速度为y m/s，则可列方程组为( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20（x＋y）＝250，,50（y－x）＝250))　 B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20（y－x）＝250，,50（x＋y）＝250)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20（x－y）＝500，,50（x＋y）＝250))　 D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20（x＋y）＝250，,50（y－x）＝500)) 变式 [2024·宁波一模]甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组 为( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＝5y＋10，,4y＝6x)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＝5y＋10，,4x＝6y)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋10＝5y，,4x＝6y)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5y＝5x＋10，,4y＝6x)) $$