2025年宁夏固原市西吉县九年级下学期学业水平监测数学试卷

1 西吉县 2025 年九年级学生学业质量监测数学试题 参考答案及评分标准 说明： 1. 除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。 2. 涉及计算的题，允许合理省略非关键步骤。 3. 以下答案中右端所注的分数，表示考生正确做到这步应得的累积分。 一、选择题（3 分×8=24 分） 二、填空题（3 分×8=24 分） 9. )2)(2(  xxx ； 10. 5 1 ； 11. 1 xy ；（K<0,B=1 即可） 12. 2 33 ； 13.0； 14.216°； 15. 10； 16. 3. 三．解答题（每小题 6 分，共 36 分） 17．解：解不等式①得， 4x ...................................2 分 解不等式②得， 4 1 x .....................................4 分 所以不等式组的解集为 4x ............................6 分 18. 解：原式＝ 2)3( 3 3 3      x x x x ……………………………2分 ＝ 3 1 x ……………………………………… 4 分 当 0x 时，原式＝ 30 1  ＝ 3 1  ………………6 分 19. 解： (1) 如图.........................................................................2 分 （2）证明 FOEO ASAAOFCOE FOAEOC OCOA ACEF FAOECO ABDC ABCD       分 又 分（定义也正确）垂直平分线性质 平分 分等两直线平行，内错角相 是平行四边形四边形 6................................).........( 5........)( 4)...( //   题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B A C C 2 20．解：（1）设每个太阳帽和旅行包的进价分别为 x元和 y元，根据题意，得：      14045 7423 yx yx ………………………………………2 分 解得：      25 8 y x 答：购买 A、B 两种防疫物品每件分别为 16 元和 4元. ………………………………3 分 （2）设购进太阳帽 a个，则购进旅行包（480-a）个，根据题意，得： 4a+10（480－a）≥4200 解得，a≤100 …………………………………………5 分 答：最多购进太阳帽 100 个. …………………………………………6 分 21．证明：(1)根据题意得：△BCD≌△BED ∴∠C=∠FED ，CD=ED 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠BAF=∠C，AB=CD ……………………………1 分 在△ABF 和△EDF 中         EDAB DEFBAF EFDAFB ∴△ABF≌△EDF（AAS）……………………………2 分 ∴BF=DF ……………………………3 分 (2) 由（1）得 AF=EF ∴∠FAE=∠FEA ∴∠DFE=2∠FAE=2∠FEA…………………………4 分 同理可得： ∠DFE=2∠FBD=2∠FDB ∴∠AEF=∠DBF …………………………5 分 ∴AE∥BD ……………………………………… 6 分 22．解：（1）如图所示………………………………………1分 a＝=76，b=85. …………………………3 分 （2）九年级成绩更好。理由：九年级中位数大于八年级； 九年级优秀率大于八年级。（合理即可） ………………4分 （3）根据题意得：八年级 20 人中优秀人数为 6 人， 3 九年级 20 人中优秀人数为 11 人，两个年级 40 人中 优秀总人数为 17 人。 所以，1000 人中的优秀人数为： 425 40 171000  （人） 答：该校八、九两个年级共有 425 人成绩为优秀…………………6 分（答案不唯一，此答案默认为两个 年级人数相等时情况，可以酌情给分） 23．解：（1）①m=-4 …………1分 ②、③见图 …………4分 （2）①图像关于 y 轴对称； ②当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大。 ③函数值小于 0. …………6分 （3）自变量 x 的取值范围 x<-1 或 x>1。………8分 24．（1）证：∵ AB 是⊙O的直径 ∴∠ADB＝∠AEB＝90°………1 分 又∵AB=AC ∴∠BAD＝∠CAD ………2 分 又∵∠EAD＝∠EBD ∴∠QBD＝∠BQD 分 分 .........4DA DQ=DB 3..........~ 2    BD AD QD BD BQDABD （2）解：连接 CQ，∵AD⊥BC，BD=CD ∴CQ=BQ =3 ………5 分 在 Rt△CEQ 中，CQ=3,EQ=2 ∴CE= 5 ………………6 分 设 AE =a，则 AC=AB=a+ 5 4 在 Rt△ABE 中,有（a+ 5 ）2=52+a2 解得 a= 52 ………7 分 ∴AC= 53 ∴S△ABC = 5 2 15553 2 1  ………8 分 25．解：（1）把 A(-1,0)，B(3,0)两点代入抛物线解析式得：     0339 0 = 3 + b - a ba 解得     2 1- = a b …………2 分 所以抛物线的表达式为：y = -x 2 + 2x + 3 ………3 分 （2）y =-x2 + 2x + 3=-（x-1）2+4 所以顶点 M 的坐标为(1,4)。 ……… ……………4分 设直线 AM 的解析式为 y=kx + m，把 A(-1,0)、M(1,4)代入可得：      4 0 = bk- bk 解得     2 2 =k b 所以直线 AM 的解析式为 y = 2x+2 ……… ……………5 分 当 x = 0 时，y=2×0 + 2=2 所以点 D 的坐标为(0,2) ……… ……………………6分 （3）作点 D（0,2）关于 x 轴的对称点 D’(0,-2) … …7 分 连接 D’M，与 x 轴的交点即为使得 MH + DH 最小的点 H. 过点 M 作 CM⊥y 轴于点 C，则 CM=1.CD’=6 ………8 分 所以 D’M= 3761 22  ……… ……………………10 分 26．【发现结论】结论 1：= ……………………1 分 ∵AB = AC ∴∠ ABC=∠ACB 又∵BD、CE 是角平分线 ∴∠ABD= 2 1 ∠ABC,∠ACE= 2 1 ∠ACB ∴∠ABD=∠ACE, 在△ABD 和△ACE 中， 5         AA ACAB ACEABD ∴△ABD ≌△ACE(ASA) ∴BD=CE。 结论 2:= ……………………2 分 ∵点 D，E 分别是边 AC，AB 的中点，AB=AC， ∴AE= 2 1 AB , AD= 2 1 AC ∴AE =AD. ……………………3 分 在△ABD 和△ACE 中，         AEAD AA ACAB ∴△ABD ≌△ACE(SAS) ∴BD=CE。 ……………………5 分 【拓展应用】 (1)添加条件:AD=AE (条件不唯一，只要能证明即可）……………6分 证明:在△ABD 和△ACE 中，         AEAD AA ACAB ∴△ABD ≌△ACE(SAS) ∴BD=CE ……………………8 分 (3) 能。0<CF< 15  …………10 分 解：如图，在 AC 上取一点 D，使得 BD=CE ∵BF=CE ∴BF=BD ∵BD<AB ∴BF<AB 不妨设 BF=AB 6 ∵∠A=36° ∴∠BFA=∠A=36° ∴∠ABF=180°-2∠A=180°-2×36°=108° 又∵AB=AC,∠A=36° ∴∠ABC=∠ACB=72° ∴∠BCF=108° ∴∠ABF=∠BCF 在△ABF 和△BCF 中 ∵∠ABF=∠BCF，∠AFB=∠BFC ∴△ABF∽△BCF ∴ BF CF AF BF  设 CF=x ∵AB=AC=2 ∴BF=2,AF=2+x ∴ 22 2 x x   解得 x1= 15  x2= 15  （舍） 经检验 x= 15  是分式方程的解 ∴CF= 15  ∵点E 为边AB 上任意一点(不与点 A，B 重合) ∴0<CF< 15  1 西吉县2025年九年级学生学业质量监测试卷 数 学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1.下列有理数﹣2 、0、 、 4 中最小的数是 ( ) A. ﹣2 B．0 C． D．4 2.下列计算正确的是 ( ) A. x3+x2=x5 B.x3-x2=x C. x3.x2=x D. x3÷x2=x 3.纹样作为中国古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯,下面纹样的示意图中，是中心对称图形 但不是轴对称图形的是 （ ） A． B． C． D. 4.葫芦寓意着健康长寿，如图是一个工艺葫芦的示意图,关于它的三视图说法正确的是 ( ) A.主视图、左视图与俯视图都相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.主视图与左视图相同 5.为保障每天体育锻炼 1小时，小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如 图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）. A. 平均数为 70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 第4题图 第5题图 6.数学活动课上，同学们尝试裁剪纸片，如图是边长为 10cm 的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角 形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是( ) A . B. C. D. 7.函数 ay x  与函数 2y ax （ 0a  ）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A B C D A. B. C. D. 8.如图 1，点F从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以 1cm/s 的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时 ，△FBC 的面积y（cm2 ）随时间x（s）变化的关系图象，则a 的值为 ( ) A． 5 B．2 C． 2 5 D． 52 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.因式分解：x3-4x= . 10.学校组织劳动教育实践活动，每人从剪枝、锄地、除草、浇水、施肥五项中随机选择一项参加 ，则小亮选到“锄地”的概率是 . 11.数学小组的同学们观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，1）； 乙：y随x的增大而减小．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 . 12.如图，将一长方形纸条和三角板摆放在数轴上，使纸条的一边缘与数轴对齐，且通过三角板的顶 点 B，交AC边于点D，此时点D，B在数轴上的读数分别为-1，2，若∠a=60°,则线段 BC 的长为 . 第12题图 第14 题图 13.关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋3＝0有实数根,则整数a的最大值是 . 14. 如图，直线EF与正五边形ABCDE 的边BC和DE分别交于点E和点F，则∠1+∠2= °. 机密★启用前 2 15.如图是分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“H ”的个数是 . 第15 题 第16 题 16.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上． 将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B，与函数y＝ （k＞0，x>0）的图象交于点C． 若BC＝ 5 ，则OB的长度是 . 三、解答题（本题共 10 小题，其中 17-22 题每小题 6 分，23、24 题每小题 8 分，25、26 题每小题 10 分， 共 72 分） 17.解不等式组        3 2x1 91x2 x 18. 先化简： 26 6 91 3 3 x x x x        ，再从 3 ，0，3中选取一个适当的数代入求值． 19．在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂 直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应 线段所在两个三角形全等即可得出结论. 请根据她的思路完成以下作图和填空： （1）用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E ，交AB于点F ，垂足为O．（只保 留作图痕迹） （2）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC,垂足为O. 求证:EO =FO 证明： ACEF ECO ABDC ABCD   __)_______________(____ // 垂直平分 是平行四边形四边形  OA OC(__________________) 又EOC  FOA COE≌ AOF (__________) EO  FO  20．西吉县火石寨景区准备购进一批印有丹霞地貌的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要 74元，购进5个太阳帽和4个旅行包需要140元. (1)分别求出每个太阳帽和旅行包的进价； (2)该景区的太阳帽售价为12元，旅行包售价为35元．景区计划购进太阳帽和旅行包共480个，要保证销售完 这些货物后获得的利润不低于4200元，太阳帽最多购进多少个？ 21.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE． 证明：（1）BF=DF．（2）AE∥BD． 第19题图 A B C D E F 第21题 ① ② 机密★启用前 3 22.为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校八、九年级进行了爱国知识竞赛，并从八、九年级各随机 抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀 ，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80， D：0≤x＜70），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：60，60，61，65，68，70，70，72，76，76，76，76，77， 78，85， 87，90，93，100，100. 九年级 20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：85，85，85，85,87. 根据以上信息，解答 下列问题： 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 77 a 76 30% 九年级 77 85 b 55% （1）请补全条形统计图，并填空：a＝ ,b＝ . （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的爱国知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理 由（写出一条理由即可）； （3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有 1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成 绩为优秀. 23.（8 分）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 x 2y  的图象与 性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图像 x ... -3 -2 -1 2 1  2 1 1 2 3 ... y ... 3 2  -1 -2 -4 m -2 -1 3 2  ... ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m = ； ②描点：根据表中各组对应值(x, y) ， 在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线： 用平滑的曲线顺次连接各点，画出了 部分图象，请你把图象补充完整. （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： 1 2 （3）运用图象和函数性质,当−2 < x 2  < 0 时，写出自变量x的取值范围 24.如图，在ΔABC 中, AB=AC ，以AB 为直径作⊙O，交BC、AC上的点为D、E，连接AD、BE，线段BE 与 线段AD 交于点Q . （1）求证：DB2=DQ•DA ； （2）如果BQ=3，EQ=2 ，求ΔABC 的面积.（提示：连接CQ） 机密★启用前 4 25.如图，抛物线y = ax2 + bx + 3与x轴交于A(-1，0) ，B (3，0)两点，与y 轴交于点C．点M是抛物线的顶 点，直线 AM与y轴交于点 D. （1）求该抛物线的表达式； （2）求点D和点M的坐标； （3）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH，DH，求 MH+DH 的最小值； 26.综合与实践.在△ABC中，AB=AC. 【发现结论】 结论 1：如图 1，当 BD，CE是△ABC的角平分线时，则BD CE；（数量关系）. 结论 2：如图 1，当点D，E分别是边 AC，AB 的中点，连接 BD，CE，则BD CE,并证明此结 论. 【拓展应用】 探究发现：在△ABC中，AB=AC， D为边 AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上 的任意位置，在另一边 AB上总能找到一个与其对应的点 E，使得 BD =CE. （1）如图 2，在△ABC中，AB=AC，点 D，E分别在边AC，AB 的延长线上，请添加一个条件（ 不再添加新的字母），使得BD =CE，并证明. （2）如图 3，在△ABC中，AB = AC =2，∠A =36°,点 E为边AB上任意一点(不与点A，B重合)，点F 为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，请直接写出 CF的取值范围，若不能， 请说明理由. 图1 图 2 图3 第25题图 机密★启用前