江苏省泰州市泰兴市济川初级中学2024-2025学年下学期八年级5月月考数学试卷

2024-2025学年江苏省泰州市泰兴市济川初级中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.手势密码是在手机触屏九宫格上设置的一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁.下列手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.利用配方法解方程，经过配方，得到(    ) A. B. C. D. 4.已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H得到的平行四边形EFGH与原四边形关系密切，因此平行四边形EFGH也被称为瓦里尼翁平行四边形.已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形EFGH周长的是(    ) A. AD和BC B. AB和CD C. AC和BD D. AC和AD 6.如图，四边形纸片ABCD中，，，过点A作，垂足为点若，则该纸片的面积为(    ) A. 12  B. C. 18  D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.方程的解是______. 8.已知方程的一个根是1，则m的值为          . 9.比较大小：______填“>”“<”或“=” 10.已知、是方程的两个根，则          . 11.色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下： 抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 根据表中信息，估计在男性中出现色盲患者的概率约为______精确到 12.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______. 13.如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，的解集是______. 14.如图是反比例函数，在x轴上方的图象，平行四边形OABC的面积是5，若点A在x轴上，点B在的图象上，点C在的图象上，则的值为______. 15.如图，在平面直角坐标系中，点P是y轴正半轴上的一个动点，点A在x轴的正半轴上，，将点P绕点A顺时针旋转至点，点M是线段的中点，若点Q是x轴的正半轴上的一个动点，且点N是AQ的中点，则线段MN长的最小值为______. 16.如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数的图象上，且边BC经过原点若平行四边形ABCD的面积为24，则______. 三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程： ； 18.本小题6分 先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 19.本小题10分 关于x的方程 求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； 若方程有两个相等的实数根，求出方程的根. 20.本小题10分 某市教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一学期参加综合实践活动的天数，绘制成部分统计图如下． 请根据图中信息，解答下列问题： 扇形统计图中的值为______，“活动时间为4天”的扇形所对圆心角为______，八年级学生为______人； 补全条形统计图； 若该市共有6000名学生，请你估计其中“活动时间不少于4天”的学生大约有多少名？ 21.本小题8分 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点 求m、k的值； 点D是的图象上一点，且，求点D的坐标. 22.本小题10分 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： 商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元用含x的代数式表示； 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 23.本小题12分 【阅读材料】 在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD、AD、AB上，且，垂足为M，那么GE与HF相等吗？分别过点G、H作、，垂足分别为P、Q，通过证明≌，得到 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题. 【探究1】 如图2，在正方形ABCD中，点E在BC上，使用无刻度的直尺和圆规作，交CD于点要求直尺、圆规各使用一次，保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落在、处，且经过点D，将纸片展开，延长交BC于点G，连接DG交EF于点 求证：； 求证： 24.本小题12分 【学习新知】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. 研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有 我们记“”，即时，方程为倍根方程. 【问题解决】 方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是      填序号即可； 若是倍根方程，求的值； 关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解. 25.本小题12分 已知在矩形纸片ABCD中，，，点P在边AD上，连接将该纸片沿PC折叠，使点B落在点E的位置，设CE与直线AD的交点为 如图①，当点P与点A重合时，连接 ①求AQ的长； ②求DE的长. 如图②，当点P与点A不重合时，连接若为等腰三角形，求AP的长. 26.本小题14分 如图，平面直角坐标系xOy中，点，函数的图象经过▱OABC的顶点和边BC上的点 的值； 若的面积等于6，求k的值； 若P为函数的图象上一个动点，过点P作直线轴于点M，直线l与x轴上方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，且，当时，求t的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、，是最简二次根式； B、，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、，被开方数不含分母，不是最简二次根式； D、，分母中含有根式，不是最简二次根式； 故选： 根据最简二次根式的概念判断即可． 本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心； A.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选： 根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， 故选： 先移项，再配方，变形后即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：反比例函数的图象在一、三象限，而， 点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上， ， ， 故选： 先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，所在的象限即可得到答案． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， 、FG、GH、EH分别为、、、的中点， ，，，， 四边形EFGH的周长， 已知线段AC和BD的长度，能得到四边形EFGH的周长， 故选： 根据三角形中位线定理得到，，，，再根据四边形的周长公式判断即可． 本题主要考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：如图，过点A作，交CD的延长线于H，连接AC， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 又， ， ，， ， ， ， 该纸片的面积， 故选： 由“AAS”可证≌，可得，，由“HL”可证，可得，，可求EC的长，由面积关系可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7.【答案】，  【解析】解：， 则， ， 或， ，， 故答案为：， 利用因式分解法解出方程． 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 8.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【解答】 解：把代入得， 解得 故答案是： 9.【答案】<  【解析】解：，， ， 经过比较可得： 故答案为： 根据无理数的大小比较方法解答． 本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 10.【答案】5  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，代入所求代数式中，即可求解． 【解答】 解：，是方程的两个根， ，， 故答案为： 11.【答案】  【解析】解：根据题目中表所示，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在左右， 在男性中，男性患色盲的概率为 故答案为： 当试验次数n很大时，频率将稳定在一个常数附近，这个常数称为这个事件的概率；结合本题，当n逐渐增大时，频率的值可认为是概率的值． 本题侧重考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12.【答案】且  【解析】解：根据题意得且， 解得且， 即k的取值范围为且 故答案为：且 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 13.【答案】或  【解析】解：直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是， ， 由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的下方， 的解集是或 故答案为：或 先根据题意求出B点坐标，再利用函数图象可直接得出结论． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能直接利用函数图象得出不等式的解集是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由平行四边形OABC，点B在的图象上，点C在的图象上， 设，， 得， 由平行四边形OABC的面积是5， 得， 得， 故答案为： 由平行四边形OABC，点B在的图象上，点C在的图象上，设，，得，由平行四边形OABC的面积是5，得，即可得 本题主要考查了反比例函数，解题关键是正确应用反比例函数系数的几何意义． 15.【答案】3  【解析】解：过点作x轴垂线，垂足为点H， 因为点M，N分别是和AQ的中点， 所以MN是的中位线， 则， 所以取得最小值时，MN即取得最小值． 令，则， 易证≌ 则，， 故 即点在直线上． 所以当轴，即点Q在点H处时，有最小值， 此时， 所以MN的最小值为： 故答案为： 根据，过点作x轴垂线，构造出K型全等．又由M，N分别为和AQ中点可知MN是的中位线，最小，则MN最小．最后根据垂线段最短得出MN长的最小值． 本题考查了利用全等将线段进行转化，同时考查了中位线的有关结论，找出点的纵坐标是定值，即点在直线上是解题的关键． 16.【答案】8  【解析】解：由题意，设，， 连接OD， 又平行四边形的面积为24， 又， 又平行四边形的对角线AC与BD互相平分， ①，且②． 由②得，③． 将③代入①得，④． 把④代入③得， 故答案为： 依据题意，设，，可得，连接OD，又平行四边形的面积为24， 从而，结合，进而可得，最后由平行四边形的对角线AC与BD互相平分，可得①，且②，从而计算可以得解． 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 17.【答案】解：， ， 或， 解得； ， ， ， ， ， 解得  【解析】把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可； 先把常数项移到方程右边，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键． 18.【答案】解：原式 的值是方程的根， ， 当时，原式  【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，求出，再代入求出即可． 本题考查了解一元二次方程，分式的混合运算和求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19.【答案】证明：， ，，， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； 解：方程有两个相等的实数根， ， 解得，， ， ， 解得，， 方程的根为  【解析】由题意知，，进而结论得证； 由方程有两个相等的实数根，可得，可求，则，计算求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式．配方法解一元二次方程等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式．配方法解一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】解：；； 活动时间为5天的学生数：人， 活动时间为7天的学生数：人， 补全条形统计图如图： 人， 答：该市活动时间不少于4天的人数约是4500人．  【解析】【分析】 本题考查的是用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 扇形统计图中，根据单位1减去其他的百分比即可求出a的值；用乘“活动时间为4天”的百分比可得其圆心角度数，由参加实践活动为2天的人数除以其所占的百分比即可求出八年级学生总数； 由学生总数分别乘活动实践是5天或7天的百分比求出各自的人数，补全统计图即可； 求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果． 【解答】 解：， 活动时间为4天的扇形所对的圆心角是， 学生总数为人； 故答案为：，， 见答案； 见答案． 21.【答案】，  点D的坐标为或  【解析】一次函数与y轴交于点， ， 一次函数解析式为， 点在一次函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， 由可知：直线AB的解析式为 当时，， 解得：， 点B的坐标为， ； 当时，， 点C的坐标为， ， ， 即， 解得：， 当时，， 解得：， 点D的坐标为； 当时，， 解得：， 点D的坐标为 综上所述，点D的坐标为或 根据一次函数解析式先求出点C坐标继而求出b值得到一次函数解析式，再根据一次函数解析式求出点A坐标继而得到k值； 由可知直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，C的坐标，进而可得出OB，OC的值，结合，可得出关于点D纵坐标的方程，解之可得出点D的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点D的坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；根据两三角形面积间的关系，找出关于点P的纵坐标的方程． 22.【答案】解：； 解：设每件商品降价x元，则 由题意得：， 化简得：， 即， 解得：，， 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．  【解析】解：降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数； 等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可． 本题考查列代数式和一元二次方程的应用，得到总盈利2100元的等量关系是解决本题的关键． 23.【答案】【探究1】解：如图，BF即为所求， 四边形ABD是正方形， ，， 由作图知：， ， ， ， ， ； 【探究2】 证明：将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落在、处，且经过点D， ，， 又， ≌， ； 证明：如图，连接，过点F作于N， 则四边形BCFN是矩形， ，，， 又， ， 翻折， ， ，， ，， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又，， ≌， ， 又，， ， 即  【解析】【探究1】以B为圆心，AE长为半径画弧交CD于F，连接BF，则，可得，进而推出，即； 【探究2】由翻折得，，进而证得≌，即可证得结论； 连接，过点F作于N，则四边形BCFN是矩形，得出，，，结合翻折的性质得出，再推出，可证得≌，即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题关键． 24.【答案】②④； 整理得：， 是倍根方程， ， ； 是倍根方程， ， 整理得： 在一次函数的图象上， ， ，， 此方程的表达式为  【解析】解：在方程①中，； 在方程②中，； 在③中，； 在④，， ②④是倍根方程， 故答案为：②④； 整理得：， 是倍根方程， ， ； 是倍根方程， ， 整理得： 在一次函数的图象上， ， ，， 此方程的表达式为 根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中K的值，由此即可得出结论； 将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； 根据方程是倍根方程即可得出m、n之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出m、n之间的关系，进而即可求出m、n的值，此题得解． 本题考查了二次函数的综合题以及函数中的新定义问题，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． 25.【答案】①5； ②；   AP的长为或或  【解析】解：①当点P与点A重合时， 由折叠可知：， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 的长为5； ②如图①，过点E作于F， 在中，， 由知， 又， ，， ， 在中，， ， 在中，； 分三种情况讨论： Ⅰ：如图②Ⅰ，当时， ， ， 过点P作于G， ， 四边形ABGP是矩形， ，， 在中，由勾股定理可得：， ； Ⅱ：如图②Ⅱ，当时， 在中，，， ， ， Ⅲ：如图②Ⅲ，当时，， 又， ， ； 综上所述，当为等腰三角形时，AP的长为或或 ①当点P与点A重合时根据轴对称的性质得到，根据推出，得到后推出，在中用勾股定理列出方程即可求出AQ的长； ②过点E作于F，在中，根据等面积法求出EF的长，在中，根据勾股定理求出AF后易求DF，在中，根据勾股定理即可求出DE； 分三种情况讨论：Ⅰ：当时；Ⅱ：当时；Ⅲ：当时，根据勾股定理分别求出AP的长即可解决问题． 本题是长方形综合题，主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及分类讨论的数学思想，深入理解题意是解决问题的关键． 26.【答案】0；   8；   t的值为，，或  【解析】函数的图象经过▱OABC的顶点和边BC上的点， ， ， ； 如图，连接AD，OD，过A作轴于E，过D作轴于F， ， ， ，， ， ， ， ； ①如图1，点N在OA上， 即， 直线OA的解析式为， 设点P的横坐标为t， ， 过点P作直线轴于点 ，， ，， ， ， 或舍， ②如图2， 当点N在AB上时， 点，四边形ABCO是平行四边形， ， ， 由题意知，，， ， ， ， ③如图3，4， 当点N在BC上时， ，， 直线BC解析式为， ，，， ， ， 或舍或或舍， 的值为，，或 根据点A，D在反比例函数图象上，建立方程求出结论， 根据三角形OAD的面积和梯形的面积公式列方程，确定出m，n即可； 根据平行四边形的性质和双曲线的性质，确定出PM，ON即可． 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的面积，平行四边形的性质，解本题的关键是求出m，n的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$