湖南省长沙市天心区明德天心中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年湖南省长沙市天心区明德天心中学七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在，，，这四个数中，最小的数是(    ) A. B. C. D. 2.如果，那么下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 3.在、、、、、、它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个这七个数中，无理数的个数是(    ) A. B. C. D. 4.下列调查活动中，适合全面调查的是(    ) A. 对神舟十四号飞船发射前各零部件合格情况的调查 B. 对某品牌口罩合格率的调查 C. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 D. 对湘江水质情况的调查 5.如图，下列条件中，不能判定的是(    ) A. B. C. D. 6.下列命题是真命题的是(    ) A. 相等的角是对顶角． B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行． C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等． D. 已知点与点，，均不为，则直线平行于轴． 7.如图，直线，，交直线于点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如果点在第三象限内，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 10.定义一种运算：，则不等式的解集是(    ) A. 或 B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.某样本的样本容量为，样本中最大值是，最小值是取组距为，则该样本可以分为______组． 12.将方程写成用含的代数式表示，则 ______． 13.点在轴上，则        ． 14.已知二元一次方程组，则的值为______． 15.规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为______． 16.如图，将长方形沿翻折，使得点落在边上的点处，点落在点处，若，则        ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解下列方程组： ； ． 19.本小题分 六一儿童节当天，小玉给小玲打电话，相约去五一广场看书，但是她忘了电话号码中的一个数字，依稀记得号码是“”表示忘记的数字，若“”位置上的数字是不等式组的一个解，求“”可能表示的数字． 20.本小题分 如图，是由平移得到的图形． 分别写出下列各点的坐标： ______； ______； ______； 若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为______； 求线段在平移过程中扫过的图形的面积． 21.本小题分 我校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“德雅管乐团、快门大师班、银河保卫战、英语口语角、创意手工坊”五类选修课程，为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查每人只选一类最喜欢的课程，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，回答下列问题： 本次调查的样本容量是______；统计图中的 ______， ______； 通过计算补全条形统计图； 类所对应扇形的圆心角的大小为______； 我校约有名学生，请你估计全校喜爱“银河保卫战”的学生人数． 22.本小题分 如图，，是分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． 判断与的位置关系，并说明理由； 若是的平分线，，求的度数． 23.本小题分 为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于月号组织名老师和名学生前往浏阳博士村开展研学活动活动前年级组准备租用、两种型号的客车每种型号的客车至少租用辆型车每辆租金是元，型车每辆租金是元，若辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人． 每辆型车、型车坐满后各载多少人？ 若年级组计划租用型车和型车共辆，要求型车数量不超过型车数量的倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 24.本小题分 对于，定义一种新运算，规定：其中，均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：． 已知，，求，的值； 在的条件下，关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值． 25.本小题分 如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点、满足． 点的坐标为______；点的坐标为______； 已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发向左以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度向上移动，的中点的坐标是． 设运动时间为秒，问：当 ______时，； 在满足的前提下，当点位于的延长线上，此时在第二象限内是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，是否有这样的实数使得总成立，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 最小的数是：． 故选：． 利用实数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，不符合题意； B、在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，不符合题意； C、在不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，不符合题意； D、在不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，符合题意． 故选：． 根据不等式的性质进行分析判断． 本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可． 3.【答案】  【解析】解：无理数有：、、、它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个，共个， 故选：． 根据无理数、有理数的定义判断即可． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式． 4.【答案】  【解析】解：对神舟十四号飞船发射前各零部件合格情况的调查，适合全面调查普查，故本选项符合题意； B.对某品牌口罩合格率的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意； C.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意； D.对湘江水质情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定方法，逐项进行分析判断，即可得解． 【解答】 解：、根据同旁内角互补，两直线平行，由，能判定，故此项不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，由，能判定，故此项不符合题意； C、根据内错角相等，两直线平行，由得，不能判定，故此项符合题意； D、根据同位角相等，两直线平行，由，能判定，故此项不符合题意， 故选C． 6.【答案】  【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，例如：等腰三角形两底角相等，而等腰三角形的两底角不是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、已知点与点，，均不为，则直线平行于轴，是真命题，符合题意； 故选：． 根据对顶角相等、平行公理、平行线的性质、坐标与图形性质判断． 本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7.【答案】  【解析】解：如图， 直线， ． ， ， ， 故选：． 根据平行线的性质，可得与的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是，根据角的和差，可得答案． 本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差． 8.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 解得． 则不等式组的解集是． 故选：． 根据点在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得的范围． 本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 9.【答案】  【解析】解：共买了一千个苦果和甜果， ； 共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ． 可列方程组为． 故选：． 利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由新定义得或， 解得或 故选：． 分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得． 此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了． 11.【答案】  【解析】解：最大值与最小值的差为：， 所以该样本分的组数为， 即该样本可以分为组． 故答案为：． 用最大值与最小值的差除以，然后用进一法取整数值得到组数． 本题考查了频数率分布表：频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数． 12.【答案】  【解析】解：移项得， 系数化为得， 故答案为： 利用等式的性质解方程即可． 此题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：点在轴上， ， ， 故答案为：． 根据在轴上的点横坐标为进行求解即可． 本题主要考查了点的坐标，熟知在轴上的点横坐标为是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， ，得， ， ． 故答案为：． 将两个方程相加可得：，即，把代入即可得出答案． 本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：， ， ， ． 故答案为：． 根据平方运算先估算出的值，即可解答． 本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由翻折的性质可知：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得的度数． 本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】解：， 由可得：， 把代入，得：， 解得， 把代入，得， 原方程组的解为． ， ，可得， ，可得， 解得， 把代入，可得， 解得， 原方程组的解为．  【解析】应用代入消元法，求出方程组的解即可； 应用加减消元法，求出方程组的解即可． 此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． 19.【答案】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，， “”可能表示的数字为，．  【解析】先分别求出两个不等式的解集，再找出公共部分即可．要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解．先分别求出对应不等式组每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再根据解集求出整数解即可得到答案． 本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，熟知解不等式组的步骤是解题的关键． 20.【答案】，，；   ；   ．  【解析】根据题意得，，，， 故答案为：，，； ，， 是由向左平移个长度单位，向下平移个长度单位得到的， 点， 点的坐标， 故答案为：； 如图， 线段在平移过程中扫过的图形的面积． 根据点，，在平面直角坐标系中的位置即可得到结论； 根据平移的规律即可得到结论； 根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 21.【答案】，，；   见解答；   ；   人．  【解析】本次调查的样本容量是，，课程人数为人， 则，即， 故答案为：，，； 补全条形统计图如下： 类所对应扇形的圆心角的大小为， 故答案为：； 人， 答：估计全校喜爱“银河保卫战”的学生人数约为人． 由课程人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘课程人数所占百分比求出，再求出课程人数，继而除以总人数可得； 根据以上所求组人数即可补全图形； 用乘以组人数所占百分比可得答案； 总人数乘以课程人数所占比例即可得出答案． 本题考查条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，应充分理解部分与整体之间的关系，注意运用数形结合的思想方法，从条形统计图和扇形统计图中给出的信息寻找突破口． 22.【答案】，理由见解析部分；   ．  【解析】，理由如下： ， ， ， ， ； ，， ， 是的平分线， ， ， ． 根据题意，结合图形，易得，结合已知条件，可得，证得结论； 由题意，可得，结合角平分线的定义，得，则可得结果． 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 23.【答案】每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人；   一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元．  【解析】设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； 设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据“辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的总载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24.【答案】，；   ；  ．  【解析】根据题意得：，， 解得：，； 根据题意得： 由得：， 由得：， 不等式组恰好有个整数解，即，， ， 解得； 由，得到， 整理得：， 对任意实数，都成立， ， ， ， 即，解得， ． 根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组求出，的值； 据求出的，的值和新运算列出方程组求出的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数的取值范围； 根据新运算列出方程组，可求出，的值，代入即可求解． 本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 25.【答案】，； ：或； 存在，理由如下： 如图此时，，， ， ， 整理得：， ； 存在，， 如图，过点作的平行线，交轴于， ， 又，， ， ， ， ， 则，， ， ， ， 即．  【解析】解：， 又，， ，， ，， 故答案为：，； 当点在线段上时， 由题意：， 解得， 当点在的延长线上时， 由题意：， 解得， 故答案为：或； 存在，理由如下： 如图此时，，， ， ， 整理得：， ； 存在，， 如图，过点作的平行线，交轴于， ， 又，， ， ， ， ， 则，， ， ， ， 即． 根据二次根式和绝对值的非负性得出结论即可； 根据，列方程求解即可； 利用的面积，根据，得出关于的方程，然后解方程即可； 过点作的平行线，交轴于，先判定，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出，，最后得出即可． 本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$