2025年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷

2025年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是(    ) A. B. C. D. 2.著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”.为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000km的行星命名为“苏步青星”.数据218000000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.《三字经》中写到“幼习业，壮致身”，意在激励人们在年少时努力学习，为将来成就一番事业打下基础，现将这六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是(    ) A. 业 B. 壮 C. 致 D. 身 4.如图是一款手机人们常用的支架，若测量得张角，支撑杆CB与桌面夹角，那么此时面板CD与水平方向夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 5.下列算式中，结果等于的是(    ) A. B. C. D. 6.为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查每名同学只选其中的一类，依据50份问卷调查结果绘制了如图所示的全班同学喜爱节目情况扇形统计图.下列说法正确的是(    ) A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有3名 D. “动画”对应扇形的圆心角为 7.如图，在菱形ABCD中，，，AC是对角线是AC上一点，过点E作，垂足为F，若，则AF的长为(    ) A. B. C. 2 D. 8.二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 可能只有一个实数根 9.如图，中弦AB与CD相交于点E，若，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. OE垂直平分弦AD D. 10.如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段AC向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是(    ) A. 点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B. 线段AB的长度为10 C. a的值为5 D. 点D的坐标为 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.请写出一个使式子有意义的x的值______. 12.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是______. 13.如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接DE，若，，则阴影部分的面积为______. 14.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标是，P为边AB上一点，沿CP折叠正方形OABC，点B的对应点为，若，则点的坐标是______. 15.在矩形ABCD中，，，动点P在BC上运动点P不与B，C点重合，点E在线段AP上，且 连结BE，则BE的最小值是______； 当最小时，BP的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 ； 已知任意整数m，求证：一定是偶数. 17.本小题9分 某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践测试.八年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛比赛成绩均为整数，满分为10分，甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示，甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示. 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 6 乙 ______ 7 b 统计表中______，______； 求乙组学生比赛成绩的平均数； 根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由. 18.本小题9分 如图，平行于y轴的直尺一部分与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，注：平面直角坐标系内一个单位长度为 求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； 若横、纵坐标均为整数的点称为整点.图中由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内含边界整点个数有几个？直接写出结果 沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离. 19.本小题9分 如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形EFGH的形状为______； 如图②点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边中点，且对角线，判定四边形EFGH的形状，并证明； 在的条件下，请对四边形ABCD增添一个条件，使四边形EFGH为正方形直接写出所添条件 20.本小题9分 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平.某校为响应全民健身，增强学生体质，计划购进一批篮球.经过调研，有A，B两个体育用品商店的篮球标价相同，且这两个商店分别推出了自己的优惠方案如下： A商店：若购买超过40个，则超过部分按每个篮球标价的八折出售； B商店：若购买超过30个，则超过部分按每个篮球标价的九折出售. 若用个表示购买篮球的数量，元表示购买篮球的实付费用，y关于x的函数图象如图所示. 每个篮球的标价为______元； 当时，去A商店购买实付费用y与购买数量x之间的函数关系式为______，当时，去B商店购买实付费用y与购买数量x之间的函数关系式为______； 请求出图中点M的坐标，并简要说明M点表示的实际意义； 若该校购买60个篮球，直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠. 21.本小题9分 如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处即半圆的中点，同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G处. 尺规作图：作出光线不写作法，仅保留作图痕迹； 通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为，请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度结果精确到米，参考数据：， 22.本小题10分 如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台MB与地面NC平行，其中于点O，，BC是一个斜坡，斜坡的坡比为1：2，现以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为6m时，球运动到最高点，且距地面 求抛物线的函数表达式； 若球落在OC的延长线上，则称此次击球失误.请通过计算，判断此次击球是否失误； 在斜坡BC的三等分点D处靠近坡脚，有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台AB上后退几米？直接写出结果. 23.本小题10分 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程. 操作判断 如图1，正方形ABCD的边长为a，则 如图2，菱形ABCD的边长为a，则______请用含a的代数式表示 性质探究 ①如图3，在矩形ABCD中，，，则______请用含a，b的代数式表示； ②如图4，在▱ABCD中，，猜想与a、b的数量关系，并说明理由. 拓展应用 在如图4的▱ABCD中，，，将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：根据数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用逐项分析判断排除可得： 设覆盖的数为x，由数轴可得，且更接近， 故A，D不符合题意， 又，，且， 故更接近，选项C不符合题意， 只有选项B符合题意． 故选： 根据数轴看出，被笑脸覆盖的数x满足如下条件：，且更接近，解答即可． 本题考查了数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用，熟练掌握负数的比较，绝对值的应用是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】B  【解析】解：在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是壮， 故选： 根据正方体表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：如图所示， ，， 又， 故选： 先根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形的内角和定理即可解决问题． 本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理，熟知平行线的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：A、，无法计算，故此选项错误； B、，正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选： 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6.【答案】C  【解析】解：班主任采用的是全面调查，故选项A说法错误，不符合题意； B.喜爱娱乐节目的同学最多，故选项B说法错误，不符合题意； C.喜爱戏曲节目的同学有：名，故选项C说法正确，符合题意； D.“动画”对应扇形的圆心角为，故选项D说法错误，不符合题意； 故选： 根据全面调查和抽样调查的定义以及扇形统计图中各个部分所表示的数量和所占的百分比解答即可． 本题考查扇形统计图以及全面调查和抽样调查，理解扇形统计图表示各个部分所占整体的百分比是正确判断的关键． 7.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， ，都是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，， 故选： 根据菱形的性质证明，都是等边三角形，得，，然后利用含30度角的直角三角形的性质证明，进而可以解决问题． 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】A  【解析】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在y轴右侧， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 先根据二次函数的性质得，，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义可对各选项进行判． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转仅为解关于x的一元二次方程问题．也考查了二次函数的性质和根的判别式． 9.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， ，， ≌， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； 连接并延长EO交AD于点F，连接OA、OD，则， ，， ≌， ， ，， 垂直平分弦AD， 故C不符合题意； 假设正确，则， ， ∽， ， ，与已知条件不符， 不正确， 故D符合题意， 故选： 由，得，则，所以，而，，可证明≌，得，可判断A不符合题意；由，推导出，可判断B不符合题意；连接并延长EO交AD于点F，连接OA、OD，则，可证明≌，则，所以OE垂直平分弦AD，可判断C不符合题意；假设正确，则，因为，所以∽，则，所以，与已知条件不符，可知不正确，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：观察图象可知，当时，y最大，即的面积最大，即当Q点在B点时y最大，故选项A正确； B.当时，Q点走的路程为AB；当时，Q点走的路程为 与Q同时到达C点，故其所走时间相等，那么两者的路程比=速度比， ， ， 在中，由勾股定理有，将代入， 解得，故选项B正确； C.由前面分析可知，， ， ，Q同时出发，P，Q两点同时到达点C， 可根据两点路程比得到速度比， 点运动的路程为8，Q点运动的路程为， 二者的速度比为， 相同时间内二者的路程比也为， 当时，的面积为最大值，此时Q点走的距离为10， 则，解得，故选项C正确； D.由选项B可知，此时的面积为， 故，则D点的坐标为，故选项D错误． 故选： 本题主要涉及三角形面积与动点的关系，通过函数图象获取信息，结合三角形的性质来判断各个选项． 本题是一道以二次函数为背景的综合问题，考查了二次函数性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质，结合题意读懂函数图象是解题的关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以x的值可以是答案不唯一， 故答案为：答案不唯一 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再写出满足条件的一个x的值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：列表如下： H O O N H O O N 共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“一氧化氮”的结果有：，，，，共4种， 所标元素能组成“一氧化氮”的概率为 故答案为： 列表可得出所有等可能的结果数以及所标元素能组成“一氧化氮”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：连接OA、OD、OE，则， 正方形ABCD内接于，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 作于点I，则，， ， ， 故答案为： 连接OA、OD、OE，由正方形ABCD内接于，得，，由，求得，因为，所以，则是等边三角形，所以，作于点I，则，求得，由求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查正多边形和圆、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：连接、，过点作轴于点F，交BC于点E， 四边形OABC是正方形，， ，轴， ，， ， ， ，， ，， 沿CP折叠正方形OABC，点B的对应点为， ， ， ， ， 故答案为： 连接、，过点作轴于点F，交BC于点E，因为四边形OABC是正方形，，所以，轴，则，，由，得，则，，由折叠得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查坐标与图形变化-对称、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15.【答案】2；    【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以AD为直径的圆上运动， 如图，取AD的中点O，连接BO，交圆O与点E，此时BE有最小值， 点O是AD的中点， ， ， ， 故答案为：2； 当BE与相切时，最小， 连接OE，连接AC交BO于H， 由可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， 故答案为： 由余角的性质可得，则点E在以AD为直径的圆上运动，则当点E在BO上时，BE有最小值，由勾股定理可求解； 当BE与相切时，最小，由HL可证，，由三角形的面积可求，通过证明∽，可得，即可求解． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16.【答案】；   证明见解析．  【解析】原式 ； 证明： ， 是2的倍数， 取任意整数，一定是偶数． 根据负整数指数幂的性质、绝对值的性质和立方根的定义进行计算即可； 根据完全平方公式和平方差公式进行证明即可． 本题主要考查了实数的和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的定义、完全平方公式和平方差公式． 17.【答案】6，7；   ；   乙组学生的比赛成绩更好．  【解析】在甲组学生的比赛成绩中出现最多的数是6， 甲组学生的比赛成绩的众数是6，即； 由题意知，乙组学生的比赛成绩7分的有：， 乙组学生的比赛成绩从小到大排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9， 乙组学生的比赛成绩的中位数为：， ， 故答案为：6，7； 乙组学生比赛成绩的平均数为：； 乙组学生的比赛成绩更好，理由： 两组的平均成绩相等，而乙组的众数、中位数都大于甲组的众数和中位数，乙组的方差小于甲组的方差， 乙组学生的比赛成绩更好． 根据众数、中位数的定义，结合题目中的数据即可求解； 根据平均数的定义求加权平均数即可； 根据中位数、众数的意义以及方差的意义分析即可得出结论． 本题考查了条形统计图、求众数、中位数、平均数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18.【答案】，；   9个；   沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分  【解析】由题意得：，， ， 双曲线经过点， ， 解得：， 双曲线的解析式为， 直尺的宽度为2cm， ， ； 如图，由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内含边界整点个数为：， 由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内含边界整点个数有9个； 设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接BC， 则，， ， 恰好平分，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 把点C的坐标代入，得， 解得：， 沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分 运用待定系数法即可求得答案； 观察图形并结合整点的定义，即可得出答案； 设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接BC，则，，根据BC恰好平分，列方程求解即可． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，角平分线性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 19.【答案】矩形；   四边形EFGH为矩形．理由见解析；   当时，四边形EFGH是正方形．  【解析】连接AC、BD， 四边形ABCD是菱形， ， 、F分别是AB、BC上的中点， ，， 同理，，， 则，， 四边形EFGH是平行四边形， 、G分别是BC、CD的中点， ， 又，， ， 四边形EFGH是矩形． 故答案为：矩形； 四边形EFGH为矩形． 证明：点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AD，BA，CB，DC的中点， 、FG、GH、HE分别为、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形EFGH为平行四边形， ，，， ， 平行四边形EFGH为矩形； 解：当时，四边形EFGH是正方形， 理由如下：，，， ， 菱形EFGH为正方形． 根据三角形的中位线定理以及可以证明，再根据四条边都相等的四边形是菱形解答； 根据三角形中位线定理得到，，，，，，得到，，得到四边形EFGH为平行四边形，根据平行线的性质得到，再根据矩形的判定证明； 根据正方形的判定定理解答即可． 本题考查的是中点四边形，掌握正方形、菱形、平行四边形的判定定理以及三角形中位线定理是解题的关键． 20.【答案】120；   ，；   ，实际意义是当购买50个篮球时，在A、B两个商店购买实付费用相同，均为5760元；   A商店．  【解析】每个篮球的标价为元 故答案为： 当时，去A商店购买实付费用y与购买数量x之间的函数关系式为， 当时，去B商店购买实付费用y与购买数量x之间的函数关系式为 故答案为：， 根据图象，得， 解得， 点M的坐标为，表示的实际意义是当购买50个篮球时，在A、B两个商店购买实付费用相同，均为5760元． 根据图象，当时，在A商店购买的实付费用小于在B商店购买的实付费用， 若该校购买60个篮球，选择A商店购买篮球更优惠． 当x不超过30时，根据每个篮球的标价=实付费用购买篮球的数量计算即可； 分别根据两个商店的优惠方案计算即可； 将中得到的两个函数关系式联立，建立关于x和y的二元一次方程组并求解，从而求得点M的坐标，再说明其表示的实际意义即可； 根据图象，当时，比较A、B两个商店的实付费用即可得出结论． 本题考查一次函数的应用，分别根据两个商店的优惠方案写出对应的函数关系式、掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 21.【答案】见解析；   【解析】图形如图所示： 连接OE，过点E作于点 是切线， ， 设， ， ， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 四边形BHEO是矩形， ，， 在中，， 连接OF，过点F作交BC于点G即可； 设，根据，构建方程求出r，解直角三角形求出AH，BH即可． 本题考查作图-应用与设计作图，切线的性质，平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22.【答案】抛物线的函数表达式为：；   此次击球没有失误，理由见解答部分；   向后退2米正好经过点  【解析】由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点A的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 此次击球没有失误． 理由：当时，， 解得：，不合题意，舍去， 作于点E，则四边形ABEO为矩形，， ，， 的坡比为1：2， ， ， ， 此次击球没有失误； 作于点F，则， ， ， ∽， ， ，， ， 点D的坐标为， 设向后退m米正好经过点D， 正好经过点D的抛物线为：， ， 解得：，不合题意，舍去， 答：向后退2米正好经过点 易得抛物线的顶点坐标，用顶点式设出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入即可得到a的值； 取抛物线解析式中的，求得合适的x的值，与OC的长度比较即可判断击球是否失误； 判断出点D的坐标，设后退m米球正好入洞，设出相应的函数解析式，把点D的坐标代入求得合适的解即可． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． 23.【答案】；  ①； ②；理由见解答过程；   的长为长为或  【解析】四边形ABCD是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：； ①四边形ABCD是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：； ②；理由如下： 如图，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F， ， 四边形ABCD是平行四边形， ，，， ， ≌， ，， 在中，， 即， 在中， 在中， ， ； 的长为或，理由如下： 在▱ABCD中，，， ，， 由知，代入，， 得， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，， 当时， ， 分两种情况： ①如图，过点作的延长线于点M，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，； ②如图，过点作的延长线于点N， 同理可得四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 综上所述，的长为或 由菱形可知，利用勾股定理即可得解； ①分别利用勾股定理分别表示出和，从而得解； ②矩形倾斜会成为平行四边形，所以我们可以把平行四边形构造成矩形，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F，易证≌，所以，，再分别用a、b、BE表示出和，消去BE即可得解； 由前述结论易推出，从而得到，再分类讨论点在平行四边形上方和下方，画出图形求解即可． 本题是四边形综合题，主要考查正方形、菱形、矩形、平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，正确运用类比探究思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$