第20章 二次根式（复习讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第20章 二次根式（复习讲义） 1.能熟练、准确地进行二次根式的化简、乘除、加减及混合运算，提高运算的速度和正确率。 2.在解决二次根式相关问题时，能运用类比、转化等数学思想方法，将新问题转化为已学过的问题。 3.能运用二次根式的知识解决实际生活中的问题，如测量、计算等，体会数学与生活的密切联系。 4.能准确辨析二次根式运算中的常见错误，如忽略被开方数的取值范围、运算顺序错误等，提高对知识的理解和掌握程度。 知识点01二次根式及其性质 1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 3.二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 4.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点02 二次根式的运算 1.同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 2.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 4.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 题型一 二次根式有意义的条件 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）当 时，二次根式有意义． 【变式1-1】函数的定义域为 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）等式成立的条件是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当有意义时，的取值范围是 ． 题型二 利用二次根式的性质化简 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）化简的结果是 ． 【变式2-1】（23-24八年级上·上海·期末）化简： ． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 题型三 最简二次根式 【例3】（24-25八年级上·上海松江·期末）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型四 同类二次根式 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 题型五 二次根式的乘法 【例5】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【变式5-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 题型六 二次根式的除法 【例6】（24-25八年级上·上海松江·期末）计算： ． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 题型七 二次根式的乘除混合运算 【例7】（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【变式7-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 题型八 二次根式的加减运算 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【变式8-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 题型九 分母有理化 【例9】（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 【变式9-1】（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 【变式9-2】（24-25八年级上·上海·期中）计算 题型十 二次根式的混合运算 【例10】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【变式10-1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【变式10-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 题型十一 二次根式的化简求值 【例11】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【变式11-2】（22-23八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【变式11-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 题型十二 比较二次根式的大小 【例12】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【变式12-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【变式12-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解不等式：． 题型十三 二次根式的应用 【例13】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为、、，三角形的面积为S，则．已知在中，，，，那么的面积为 ． 【变式13-2】（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期末）下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．b B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）下列各式从左到右一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）二次根式有意义的条件是 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）代数式中，则x的取值范围是 ． 9．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 10．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 12．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，化简 ． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知，则 ． 6．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简：（，） ． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）当 时，有意义；若有意义，则x必须满足 ． 10．（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 11．（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 13．（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 14．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 15．（23-24七年级下·上海·期中）已知实数满足，求的值． 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式（复习讲义） 1.能熟练、准确地进行二次根式的化简、乘除、加减及混合运算，提高运算的速度和正确率。 2.在解决二次根式相关问题时，能运用类比、转化等数学思想方法，将新问题转化为已学过的问题。 3.能运用二次根式的知识解决实际生活中的问题，如测量、计算等，体会数学与生活的密切联系。 4.能准确辨析二次根式运算中的常见错误，如忽略被开方数的取值范围、运算顺序错误等，提高对知识的理解和掌握程度。 知识点01二次根式及其性质 1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 3.二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 4.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点02 二次根式的运算 1.同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 2.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 4.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 题型一 二次根式有意义的条件 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）当 时，二次根式有意义． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件：被开方数，即可求得x的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， 则， 解得：， 故答案为： 【变式1-1】函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数以及分母不为，求出函数的定义域即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）等式成立的条件是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：由题意，等式成立的条件是， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当有意义时，的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义的条件，根据有意义时，可得，且，据此即可求解． 【详解】解：∵有意义时， ∴，且， ∴，且， 故答案为且． 题型二 利用二次根式的性质化简 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知，然后根据平方根的性质化简． 【详解】解：由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 题型三 最简二次根式 【例3】（24-25八年级上·上海松江·期末）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次函数，符合题意； C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型四 同类二次根式 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 【详解】解：A：，与是同类二次根式； B：，与不是同类二次根式； C：，与不是同类二次根式； D：，与不是同类二次根式． 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 题型五 二次根式的乘法 【例5】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法运算，先由得出，再运用二次根式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 【变式5-1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解 ． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 题型六 二次根式的除法 【例6】（24-25八年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．根据题意得：，将，代入即可得到的值． 【详解】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再用乘法分配律可得：原式，然后再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型七 二次根式的乘除混合运算 【例7】（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型八 二次根式的加减运算 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，化简后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 题型九 分母有理化 【例9】（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 【变式9-1】（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级上·上海·期中）计算 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的减法计算，先分别把减号前后两个式子分母有理化，再根据二次根式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型十 二次根式的混合运算 【例10】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式10-1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，结合分母有理化性质化简，再运用加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式10-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先分母有理化和计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型十一 二次根式的化简求值 【例11】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式11-2】（22-23八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 【变式11-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值、分母有理化 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 题型十二 比较二次根式的大小 【例12】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解不等式：． 【答案】 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，二次根式的分母有理化，解题的关键是熟练掌握解不等式，二次根式分母有理化． 先移项，然后系数化为1，然后分母有理化，即可． 【详解】解：， 移项得：， ∵， ∴， ∴， 即． 综上，． 题型十三 二次根式的应用 【例13】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【变式13-1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为、、，三角形的面积为S，则．已知在中，，，，那么的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，，，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴； 故答案为． 【变式13-2】（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 【详解】解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·期末）下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与是同类二次根式，符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．b B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据实数在数轴上的位置，确定和0的大小关系，本题在化简求值过程中应用了绝对值的性质．先根据实数在数轴上的位置，确定和0的大小关系，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）下列各式从左到右一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．利用二次根式的性质进行化简进而得出答案． 【详解】解：A．不能化简，原式不符合题意； B．的符号不确定，需分情况，不符合题意； C．，，∴，符合题意；     D．，的符号不确定，不符合题意；     故选：C． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）二次根式有意义的条件是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为 ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据有意义，可知，再由，可得，据此根据化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）代数式中，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 12．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，化简 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，先根据已知判断出被开方数的符号，再根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】3 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，解得，则， ∴， 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式有意义的条件，求出的值，再代入二次根式，利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式的性质，解不等式等知识，利用二次根式的性质可得出，然后利用绝对值的意义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简：（，） ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， 原式， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，结合题意可得出，则可得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：若有意义，则的取值范围是且， 故答案为：且． 9．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）当 时，有意义；若有意义，则x必须满足 ． 【答案】 且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：当，即时，有意义； 当且，即：且时，有意义， 故答案为：，且． 10．（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，将系数化为．据此解答即可．也考查了分母有理化． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 将系数化为，得：，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，将原式正确化简是解本题的关键． 根据二次根式的性质将原式进行化简，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 13．（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 14．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 15．（23-24七年级下·上海·期中）已知实数满足，求的值． 【答案】2007 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．根据被开方数大于等于0可以求出，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴原式可化为：， 即=2006， 两边平方得， ∴． 故答案为． 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，找到有理化因式是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可 （2）根据题意分母有理化即可 （3）根据题意分母有理化，在合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$