专题02 规律探究与一次式相关概念及运算（六大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题02 规律探究与一次式相关概念及运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、规律探究 1 题型二、一次式的概念 10 题型三、一次式的同类项 13 题型四、一次式的加减 15 题型五、一次式的化简求值 17 题型六、一次式的应用 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、规律探究 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知和是互为相反数，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、相反数及非负数的性质：绝对值，熟知相反数的定义及绝对值的非负性是解题的关键． 先根据绝对值的非负性求出a，b的值，进而对所给代数式进行变形，并据此计算即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵和是互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海·期中）用棋子摆出下列一组图形，请观察图形，根据你发现的规律，则第2024个图形共有（    ）枚棋子 A．2024 B．6078 C．6075 D．6074 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，后面一个图形比前面一个图形多3枚棋子，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有6枚棋子， 第2个图形有枚棋子， 第3个图形有枚棋子， ……， 以此类推，可知，第n个图形有枚棋子， ∴第2024个图形共有枚棋子， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）观察下面一列数：，，，……，按此排列规律，第50个数为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律探索根据题目中给出的数据……得出第n个数为，求出第个数即可． 【详解】解：∵……， ∴第n个数为， ∴第50个数为． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海·期中）观察下面一列数： 探究其规律，得到第2024个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】首先观察这列数的符号，发现：负正相间，第奇数个数是负数，偶数个数是正数，并且它们的分子是连续的奇数，偶数的分母规律为，根据规律即可写出第2024个数． 【详解】解：的规律为：奇数个数的符号为负，偶数个的符号为正，并且它们的分子是连续的奇数， 分母的规律为：第1个数， 第2个数， 第3个数， 第4个数， 第5个数， 第6个数， 第7个数，……， 第2024个数的分母为， ∴第2024个数是是； 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·期中）观察下列等式：，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】0 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，和为20，每周期个位数字之和的个位数字为0，则的结果的个位数字与的个位数字相同，为0． 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同，为0， ∴的结果的个位数字是0， 故答案为：0． 6．（24-25六年级上·上海·期中）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的运算和倒数，根据差倒数的定义，求，，等的值，可得这组数是以，2，为1个顺序循环，而，因此即可得出结果，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，， ； ； ； 由此得出：这组数是以，2，为1个顺序循环， ， ， 故答案为：2． 7．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）观察下列各式： … 猜想： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查数字的变化规律，由所给的等式可得出第n个等式为：，再将代入计算即可得解． 【详解】解：∵， … ∴第n个等式为：， ∴ ． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下列等式：，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：． (2)计算：． 【答案】(1)19；21 (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知两个连续的正奇数的乘积的倒数的2倍等于较小的奇数的倒数减去较大的奇数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子裂项并计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，（n为正整数）， ∴， 故答案为：19；21； （2）解： ． 9．（23-24六年级上·上海·期中）（1）观察下列数的规律，在括号内填入相应的数 ，，2，，，4，（      ）， （      ），6，…… （2）这列数中第100个数是什么数？ （3）把（1）中的九个数填入下图的格子里，使横行，竖行以及对角线上的三个数的和相等． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是得出这列数字的变化规律． （1）根据题目所给的数，得出这列数的一半变化规律为第n个数为，即可解答； （2）根据（1）中得出的一半规律，即可解答； （3）根据题意，要使横行，竖行以及对角线上的三个数的和相等，所以中心数必为，那么与在一条直线上的各个组的其余两个数的和为 ，调整和为的两个数的位置填入即可． 【详解】解：（1）根据题意可得： 第一个数：， 第二个数：， 第三个数：， 第四个数：， 第五个数：， 第六个数：， …… 第n个数为， ∴第七个数为，第八个数为， 故答案为：，； （2）由（1）可得：列数中第100个数是； （3）如图所示，即可所求： 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】， 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律下的有理数的四则混合计算， （1）根据分数的通分运算，把所求式子裂项求解即可； （2）根据整数的混合运算和分数的通分运算，把所求式子裂项求解即可； 【详解】解： ； ． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）观察下列式子，并尝试解决问题： …… (1)填空：_______；_______． (2)计算：． 【答案】(1)225； (2)34075 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数字规律探究，关键是根据示例发现规律，并利用乘方运算法则进行解题． （1）根据示例逐步进行计算，进而可得变化规律； （2）根据（1）中规律，灵活运用即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ， 故答案为：225；； （2）解： ． 12．（24-25六年级上·上海·期中）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)根据上述规律写出第6个等式： (2)第n个等式： （用含n的式子表示） (3)计算： 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据所给等式发现（n为正整数）是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 所以第n个等式可表示为：（n为正整数）． 当时， 第6个等式为：． （2）解：由（1）知， 第n个等式为：（n为正整数）． 故答案为：（n为正整数）． （3）解： ． 题型二、一次式的概念 13．（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列代数式是一次式的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为8是0次单项式，所以A不符合题意； 因为是一次二项式，所以B符合题意； 因为是二次单项式，所以C不符合题意； 因为不是单项式，不是多项式，所以D不符合题意． 故选：B． 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）代数式中，是一次式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次式的定义，熟练掌握一次式是代数式中各变量的最高次数为1的整式是解题的关键．根据一次式的定义，即代数式中各变量的最高次数为1的整式，对每个代数式的次数进行逐一判断． 【详解】解： 是一次式，不是一次式，是一次式，不是一次式，是一次式，是一次式， 综上，一次式共有4个， 故选：B． 15．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）一次式的系数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一次式的系数．一次式中的数字因数叫做项的系数，根据一次式的系数的概念求解即可． 【详解】解：一次式的系数是． 故选：C． 16．（24-25六年级上·上海宝山·期末）关于代数式，下列说法中正确的是（　　） A．它的一次项系数是 B．它的常数项是 C．它是一个一次式 D．它是一个一次项 【答案】C 【解答】解：， A、多项式一次项系数是，不符合题意； B、多项式的常数项是，不符合题意； C、多项式是一次式，符合题意； D、它是一次二项式，不符合题意； 故选：C． 17．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）一次式中的一次项的系数是 ． 【答案】 【详解】解：中的一次项是，系数是， 故答案为： ． 18．（24-25六年级上·上海·期末）代数式中一次项是 ． 【答案】 【详解】解：代数式中一次项是． 故答案为：． 19．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）一次式中，含x的项的系数是 ． 【答案】2 【详解】解：一次式中，含x的项的系数是2， 故答案为：2． 20．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）在一次式中，常数项是 ． 【答案】 【详解】解：在一次式中，常数项是 故答案为：． 21．（24-25六年级上·上海·期末）如果式子 是一次式， 那么 ． 【答案】 【详解】解：由是一次式可知：， ∴； 故答案为． 22．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 23．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）已知是关于的一次式，求的值． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴， ∴． 题型三、一次式的同类项 24．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列式子中，合并同类项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知合并同类项的方法．根据合并同类项的方法即可依次判断． 【详解】解：A．，故A错误； B．，不是同类项，不能合并，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误. 故选：C． 25．（24-25六年级上·上海·期末）下列各式中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知合并同类项的方法．根据合并同类项的方法即可依次判断． 【详解】解：A．，故A错误； B．，不是同类项，不能合并，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 26．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列式子中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项的知识，解题的关键是掌握合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变． 根据合并同类项法则，逐一分析每个选项． 【详解】A．：合并同类项时，系数相减但字母部分保留，正确结果应为，故A错误； B．：与不是同类项（字母不同），无法合并，故B错误； C．：同类项合并，系数相加，结果为，故C正确； D．：去括号后为，结果应为，故D错误． 故选：C． 27．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据“同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）合并问类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则计算即可得解，熟练掌握合并同类项的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 29．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了整式的加减，根据合并同类项法则进行计算即可求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 30．（24-25六年级上·上海·阶段练习）合并同类项： 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了整式加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．去括号后合并同类项即可解答． 【详解】 解：原式 题型四、一次式的加减 31．（24-25六年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减；先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 32．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为： ． 33．（2024六年级上·上海·专题练习）已知，B比A少，C比A的2倍多，则 ； ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减计算，正确列出代数式，灵活运用去括号、合并同类项是解题的关键． 根据题意，先列出代数式，后分别化简计算即可． 【详解】∵，B比A少， ∴ ； ∵C比A的2倍多， ∴ ． 故答案为：，． 34．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】去括号、合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点．先去括号，然后合并同类项，即可得出答案． 【详解】解： ． 35．（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】 【知识点】去括号、合并同类项 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 36．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则、合并同类项法则等知识．根据整式的加减法，去括号，合并同类项即可解决问题． 【详解】解： 37．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知：，求 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．根据整式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型五、一次式的化简求值 38．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）已知，那么 ． 【答案】2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则．利用整体代入的思想求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2024． 39．（24-25六年级上·上海崇明·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 40．（24-25六年级上·上海·阶段练习）（1）化简：； （2）当，求（1）中代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项即可； （2）将值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 41．（24-25六年级上·上海·期末）先化简，再求值： 已知，，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入、的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，，原式． 42．（2024六年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键；根据去括号，合并同类项化简整式，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，，时， 原式． 43．（24-25六年级上·上海·期末）已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】该题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确计算． 根据先化简，再代入，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 当，时， ． 题型六、一次式的应用 44．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 45．王老师购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)写出用含、的整式表示的地面总面积； (2)若，，铺地砖的平均费用为元，求铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的乘法运算的应用等知识．熟练掌握列代数式，代数式求值，有理数的乘法运算的应用是解题的关键． （1）如图，由题意知，长方形的长为，宽为，长方形的长为，宽为，根据地面总面积，求解作答即可； （2）将，，代入可求地面面积为，然后根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知，长方形的长为，宽为， 长方形的长为，宽为， ∴地面总面积， ∴用含、的整式表示地面总面积为； （2）解：当，时，， ∵（元）， ∴铺地砖的总费用为元． 46．（24-25六年级上·上海·期末）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如表： 水费收费标准一览表 档次 每年用水量 水价 第一阶梯 不超出 a元 第二阶梯 超出不超出的部分 元 第三阶梯 超出的部分 元 某用户前年全年共用水，缴纳水费405元． (1)求a的值； (2)若该用户去年共用水，求去年应缴水费； (3)若该用户今年全年用水，求全年应缴水费（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)去年应缴水费元 (3)当时，全年应缴水费为：元；当时，全年应缴水费为：元；当时，全年应缴水费为：元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查的是有理数混合运算的实际应用，列代数式，理解题意是关键． （1）由总价除以用水量即可得到的值； （2）由（1）知，进而得到超出不超出的部分的单价为元/，由，再加上超过部分的数量乘以超过部分的单价可得答案； （3）分三种情况讨论：当时， 当时， 当时， 再列式即可． 【详解】（1）解：（元/） （2）解：由（1）知， 则超出不超出的部分的单价为（元/）， 则去年应缴水费为：（元）． （3）解：当时，全年应缴水费为：元； 当时，全年应缴水费为：元； 当时，超出的部分的水价为：（元）； 全年应缴水费为：元． 47．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3)同意，理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项，根据同类项的定义及运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故，故A错误； B．去括号时，括号前负号使括号内各项符号改变：，故B正确； C．分配律应用错误：，但选项结果为，故C错误； D．合并同类项时系数计算错误：，故D错误． 故选：B． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，观察给定式子的变化规律，每个式子由的幂次方减去一个常数项构成，分析幂次和常数项的变化规律，确定第个式子的形式． 【详解】解：第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为． 故选：C． 3．（2025·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了数字的变化规律，解此题的关键是明确题意，发现常数项和字母指数的变化特点及规律． 观察代数式的常数项和x的指数部分各自的规律，分别推导出第n项的表达式，再结合选项判断． 【详解】解：当时，第一个代数式为：， 当时，第二个代数式为：， 当时，第三个代数式为：， 当时，第四个代数式为：， ∴第n个代数式是． 故选：A． 二、填空题 4．（2022·四川达州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 5．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 6．（2025·江苏无锡·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算．先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．（2025·江苏常州·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式加减．先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2025·湖北·二模）设，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，把已知代入代数式，去括号再合并同类项即可，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小正方体个数的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小正方体的个数，可以发现小正方体个数的变化规律，从而可以求得第n个叠放的图形中，小正方体总数，再将代入即可求解． 【详解】解：由图可得， 第1层中小正方体的个数为：1， 第2层中小正方体的个数为：， 第3层中小正方体的个数为：， 第4层中小正方体的个数为：， … 则第n层中，小正方体木块总数是：， ∴第8层需要摆放块小正方体， 故答案为：． 三、解答题 11．（2023·浙江·一模）以下是小明化简整式的解答过程： 解 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】见解析 【分析】观察小明的解答过程，发现去括号出现了错误，改正即可得到答案． 【详解】解：小明的解答过程有误， 正确的解答为： ． 【点睛】本题考查了整式的化简，熟练掌握去括号要注意符号的变化是解题的关键． 12．（2025·河北邯郸·一模）如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减法的运算法则是解答关键． （1）根据题意列式计算求解； （2） 根据题意先列式求出的代数式，再将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意可知 ． （2）解：当时， 解得， ． 当时， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 规律探究与一次式相关概念及运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、规律探究 1 题型二、一次式的概念 4 题型三、一次式的同类项 5 题型四、一次式的加减 5 题型五、一次式的化简求值 6 题型六、一次式的应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、规律探究 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知和是互为相反数，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期中）用棋子摆出下列一组图形，请观察图形，根据你发现的规律，则第2024个图形共有（    ）枚棋子 A．2024 B．6078 C．6075 D．6074 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）观察下面一列数：，，，……，按此排列规律，第50个数为 ． 4．（24-25六年级上·上海·期中）观察下面一列数： 探究其规律，得到第2024个数是 ． 5．（24-25六年级上·上海·期中）观察下列等式：，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 6．（24-25六年级上·上海·期中）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 7．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）观察下列各式： … 猜想： ． 8．（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下列等式：，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：． (2)计算：． 9．（23-24六年级上·上海·期中）（1）观察下列数的规律，在括号内填入相应的数 ，，2，，，4，（      ）， （      ），6，…… （2）这列数中第100个数是什么数？ （3）把（1）中的九个数填入下图的格子里，使横行，竖行以及对角线上的三个数的和相等． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）观察下列式子，并尝试解决问题： …… (1)填空：_______；_______． (2)计算：． 12．（24-25六年级上·上海·期中）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)根据上述规律写出第6个等式： (2)第n个等式： （用含n的式子表示） (3)计算： 题型二、一次式的概念 13．（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列代数式是一次式的是（   ） A．8 B． C． D． 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）代数式中，是一次式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 15．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）一次式的系数是（   ） A． B． C． D．3 16．（24-25六年级上·上海宝山·期末）关于代数式，下列说法中正确的是（　　） A．它的一次项系数是 B．它的常数项是 C．它是一个一次式 D．它是一个一次项 17．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）一次式中的一次项的系数是 ． 18．（24-25六年级上·上海·期末）代数式中一次项是 ． 19．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）一次式中，含x的项的系数是 ． 20．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）在一次式中，常数项是 ． 22．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 23．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）已知是关于的一次式，求的值． 题型三、一次式的同类项 24．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列式子中，合并同类项正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25六年级上·上海·期末）下列各式中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列式子中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）合并同类项： ． 28．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）合并问类项： ． 29．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： 30．（24-25六年级上·上海·阶段练习）合并同类项： 题型四、一次式的加减 31．（24-25六年级上·上海·阶段练习）化简： ． 32．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是 ． 33．（2024六年级上·上海·专题练习）已知，B比A少，C比A的2倍多，则 ； ． 34．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 35．（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 36．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 37．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知：，求 题型五、一次式的化简求值 38．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）已知，那么 ． 39．（24-25六年级上·上海崇明·期末）先化简，再求值：，其中． 40．（24-25六年级上·上海·阶段练习）（1）化简：； （2）当，求（1）中代数式的值． 41．（24-25六年级上·上海·期末）先化简，再求值： 已知，，求代数式的值． 42．（2024六年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中，，． 43．（24-25六年级上·上海·期末）已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 题型六、一次式的应用 44．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 45．王老师购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)写出用含、的整式表示的地面总面积； (2)若，，铺地砖的平均费用为元，求铺地砖的总费用为多少元？ 46．（24-25六年级上·上海·期末）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如表： 水费收费标准一览表 档次 每年用水量 水价 第一阶梯 不超出 a元 第二阶梯 超出不超出的部分 元 第三阶梯 超出的部分 元 某用户前年全年共用水，缴纳水费405元． (1)求a的值； (2)若该用户去年共用水，求去年应缴水费； (3)若该用户今年全年用水，求全年应缴水费（用含x的代数式表示）． 47．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2022·四川达州·中考真题）计算： ． 5．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 6．（2025·江苏无锡·二模）计算： ． 7．（2025·江苏常州·二模）计算： ． 8．（2025·湖北·二模）设，，则 ． 9．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 三、解答题 11．（2023·浙江·一模）以下是小明化简整式的解答过程： 解 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 12．（2025·河北邯郸·一模）如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$