第11章 整式的乘除（复习讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第11章 整式的乘除（复习讲义） 1.能够熟练、准确地进行整式的乘除运算，包括幂的运算、单项式与单项式、单项式与整式、整式与整式的乘法运算，以及单项式除以单项式、整式除以单项式的除法运算，提高运算的速度和准确性，减少计算错误。 2.能根据题目特点，灵活选择合适的乘法公式进行计算，能对公式进行变形和逆用，解决一些复杂的计算问题，培养运用公式解决问题的灵活性。 3.能够运用整式的乘除知识解决实际问题，如根据实际场景列出整式表达式并进行乘除运算，求出未知量的值等；能结合前面学过的整式加减知识，进行整式的混合运算，提高综合运用知识的能力。 4.在面对整式乘除相关的综合性题目时，能准确分析题目中的数量关系和运算关系，理清解题思路，选择合适的方法进行求解，培养分析问题和解决问题的能力。 知识点01幂运算 1．幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 2．运算规则： （1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （5）任何一个非零数的零次方都是1：． 知识点02 整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×整式：乘法分配律． 整式×整式：乘法分配律． 知识点03 整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 整式÷单项式：除法性质． 知识点04 乘法公式 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 题型一 幂的运算 【例1-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【例1-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【例1-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，求的值． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： （结果用幂的形式表示）． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果，，那么的结果是（      ） A．30 B．20 C．25 D．15 【变式1-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算：= ． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【变式1-6】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 题型二 整式乘法 【例2-1】（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【例2-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【例2-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式2-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：． 题型三 整式除法 【例3-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【例3-2】（24-25七年级上·上海·期中）若，那么 ． 【例3-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【例3-4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算的结果是 ． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式3-5】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 题型四 乘法公式 【例4-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： 【例4-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【例4-3】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【例4-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）已知整式的值与的大小无关，求代数式的值． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【变式4-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，求的值． 题型五 求完全平方式中的字母系数 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如果多项式可以用完全平方公式进行因式分解，那么 ． 【变式5-2】）已知化简的结果中不含项和项． (1)求，的值； (2)若是一个完全平方式，求的值． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）使得是完全平方数的整数m的和等于多少？ 题型六 化简求值 【例6】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式6-1】（2024七年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中为正整数）． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 题型七 整式乘法与图形面积 【例7】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【变式7-1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 题型八 乘法公式在几何图形中的应用 【例8】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为b，且，点G在边上，连接，交于点H，连接． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)连接，当，三角形的面积时，求阴影部分的面积． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【变式8-4】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，， 所以，， 所以，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为________； (2)①若，则________； ②若，则________； (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式8-5】（24-25七年级上·上海·期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 题型九 规律性问题 【例9】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）已知一个圆的半径为a厘米，若将它的半径增加1厘米，则面积增加（    ）平方厘米 A．1 B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级上·上海·期中）三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 5．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 7．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 9．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 11．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 12．（21-22七年级上·上海普陀·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 三、解答题 14．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 15．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 16．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 17．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式计算正确的是（        ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 9．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，那么的值为 ． 10．（2024七年级上·上海·专题练习）如果，那么 ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）已知是关于的一次二项式，且的积是二项式，请写出一个满足条件的可以是 ．（只要写一个即可） 12．（24-25七年级上·上海·期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则 ． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ． 三、解答题 14．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 15．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 16．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 17．（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 18．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）先化简，再求值，其中． 19．（24-25七年级上·上海·期中）已知，．求的值． 20．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）定义，若，求x． 21．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式M，满足（n是正整数）， (1)求整式M； (2)当正整数x、z满足时，求M的值． 22．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 23．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除（复习讲义） 1.能够熟练、准确地进行整式的乘除运算，包括幂的运算、单项式与单项式、单项式与整式、整式与整式的乘法运算，以及单项式除以单项式、整式除以单项式的除法运算，提高运算的速度和准确性，减少计算错误。 2.能根据题目特点，灵活选择合适的乘法公式进行计算，能对公式进行变形和逆用，解决一些复杂的计算问题，培养运用公式解决问题的灵活性。 3.能够运用整式的乘除知识解决实际问题，如根据实际场景列出整式表达式并进行乘除运算，求出未知量的值等；能结合前面学过的整式加减知识，进行整式的混合运算，提高综合运用知识的能力。 4.在面对整式乘除相关的综合性题目时，能准确分析题目中的数量关系和运算关系，理清解题思路，选择合适的方法进行求解，培养分析问题和解决问题的能力。 知识点01幂运算 1．幂运算：幂是乘方运算的结果，表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数． 2．运算规则： （1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：． （2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：． （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘：． （4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：． （5）任何一个非零数的零次方都是1：． 知识点02 整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×整式：乘法分配律． 整式×整式：乘法分配律． 知识点03 整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 整式÷单项式：除法性质． 知识点04 乘法公式 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 题型一 幂的运算 【例1-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 故答案为：． 【例1-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】/0.6 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键，直接逆用积的乘方运算法则求解即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例1-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，再由同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果，，那么的结果是（      ） A．30 B．20 C．25 D．15 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算法则，以及同底数幂的乘法法则．掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题关键， 首先将和分解为和的乘积．利用已知条件替换为具体的数值计算即可． 【详解】，， ， ； 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算：= ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】64 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行化简，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：64． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算进行计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-6】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则，积的乘方的法则，是解决问题的关键． 逆用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型二 整式乘法 【例2-1】（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查多项式乘单项式，解题的关键是掌握多项式乘单项式运算法则． 根据多项式乘单项式法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法，根据多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法等知识点，掌握积的乘方运算法则成为解题的关键． 先算积的乘方，然后按照单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，先计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 题型三 整式除法 【例3-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查单项式的除法，运用单项式的除法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【例3-2】（24-25七年级上·上海·期中）若，那么 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用和幂的乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方可得，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴将代入上式可得：， ∴， 故答案为：． 【例3-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【例3-4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式运算，根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，将变形为，再根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，直接根据同底数幂乘除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查积的乘方，有理数的除法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键； 根据相关计算法则计算即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 【变式3-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-5】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 题型四 乘法公式 【例4-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，变形后根据平方差公式计算即可． 【详解】解； ． 【例4-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的运用，首先将原式进行适当变形，然后应用平方差公式，再应用完全平方公式进行展开和化简． 【详解】解： ． 【例4-3】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，以及完全平方公式．利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【例4-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）已知整式的值与的大小无关，求代数式的值． 【答案】3 【知识点】整式加减中的无关型问题、运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了整式加减的无关性问题，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简为，然后根据题意得到，求出，然后利用平方差公式化简为，然后代入求解即可． 【详解】 ∵整式的值与的大小无关， ∴ ∴ ∴ ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，求的值． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及平方的非负性；解题的关键是掌握完全平方公式．根据完全平方公式求的，根据非负数的性质求出，，然后把变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型五 求完全平方式中的字母系数 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】13或−11 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或−11． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如果多项式可以用完全平方公式进行因式分解，那么 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，利用完全平方公式可分解为，然后去括号进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】）已知化简的结果中不含项和项． (1)求，的值； (2)若是一个完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)25 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、求完全平方式中的字母系数 【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解； （2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵化简的结果中不含项和项， ∴ ， 解得：； （2）解： ∵是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）使得是完全平方数的整数m的和等于多少？ 【答案】． 【知识点】运用平方差公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方数的知识．将表示为的形式，然后转化可得出，从而讨论可得出的值，从而得到所有整数的和． 【详解】解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，且与都为整数， 所以，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，． ，，解得：，． 所以所有的和为． 题型六 化简求值 【例6】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 【变式6-1】（2024七年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中为正整数）． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法，牢记法则是解题的关键．先利用多项式除以单项式法则进行化简，再将的值代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，化简求值，解题的关键是正确计算． 先变形再利用完全平方公式和平方差公式计算乘法运算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 【答案】， 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简．先根据多项式除单项式和单项式除单项式法则算除法，再合并同类项，化简后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型七 整式乘法与图形面积 【例7】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积； （1）根据大长方形面积=各部分面积的和，解答即可； （2）根据大长方形的面积=各部分面积的和，解答即可； （3）根据题意画出边长为的正方形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：如图所示， 根据图形可得： 【变式7-1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】（）利用割补法即可求解； （）延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； 本题整式运算的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（）， ， 故答案为：； （2）解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 【答案】(1) (2)；； (3) (4)22 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图行体积等于图3的三个立体图形的体积和，根据等式可得①②；根据图1和图3可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：①； ②即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：；；； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：22． 题型八 乘法公式在几何图形中的应用 【例8】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，代数恒等式与图形的面积，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的几何背景． （1）利用面积相等求解即可； （2）利用（1）的结论，得到方程，求出t的值，再由，求符合条件的t的值即可． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为b，且，点G在边上，连接，交于点H，连接． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)连接，当，三角形的面积时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】单项式乘多项式的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，完全平方公式的变形求值； （1）根据割补法，结合图形列式，进行计算即可求解； （2）先求出，，根据，将式子的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， 由（1）可得 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【答案】(1)； (2)图见解析，长方形的长和宽分别为或或或或 (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据图形之间的关系，结合图形面积之间的关系进行求解即可； （2）当2张A，2张B时，当2张B，2张C时，当1张A，2张B，1张C时，三种情况画出示意图求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，该正方形的边长为，则该正方形的面积为， ∵该正方形是由型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张拼成的， ∴该正方形的面积为， ∴， 故答案为：；； （2）解：当2张A，2张B时，此时长方形的长和宽分别为或 当2张B，2张C时，此时长方形的长和宽分别为或 当1张A    ，2张B，1张C时，此时长方形的长和宽分别为； 综上所述，长方形的长和宽分别为或或或或； （3）解：， ∴需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片2张， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为，图见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； （2）可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，求解①②即可； （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图： 【变式8-4】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，， 所以，， 所以，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为________； (2)①若，则________； ②若，则________； (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)7 (2)①53；②24 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）先求出，再由，即可得到 （2）①先求出，则，再由，即可得到；②先求出，则，再由，即可得到； （3）设大正方形，小正方形的边长分别是a，b，根据题意得到，，则，求出，则阴影的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；； （3）解：设大正方形，小正方形的边长分别是a，b， ，， ，， ， ， ∴阴影的面积． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． 【变式8-5】（24-25七年级上·上海·期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)正方形和正方形的面积和为． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）根据材料提示，设，，则，，由此即可求解； （2）根据材料提示，设，，则，，再表示出，由此即可求解； （3）由题意可得，，，则，，，再根据材料提示方法即可求解． 【详解】（1）解：（1）设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴ ； （3）解：由题意可得，，， ∴，，， 设，，则，， ∴ ， 即正方形和正方形的面积和为． 题型九 规律性问题 【例9】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 【答案】 【分析】本题考查的是有关探究规律的题目．根据“杨辉三角”的特点可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和；依据规律可得的各项系数依次为、、、、，据此即可完成本题． 【详解】解：根据题意可知图中第五行的数字依次为，，，，， 由此可得的各项展开式的系数除首尾两项外都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， 依规律可得的各项系数依次为：、、、、， 因为它的每一行的数字正好对应了为非负整数)的展开式中按次数从大到小排列的项的系数， 所以． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五，六，32 (2)，64 (3)，见解析 (4)1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）把，代入即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【答案】(1)两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， (2)； (3)见解析 【知识点】两个有理数的乘法运算、列代数式、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，列代数式，有理数的乘法计算： （1）两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），据此求解即可； （2）一个两位数的十位数字乘以10再加上这个两位数的个位数字即为该两位数表示的数，据此求解即可； （3），进一步根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， ； （2）解：设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为； 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为， 故答案为：；； （3）证明： ， ∴两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）已知一个圆的半径为a厘米，若将它的半径增加1厘米，则面积增加（    ）平方厘米 A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求圆的面积，完全平方公式，熟练掌握圆的面积公式，完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选B． 3．（24-25七年级上·上海·期中）三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，，再求出之积即可． 【详解】解：根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，； ∴． 故选：A． 二、填空题 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】运用同底数幂运算法则即可求解，本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，根据幂的乘方的公式计算即可．，，m，n为正整数． 【详解】原式． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，先单项式乘以多项式展开，再进行加减运算，掌握法则“用单项式分别乘以多项式的每一项，将所得的和相加．”是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案：． 7．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可． 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则：单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（21-22七年级上·上海普陀·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 15．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，熟练掌握单项式乘以多项式法则：单项式分别乘以多项式的每一项，再将乘积相加，是解题的关键． 【详解】解：原式． 16．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据整式的除法运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，解题的关键是理解并运用整式除法法则． 【详解】解： ． 17．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握“”和“”是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．先利用单项式乘单项式法则，可得，从而得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， 两式相加，得， 解得． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式计算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方、幂的乘方及同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，积的乘方、幂的乘方及同底数幂除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 二、填空题 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，幂的乘方的逆用，逆用积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案是：． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】65 【分析】该题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式的变形，代入求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 将变形后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：65． 10．（2024七年级上·上海·专题练习）如果，那么 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：81． 11．（24-25七年级上·上海·期中）已知是关于的一次二项式，且的积是二项式，请写出一个满足条件的可以是 ．（只要写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，根据积为二项式，得到的关系，写出一个满足题意的多项式即可． 【详解】解：设（）， 则：， ∵积为二项式，， ∴， ∴可以为1，可以为2； ∴可以是； 故答案为：（答案不唯一） 12．（24-25七年级上·上海·期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．首先根据多项式乘多项式的法则进行计算可得，合并同类项可得，根据积中不出现一次项，且二次项系数为，可得方程组，两个方程相减可得结果 ． 【详解】解： ， 积中不出现一次项，且二次项系数为， ， 得：． 故答案为： ． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘除混合运算，运用积的乘方公式、单项式乘以单项式法则、单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式运算法则． 首先根据完全平方公式和平方差公式求解，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用多项式乘以多项式及平方差公式先去括号，再合并同类项，然后把，代入化简后的式子进行计算即可解答，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（24-25七年级上·上海·期中）已知，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关公式的计算是解题的关键； 将两个完全平方公式展开，整理可得，，整理原式代入即可求解； 【详解】解：，， ，， 得：， 则， 得：， 则， 那么 20．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）定义，若，求x． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法，解一元一次方程，根据题中定义列出算式，利用平方差公式和完全平方公式运算得到关于x的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 21．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式M，满足（n是正整数）， (1)求整式M； (2)当正整数x、z满足时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，幂的乘方的逆运算： （1）先计算等式左边的积的乘方计算，再计算等式右边的单项式除以单项式，再把等式两边同时除以左边的单项式即可得到答案； （2）先根据幂的乘方的逆运算法则把所给式子变形为，进而求出x、z的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为x，则，得，设，得，则，代入即可． 【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 23．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】(1)120 (2)2024 (3)21 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，理解阅读中的求解过程是解决本题的关键． （1）（2）根据题意应用换元法，把多项式乘法转化成有关完全平方的几何背景应用，即可求出答案； （3）根据意义列出长方形的面积的等式，再根据（1）（2）的求解过程即可求出答案． 【详解】（1）解：设，， 则 ，， ∴； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：根据题意可知，，， ∵长方形的面积是5， ∴， 设，， 则，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴阴影部分的面积为： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$