第十四章 全等三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学人教版2024八年级上册

第十四章 全等三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　） A．∠1+∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝2∠3 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2+∠3＝135° 3．根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2 D．∠C＝90°，AB＝3 4．如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边，EF＝2.1cm，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm，∠E＝109°，则线段NM的长度及∠N的度数是（　　） A．2.1cm，71° B．3.3cm，109° C．2.1cm，109° D．1.1cm，71°71° 5．如图，AC＝BC，且∠D＝∠E＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（　　）①∠ACB＝90°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，从而得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．18 C．36 D．72 8．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°．若点B，D，E在一条直线上，则∠BEC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．45° 9．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DP＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．40 B．42 C．45 D．48 10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝30°，点F为EA上一点，FD⊥DC于点D，根据尺规作图的痕迹，则∠EFD的度数为（　　） A．5° B．10° C．12° D．15° 11．如图，在四边形ABED中，点C在边AD上，连接BC，BD．已知△ABC≌△DBE，若DE＝3，AD＝10．记S1＝S△BCD，S2＝S△ABC+S△DBE，则S1和S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 12．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，有如下四个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③PQ＝OC；④∠AOB＝60°．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝65°，∠D′＝105°，则∠A′＝　　 。 14．如图，Rt△ABC≌Rt△DAE，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是（1，0），（2，3），则点B的坐标是 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是 　 　 ． 16．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　 ． 17．如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍CD与高楼AB之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线PC与地面的夹角是∠DPC＝18°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角是∠BPA＝72°，量得点P到楼底之间的距离PB与木棍高度都是4.5m，量得木棍与高楼之间的距离DB＝22.5m，则高楼的高度是　 　 m． 18．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 20．（8分）如图所示，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，连接AM． （1）AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 21．（8分）如图，在△ABC中，BC＝6． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长． 22．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 23．（10分）如图1所示的云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．云梯底架以木为床，下置六轮，梯身以一定角度固定装置于底盘上，并在主梯之外增设了一具可以活动的副梯，主、副梯长度相等，立柱、底板、主梯构成一个三角形．图2为其平面示意图，∠ABC＝90°，BC＝5米，AD可以绕点A旋转，以便调节云梯的高． （1）若AD∥BC，∠ACB＝40°，求∠ADC的度数； （2）当∠DAC＝∠CAB时，计算出点D到AC的距离． 24．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 25．（10分）如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　 　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 26．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．根据全等图形的定义：两个图形放在一起能够完全重合，是全等图形，符合题意； B根据全等图形的定义：两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 2．如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　） A．∠1+∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝2∠3 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2+∠3＝135° 【答案】A 【解答】解：如图，△ACT≌△ABE，△ACF≌△BAE，则∠4＝∠2，∠1＝∠5． A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意． B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意． C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故不符合题意． D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意． 故选：A． 3．根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2 D．∠C＝90°，AB＝3 【答案】C 【解答】解：A、∠B是AC的对角，不能作出唯一的△ABC，故A不符合题意； B、1+2＝3，不能作出三角形，故B不符合题意； C、由ASA判定能作出唯一的△ABC，故C符合题意； D、还缺少条件，不能作出唯一的△ABC，故D不符合题意； 故选：C． 4．如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边，EF＝2.1cm，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm，∠E＝109°，则线段NM的长度及∠N的度数是（　　） A．2.1cm，71° B．3.3cm，109° C．2.1cm，109° D．1.1cm，71°71° 【答案】C 【解答】解：∵△EFG≌△NMH，EF＝2.1cm，∠E＝109°， ∴EF＝MN＝2.1cm，∠E＝∠N＝109°， 故选：C． 5．如图，AC＝BC，且∠D＝∠E＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（　　）①∠ACB＝90°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据直角三角形全等的判定条件“HL”可知： ②AD＝CE和④CD＝BE满足定理“HL”， ①∵∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， 条件③AC＝2AD，不能证明Rt△ADC≌Rt△CEB， 故选：C． 6．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，从而得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：依题意得：PM＝PN， 在△OPM和△OPN中， ， ∴△OPM≌△OPN（SSS）． 故选：A． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．18 C．36 D．72 【答案】B 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE12×3＝18， 故选：B． 8．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°．若点B，D，E在一条直线上，则∠BEC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．45° 【答案】A 【解答】解：设BE交AC于点F， ∵∠BAC＝∠DAE＝50°， ∴∠BAD＝∠CAE＝50°﹣∠CAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵点B，D，E在一条直线上， ∴∠BFC＝∠BEC+∠ACE，且∠BFC＝∠BAC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE， ∴∠BEC+∠ACE＝∠BAC+∠ACE， ∴∠BEC＝∠BAC＝50°， 故选：A． 9．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DP＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．40 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10， ∴PE＝DE﹣DP＝10﹣4＝6， ∴S四边形PDFC＝S梯形ABEP（AB+PE）•BE（10+6）×6＝48． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝30°，点F为EA上一点，FD⊥DC于点D，根据尺规作图的痕迹，则∠EFD的度数为（　　） A．5° B．10° C．12° D．15° 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝60°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， 由作图可知AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝45°， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°， ∵FD⊥CB， ∴∠ADE＝90°， ∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°． 故选：D． 11．如图，在四边形ABED中，点C在边AD上，连接BC，BD．已知△ABC≌△DBE，若DE＝3，AD＝10．记S1＝S△BCD，S2＝S△ABC+S△DBE，则S1和S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：过点B作BH⊥AD，交AD于点H，如图： ∵△ABC≌△DBE， ∴AC＝DE＝3，S△ABC＝S△DBE， ∴， ∵AC＝3，AD＝10， ∴CD＝AD﹣AC＝10﹣3＝7， ∴， ∴S1＞S2， 故选：A． 12．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，有如下四个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③PQ＝OC；④∠AOB＝60°．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：由等边三角形性质可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，故①正确； ∵∠CAD＝∠CBE，AC＝BC，∠ACB＝∠BCD＝60°， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴PC＝CQ， 又∵∠BCD＝60°， ∴△CPQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠CPQ＝∠ACB， ∴PQ∥AE，故②正确； 过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N， 由三角形全等性质可知S△BCE＝S△ACD，BE＝AD， ∴， ∴CM＝CN， ∴OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE＝60°， ∴∠OPC＞∠POC， ∴PC≠OC， 由等边三角形性质可知PC＝PQ， ∴OC≠PQ，故③错误； ∵∠APB＝∠ACB+∠DAC＝∠AOB+∠CBE， ∴∠ACB＝∠AOB＝60°，故④正确； 所以，正确的是①②④， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝65°，∠D′＝105°，则∠A′＝ 　100°　 【答案】100°． 【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，∠D′＝105°， ∴根据全等图形的性质得，∠A＝∠A′，∠D＝∠D′＝105°， ∵∠B＝90°，∠C＝65°， ∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣90°﹣65°﹣105°＝100°， ∴∠A′＝100°． 所以∠A的度数为100°． 故答案为：100°． 14．如图，Rt△ABC≌Rt△DAE，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是（1，0），（2，3），则点B的坐标是 　（﹣2，1）　 ． 【答案】（﹣2，1）． 【解答】解：∵点A的坐标是（1，0），点D的坐标是（2，3）， ∴OA＝1，OE＝2，DE＝3， ∴AE＝1， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE（已知）， ∴BC＝AE＝1，AC＝DE＝3， ∴CO＝AC﹣BC＝3﹣1＝2， 所以B点的坐标为（﹣2，1）； 故答案为：（﹣2，1）． 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线， ∴AD＝DE， 在Rt△BAD和Rt△BED中， ， ∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL）， ∴BA＝BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC4， ∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6． 故答案为：6． 16．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　180°　 ． 【答案】180°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF≌△GHI， ∴∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC（全等三角形对角相等）， ∴∠ACB+∠HGI+∠FED＝∠ABC+∠BAC+∠ABC＝180°， 根据题意可得，∠1＝180°﹣∠ECG﹣∠ACB，∠2＝180°﹣∠EGC﹣∠HGI，∠3＝180°﹣∠FED﹣∠CEG， ∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠ECG+∠EGC+∠CEG）﹣（∠ACB+∠HGI+∠FED）， 又∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣180°﹣180°＝180°， 所以∠1+∠2+∠3的度数等于180°， 故答案为：180°． 17．如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍CD与高楼AB之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝18°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠BPA＝72°，量得点P到楼底的距离PB与木棍高度都是4.5m，量得木棍与高楼之间的距离DB＝22.5m，则高楼的高度是　18　 m． 【答案】18． 【解答】解：由题意可知：CD⊥DB，AB⊥DB， ∴∠CDP＝∠PBA＝90°， ∴∠PCD＝90°﹣∠DPC＝90°﹣18°＝72°， ∴∠PCD＝∠APB， ∵CD＝PB， ∴△PCD≌△APB（ASA）， ∴AB＝PD， ∵DB＝22.5m，PB＝4.5m， ∴PD＝DB﹣PB＝22.5＝4.5＝18（m）， ∴AB＝18m， 故答案为：18． 18．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFDAD•DF12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【答案】（1）BF⊥CE，理由见解析； （2）30°． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 20．（8分）如图所示，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，连接AM． （1）AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）即AM⊥DM． 【解答】解：（1）AM平分∠DAB，理由为： 过点M作ME⊥AD，垂足为E， ∵DM平分∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵MC⊥CD，ME⊥AD， ∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵MC＝MB， ∴ME＝MB， ∵MB⊥AB，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）AM⊥DM，理由如下： ∵∠B＝∠C＝90°， ∴DC⊥CB，AB⊥CB， ∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠1∠CDA，∠3∠DAB（角平分线定义）， ∴2∠1+2∠3＝180°，∴∠1+∠3＝90°， ∴∠AMD＝90度．即AM⊥DM． 21．（8分）如图，在△ABC中，BC＝6． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【解答】解：（1）如图所示； （2）∵点O是AB的中点， ∴AO＝BO， 在△ADO与△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（ASA）， ∴AD＝BC＝6． 22．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 23．（10分）如图1所示的云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．云梯底架以木为床，下置六轮，梯身以一定角度固定装置于底盘上，并在主梯之外增设了一具可以活动的副梯，主、副梯长度相等，立柱、底板、主梯构成一个三角形．图2为其平面示意图，∠ABC＝90°，BC＝5米，AD可以绕点A旋转，以便调节云梯的高． （1）若AD∥BC，∠ACB＝40°，求∠ADC的度数； （2）当∠DAC＝∠CAB时，计算出点D到AC的距离． 【答案】（1）70°； （2）点D到AC的距离为5米． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC＝40°． ∵主、副梯长度相等， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴； （2）过点D作DF⊥AC于F， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DFA＝∠ABC＝90°． 在△DAF和△CAB中， ， ∴△DAF≌△CAB（ASA）， ∴DF＝BC＝5米．即点D到AC的距离为5米． 24．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC，BE＝AF． ∴EF＝EB+CF． （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10． ∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7． 25．（10分）如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　6　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 【答案】（1）6； （2）0.8或． 【解答】解：（1）∵AC＝6， ∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ∵AB＝10，BD＝8， ∴BD+AB＝18， ∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6， 故答案为：6； （2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝x t， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt， ∵∠CAB＝∠DBA＝α， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ， 由AC＝BP，得：6＝16﹣2t， 解得：t＝5， 由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt， ∵t＝5， ∴2×5﹣6＝8﹣5x， 解得：x＝0.8； ②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt， ∵t， ∴， 解得：x， 综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或． 26．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）10； （3）60°． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°， ∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM， ∵AD＝AE，AM＝AM， ∴△ADM≌△AEM（SAS）， ∴DM＝EM， ∴△BDM的周长＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10； （3）解：如图，延长DH到点I，使IH＝DH，连接FD，FI，FE，CI， 由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD， ∵点H为底边BC的中点，FH⊥DH， ∴BH＝CH，FD＝FI， ∵∠BHD＝∠CHI， ∴△BHD≌△CHI（SAS）， ∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI， ∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD， 即∠ECF＝∠CBA＝30°， ∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF， ∴∠ACB＝∠FCI＝30°， ∴∠ECF＝∠ICF＝30°， ∵BD＝CI，BD＝CE， ∴CE＝CI， ∵CF＝CF， ∴△CEF≌△CIF（SAS）， ∴FI＝FE＝FD， ∵AF＝AF，AD＝AE， ∴△AFD≌△AFE（SAS）， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$