广东省清远市清城区松岗中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年广东省清远市清城区松岗中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列式子不成立的是(    ) A. B. C. D. 2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 3.中，，顶角是，则一个底角等于(    ) A. B. C. D. 4.下列命题的逆命题是真命题的是(    ) A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 若，则 D. 两直线平行，同位角相等 5.在中，、、的对边分别为a、b、下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是(    ) A. B. ：：：4：5 C. D. a：b：：40：41 6.如图，在中，，点P为内一点，连接PA、PB、PC，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，DE垂直平分AC，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 9.如图，已知的周长是20，OB和OC分别平分和，于点D，且，则的面积是    A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 10.如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为E，过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论：①AD平分；②；③；④；⑤其中正确的结论有(    ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.不等式的解集为______. 12.某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，若要保证利润率不低于，则最多可以打______折出售此商品. 13.若点在第三象限，则m的取值范围是______. 14.如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是______. 15.如图，，点、、、…在射线ON上，点、、…在射线OM上，、、…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题9分 解不等式： ，并在数轴上表示解集. 解不等式组，并求出这个不等式组的整数解. 17.本小题7分 如图，在中， 用尺规作图法在BC上找一点D，使得点D到边AC、AB的距离相等保留作图痕迹，不用写作法； 在的条件下，若，，求BC的长. 18.本小题8分 学校为举行社团活动，准备向某商家购买甲，乙两种文化衫，已知甲种文化衫每件定价40元，乙种文化衫每件定价30元，学校决定向该商家购买甲，乙两种文化衫共100件其中甲种文化衫不超过50件，恰逢商家搞促销，现有两种优惠方案，方案一：甲种文化衫按标价八折出售，乙种文化衫按标价四折出售；方案二：购买一件甲种文化衫送一件乙种文化衫.根据以上信息，请通过计算说明，学校按照哪种方案购买更划算. 19.本小题9分 如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高. 求证：AD垂直平分EF； 若，，，求AD的长. 20.本小题9分 如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点 求证：平分； 21.本小题9分 某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50 台，购进显示器的总金额不超过77000 元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000 元/台、2000 元/台． 求该公司至少购买甲型显示器多少台？ 若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 22.本小题12分 如图，已知直线经过点，与x轴交于点，与直线交于点 求直线的解析式及m的值； 根据函数图象，直接写出关于x的不等式组的解集； 现有一点P在直线AB上，过点P作轴交直线于点Q，若点C到线段PQ的距离为1，求点P的坐标. 23.本小题12分 如图，是边长为12的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动与A、C不重合，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动，不与B重合，过P作于E，连接PQ交AB于点 当时，求AP的长； 证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点； 在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、不等式的两边同时减去3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意． B、不等式的两边同时乘以，不等号方向改变．即：，故本选项符合题意． C、不等式的两边同时加上2，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意． D、不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意． 故选： 根据不等式的性质解答． 考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2.【答案】B  【解析】解：根据题意正确的是 故选 不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线． 考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；<，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示． 3.【答案】A  【解析】解：中，，顶角是， 一个底角 故选： 根据等腰三角形的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； C、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选： 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 5.【答案】B  【解析】解：A：，， ， ， ， 是直角三角形，故A不符合题意； B：：：：4：5， 可设，，， ， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，故B符合题意； C：， ， 是直角三角形，故C不符合题意； D：：b：：40：41， 可设，，， ， 是直角三角形，故D不符合题意； 故选： 根据三角形内角和为180度求出三个内角中最大的内角的度数即可判断A、B；三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断C、 本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 6.【答案】B  【解析】解：假设结论不成立，即：成立． 故选： 假设结论不成立，成立． 本题考查反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤． 7.【答案】D  【解析】解：已知， 可得 根据线段垂直平分线的性质可推出 所以 所以 故选 首先利用线段垂直平分线的性质推出，根据等腰三角形的性质可求出，易求的度数． 本题运用两个知识点：线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，难度一般． 8.【答案】D  【解析】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有解， 故选： 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解可得答案． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【解答】 解：如图，连接OA，过O作于E，于F， 、OC分别平分和， ， 的周长是20，于D，且， ， ， ， 故选 10.【答案】B  【解析】解：①错误， 为BC的中点， ， 是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误； ②正确， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ③正确， ，，， ≌， ， ， ， ； ④正确， 在中，， ，， 垂直平分DE， ； ⑤正确， ≌， ， ， ， 综上所述，正确的结论有4个， 故选： ①错误，由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误； ②正确，直角三角形的性质推出是等腰直角三角形，故； ③正确，由≌，推出，由，推出，即； ④正确，在中，，易证； ⑤正确，于≌，推出，推出，于，即可推出 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 移项即可得出答案． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 12.【答案】8  【解析】解：设可以打x折出售此商品， ； 故答案为： 由题意可知：利润率为时，获得的利润为元；若打x折该商品获得的利润=该商品的标价进价，即该商品获得的利润，列出不等式，解得x的值即可． 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 13.【答案】  【解析】解：由点在第三象限，得 ， 解得， 故答案为： 根据第三象限内的点的纵坐标小于零，横坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 14.【答案】  【解析】解：从图象可以看出，当时，， 故答案是： 从图象确定时，x的取值范围即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：， 故答案为： 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，…进而发现规律是解题关键． 16.【答案】，数轴见解析过程；   ，不等式组的整数解为，0，1，  【解析】， ， ， ， 数轴表示如下： . 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：， 则不等式组的整数解为，0，1， 根据解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解，并将解集在数轴上表示出来即可． 根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并求出整数解即可． 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 17.【答案】见解析；    【解析】如图，点D即为所求； 如图，过点D作于点 平分，，， ， ， ， 作AD平分交BC于点D，点D即为所求； 证明，再证明可得结论． 本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18.【答案】解：设购买甲种文化衫x件，则购买乙种文化衫件，依题意得： 方案一所需费用为：元， 方案二所需费用为：元， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 答：综上所述，当时，选择方案一购买更划算：当时，选择两种方案购买所需费用一样；当时，选择方案二购买更划算．  【解析】设购买甲种文化衫x件，则购买乙种文化衫件，表示出两种方案需要的费用，然后列不等式，解不等式即可． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出一元一次方程组或不等式． 19.【答案】证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 又是的角平分线， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ，   【解析】先利用角平分线的性质得，利用“HL”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． 先利用三角形的面积和可求得DE的长，根据中的全等可得，可得AD的长． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定方法、线段垂直平分线的判定、直角三角形角的性质． 20.【答案】证明：所在的直线垂直平分线段AC， ， ， ， ， ，即AC平分； 所在的直线垂直平分线段AC， ， ， 是的一个外角， ， ， ，   【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21.【答案】解：设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器台，由题意，得 解得： 该公司至少购进甲型显示器23台． 依题意可列不等式： ， 解得： 为整数， ，24， 购买方案有： ①甲型显示器23台，乙型显示器27台； ②甲型显示器24台，乙型显示器26台； ③甲型显示器25台，乙型显示器25台．  【解析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键． 设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可； 由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式与的结论构成不等式组，求出其解即可． 22.【答案】解：将，代入得， 解得， 将代入得 点B坐标为，点C坐标为， 由图象得时，， 解集为； 点C到线段PQ的距离为1，点C横坐标为3， 点P，Q横坐标为或， 将代入得， 点P坐标为， 将代入得， 点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或  【解析】通过待定系数法求出直线AB解析式，将点C坐标代入求出m的值． 根据点B，C坐标结合图象求解． 由点C到线段PQ的距离为1，可得点P，Q的横坐标，通过分类讨论求解． 本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系． 23.【答案】4；   见解析；   线段ED的长不变，理由见解析．  【解析】是边长为12的等边三角形， ， 又， ， 设，则，， ， 在中，， ， 即， 解得， 当时； 点D是线段PQ的中点， 证明：如图，过P作， 则，， 是等边三角形， ， 、Q同时出发，速度相同，即， ， 在和中， ， ≌， ， 点D是线段PQ的中点； 线段ED的长不变， 是边长为12的等边三角形， ， 由知≌， ， 是等边三角形，， ， 为定值，即DE的长不变． 设，则，，在中，依据，即可得到，进而得出x的值； 过P作，则，，依据AAS判定≌，即可得出； 依据≌，即可得到，再根据是等边三角形，，即可得到，进而得出为定值． 本题是三角形综合题．主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$