重庆市丰都县平都中学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年重庆市丰都县平都中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是(    ) A. ，， B. C. ：：：4：5 D. 3.如图是一台自动测温记录仪测得西安市冬季某天的气温T与时间t的图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是(    ) A. 从14时至24时，气温随时间增长而下降 B. 凌晨4时气温最低，为 C. 从0时至14时，气温随时间增长而上升 D. 14时气温最高，为 4.估计的值应在(    ) A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 6.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分a的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第2个图有8条线段，第3个图有15条段线，则第7个图中线段的条数为(    ) A. 35 B. 48 C. 63 D. 65 8.若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在▱ABCD中，，于点E，点F为BC的中点，连接EF并延长交DC的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为(    ) A. B. C. D. 10.若x，y为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值.例如：选A，B作差并求其绝对值，即则下列说法中：①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或正确的个数为(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：______. 12.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______. 13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若，菱形ABCD的周长是52，则BD的长为______. 14.关于y的分式方程有整数解，且关于x的一次函数在自变量取值范围内y随x增大而增大，则满足条件的所有整数a的和为______. 15.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，，连接DE交AC于点P，，若，则______，______. 16.对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”.例如，四位数2367，，是一个“临风数”.若一个四位数是“临风数”，则m的值为______；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： ； 18.本小题8分 先化简，再求值：，其中a是使得一次函数的图象经过第一、三、四象限的整数. 19.本小题10分 在学习了菱形的相关知识后，智慧学习小组想在一张三角形纸板ABC上画出一个以为内角的菱形，他们发现，由于菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，所以可以通过作角平分线和中垂线的方式，画出符合条件的菱形.请根据他们的想法与思路，完成下面的作图与填空： 如图，在中，的角平分线AD交BC边于点D，用尺规作AD的垂直平分线，分别交边AB，AC于点E，F，交AD于点连接ED，不写作法，保留作图痕迹 在问的条件下，求证：四边形AEDF为菱形. 证明：平分， ①______. ， ②______. 在和中， ≌， ③______ 是AD的中垂线， 四边形AEDF为平行四边形. ④______， 四边形AEDF为菱形. 进一步思考：若中，，那么四边形AEDF的形状为⑤______. 20.本小题10分 如图，四边形ABCD中，，F为AB上一点，DF与AC交于点E， 求证：四边形AFCD是平行四边形； 若，，，求AC的长. 21.本小题10分 端午将近，某超市计划购进鲈鱼和鲢鱼.已知每斤鲢鱼的进价比每斤鲈鱼的进价多6元，超市第一次用175元购进的鲢鱼数量和用100元购进的鲈鱼数量相同. 求每斤鲈鱼的进价是多少元？ 由于鲢鱼和鲈鱼畅销，超市决定再次用不超过3600元的资金购进鲢鱼和鲈鱼共300斤，其中鲈鱼的数量不多于鲢鱼数量的2倍，且鲢鱼和鲈鱼的进价保持不变.若每斤鲢鱼的售价为20元，每斤鲈鱼的售价为12元，若第二次购进的鲢鱼和鲈鱼全部售出，请问当第二次购进鲢鱼多少斤时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 22.本小题10分 如图，在平行四边形ABCD中，，，，点Q从A出发，沿射线AD方向运动，过点Q作交折线于点P，当点P与点C重合时，点Q停止运动.运动过程中，设， 请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； 在直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； 已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量x的取值范围； 23.本小题10分 如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立A、B、C、D四个点，并给出以下信息：点A在点B的西北方向上，点D在点B的北偏西方向上，点D在点A的东北方向上，，米，米. 求BC的长； 若小明和小亮从点B同时出发，分别沿和到达点D，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由参考数据：， 24.本小题10分 如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点 求a的值和一次函数的表达式； 如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； 如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 25.本小题10分 如图，四边形ABCD和四边形DEFG均为菱形，其中点E在菱形ABCD的对角线AC上， 如图1，若E为对角线AC的中点，EF交CD于点P，求的值. 如图2，连接AG交CD于点H，求证： 如图3，，E在线段AC上运动，直接写出取最大值时，AF的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，原式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原式不是最简二次根式，不符合题意； D、，原式不是最简二次根式，不符合题意， 故选： 根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行判断即可． 本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、， 是直角三角形； B、， 是直角三角形； C、：：：4：5， ， 不是直角， 不是直角三角形； D、，， ， 是直角三角形， 故选： 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可． 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：A、由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确． B、由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点，凌晨4时气温最低为，故本选项正确； C、由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项错误； D、由图象可知，在14点函数图象在最高点8，时气温最高为，故本选项正确； 故选： 根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：原式 ， ， ， ， 代数式的值应在6和7之间． 故选： 先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算出其取值范围即可． 本题考查的是估算无理数的大小及二次根式的混合运算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，本选项不符合题意． B、矩形的对角线互相垂直，是假命题，本选项符合题意． C、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，是真命题，本选项不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题，本选项不符合题意． 故选： 根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质一一判断即可． 本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握特殊四边形的性质解决问题． 6.【答案】A  【解析】解：如图，BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA， ，，， ， ， 当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分a最短，此时； 当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分a最长，此时， 的取值范围是， 故选： 画出图形，使BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，则，先根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度AB的值，当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分最短；当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分最长，分别求出相应的a的值即可． 此题重点考查勾股定理及其应用，正确地画出图形并且根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：由图可得， 第1个图形中有：3条线段， 第2个图形中有：条线段， 第3个图形中有：条线段， 第4个图形中有：条线段， …， 则第n个图形中有：条线段， 当时， 故选： 根据题目中的图形，可以发现各个图形中线段条数的变化规律，从而可以解答本题． 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题． 8.【答案】D  【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选： 先根据题意判断出m、k的符号，进而可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：连接DF， 点F为BC的中点， ， 四边形ABCD为平行四边形， ， ，， ≌， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 连接DF，证明≌，得出，由直角三角形的性质得出，则，证出，则可得出结论． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：判断说法①，首先列出所有可能的作差求绝对值的情况：；；；；；观察发现因为x，y为正数，，所以所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数，说法①正确． 判断说法②，当时，，，，，，所有操作结果的和为当时，令，则，不是整数．当时，令，解得，不是整数．所以不存在两个整数因为，使得所有操作结果的和为52，说法②错误．判断说法③， ，，， ， ，y均为整数， 由枚举法可得，或，，或，， ，或，或，， 或389或842，故③正确； 故选： 本题涉及绝对值运算、代数式的化简以及方程的求解．需要分别对每个说法进行分析判断． 本题考查了绝对值的化简和解方程，做题的关键是去绝对值和解方程． 11.【答案】3  【解析】解：原式 故答案为： 先根据绝对值的性质，零指数幂分别计算出各数，再算加减即可． 本题考查的是实数的运算，涉及到绝对值的性质，零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意，一次函数的图象与的图象交于点， 方程组的解是 故答案为： 依据题意，根据图象交点坐标可得方程组的解． 本题主要考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的解，解题关键是掌握一次函数图象与方程的关系，掌握方程的解与图象交点的关系． 13.【答案】10  【解析】解：四边形ABCD是菱形，周长是52，， ，，，， ， ， ， 故答案为： 由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，即可参加了． 此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出OB的长是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：解分式方程，得， 一次函数在自变量取值范围内y随x增大而增大， ，且， 解得， 分式方程有整数解， 能取的整数为，，，0， 满足条件的所有整数a的和为 故答案为： 解分式方程可先确定出a的取值范围，再由一次函数的性质和二次根式有意义的条件可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，即可求得答案． 本题考查了分式方程的解，一次函数的性质，熟练掌握分式方程的解法和一次函数的性质是解题关键． 15.【答案】  2  【解析】解：作于点G，则， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， ，，在中，； 过点E作于点H，则 ， ， 又， 四边形AGEH是矩形， ，， ， 在中，， 作交DA延长线于点Q， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 故答案为：， 作于点G，得，是等腰直角三角形，根据得，，在中，由勾股定理可求出，过点E作于点H，可证四边形AGEH是矩形，得出，，，在中由勾股定理得出，利用勾股定理分别求出BD与CD长，再求出即可． 本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 16.【答案】3  9981  【解析】解：对于四位数有：，，，， ， 中，，， ， 解得：； ， 整理得，， ， ，，，， 是4的倍数，是5的倍数， ，， ； 设，，则当时，，； 当时，，； 当时，，； 要使四位自然数最大，则a最大，b最大，且能被7整除， 当，时，，，，， 此时，此时不成立； ，，，， 此时，此时不成立； ，，，， 此时，此时不成立； ，，，， 此时，此时不成立； ，，，， 此时，此时不成立； ，，， 此时，此时不成立； ，，， 此时，此时成立； 满足条件的最大数为：8748； 要使四位自然数最小，则a最小，b最小，且能被7整除， 当，时，，，，， 此时，此时不成立； ，，，， 此时，此时不成立； ，，，， 此时，此时成立， 满足条件的四位自然数是1233， 满足条件的四位数最大值与最小值的和为， 故答案为：9981 根据“临风数”的定义可得，解方程求出m的值即可；根据“临风数”定义得，得出是4的倍数，是5的倍数，设，，分，，讨论求出最大数和最小数即可． 本题考查了一元一次方程的应用，新定义下的整式的加减运算．掌握新定义运算法则是解题的关键． 17.【答案】解：原式 ； 原式   【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除法则运算； 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18.【答案】，  【解析】解： ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解得， 为整数， ，，0， ，， ，， 当时，原式 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据一次函数的图象经过第一、三、四象限得出a的取值范围，进而可得出结论． 本题考查的是分式的化简求值，一次函数的性质，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19.【答案】见解答．   见解答．  【解析】解：如图，直线EF即为所求． 证明：平分， ， 在和中， ， ≌， 是AD的中垂线， 四边形AEDF为平行四边形． ， 四边形AEDF为菱形． 若中，，那么四边形AEDF的形状为正方形． 故答案为：①；②；③；④；⑤正方形． 根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． 根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质填空即可． 本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】证明：， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形AFCD是平行四边形； 解：如图，过点C作于点M， 则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即AC的长为  【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； 过点C作于点M，证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，求出，即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】8；   200，  【解析】设每斤鲈鱼的进价是x元，则每斤鲢鱼的进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根． 答：每斤鲈鱼的进价是8元． 设第二次购进鲢鱼m斤，则购进鲈鱼斤． 每斤鲢鱼的进价是元， 根据题意，得， 解得， 设本次销售获得为W元，则， ， 随m的增大而增大， ， 当时W值最大， 答：当第二次购进鲢鱼200斤时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是1600元． 设每斤鲈鱼的进价是x元，则每斤鲢鱼的进价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； 设第二次购进鲢鱼m斤，则购进鲈鱼斤，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集；设本次销售获得为W元，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值即可． 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 22.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ，， 是直角三角形，且， 设，， ①当点P在线段AB上时，即， ， ， ； ②当点P与点B重合时，即，如图所示， ，即； ③当点P在线段BC上时，即，如图所示， ，， ，且， 四边形是矩形， ， ； 综上所述，y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围为：； 根据的函数关系式描点如下， x 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下， 如图所示， 根据图示，交点坐标为，， 当时，， 自变量的取值范围为：  【解析】根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； 运用描点，连线的方法即可求解； 根据图示即可求解． 本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． 23.【答案】由题意得：，，，， ， 米， 米 ，米， 米 ，米，米， 米 小明行走的总路程为：米 小亮行走的总路程为：米 ，两人速度相同， 小明先到达．  【解析】易得，，，，则，，可得为，根据AD的长和的直角三角形的性质可得BD的长，进而根据勾股定理可得BC的长； 根据勾股定理求出AB的长，进而分别求出两人行走的总路程，根据两人的速度相同可得总路程短的同学先到达． 本题考查勾股定理的应用．根据题意判断出是含的直角三角形是解决本题的关键． 24.【答案】4，；   的最小值是；   y轴上存在点M，使得，点M的坐标为或  【解析】解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点 ， ， ， 解得：， 一次函数； ， 设， ， ， ， ， 取点关于x轴的对称点，作直线AD交x轴于M，此时， ， 当A、D、M三点共线时，有最小值为AD， 设直线AD的解析式为， ， 解得， 直线AD的解析式为， 当时，， 解得， ， ， 的最小值是； 存在，当点M在y轴的正半轴时，过A作轴于N，轴于E，连接BM， ， 点在直线上， ， 四边形AEON是正方形， ， 在y轴上取，连接AH， 则≌， ，， ， ， ， ， ≌， ， 点， ， ， ， ， ， ， ， 点M的坐标为； 当M点y轴负半轴上时，作关于直线OA的对称点G， ， ， 点在x轴上， ， ， 直线AG的解析式为， 直线AG与y轴的交点为； 综上所述，点M的坐标为或 求出A点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； 设，由题意得到，则，可求，取点关于x轴的对称点，作直线AD交x轴于M，此时，当A、D、M三点共线时，有最小值为AD，求出直线AD的解析式为，可得，再求即可； 当点M在y轴的正半轴时，过A作轴于N，轴于E，连接BM，四边形AEON是正方形，在y轴上取，连接AH，则≌，≌，分别求出，，再由，求出OM即可求点M的坐标为；当M点y轴负半轴上时，作关于直线OA的对称点G，由对称性可知G点在x轴上，则，直线AG的解析式为，直线AG与y轴的交点为 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，最短路径问题， 25.【答案】；   证明过程详见解答；    【解析】解：如图1， 连接DF， 四边形ABCD是菱形， ，， 是等边三角形， 点E是AC的中点， ，， 同理可得， 是等边三角形， ，， ， ，， ； 证明：如图2， 在CD上截取， 由知， 是等边三角形， ，， ≌， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ≌， ， ， ； 解：如图3， 连接CF，作于X， 和是等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ， ，， 、C、F共线，， ， 当DE最小时，最小，最大值， ， 图中点E在处，F在处， ， ， ， 连接DF，可证得是等边三角形，从而得出，，可证得是等边三角形，从而，，从而，，从而得出； 在CD上截取，可证得≌，从而，，进而得出，从而得出，从而得出，，可证得≌，从而，进一步得出结论； 连接CF，作于X，可证得≌，从而，，进而得出B、C、F共线，，从而得出，故当DE最小时，最小，最大值，从而得出，进一步得出结果． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质的那个知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$