第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算（六大题型）（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 平面向量的基本概念 题型02 平面向量的线性运算 题型03 平面向量的基本定理 题型04平面向量的正交分解与坐标表示 题型05 平面向量线性运算的坐标 题型06 由向量共线（平行）求参数 02 核心突破提升练 01 平面向量的基本概念 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，则的单位向量为（用坐标表示） 3．则与同方向的单位向量 4．设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为 . 02 平面向量的线性运算 5．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为 ． 7．已知梯形中，，且，若，，则 . 8.已知正四面体的边长为是空间一点，若，则的最小值为 . 03 平面向量的基本定理 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，是的中点.若，，则 ． 10.已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是 . 11．在中，设是边上一点，且满足，，则的值是 . 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 ． 13.如图所示，在平行六面体中，，若，则 . 14.在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是 ． 15．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，若对任意位置向量（其终点），均存在位置向量，（其终点）满足，使得，则的最小值 ． 04 平面向量的正交分解与坐标表示 16.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ） A． B． C． D． 17.已知正方形两对角线交于点，坐标原点不在正方形内部，，，则向量等于 A． B． C． D． 18.把点按向量平移到点，则函数的图像按向量平移后的图象的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 19.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； ⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为. 其中所有正确的结论的序号是 . 05 平面向量线性运算的坐标 20.如图，在边长为4的正方形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21.已知向量，则 ． 22.已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若为原点），则 . 23．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是 ． 24.已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是 ． 25.已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点（允许重合），满足，且，则的取值范围是 ． 26.已知A、B、C是椭圆上的三点，点，若，则 ． 27.已知A､B是由直线所围成的矩形中相邻的两个顶点，点P是椭圆上的任意点，且存在实数m，n满足，则的取值范围是 . 28.若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则 . 29.已知点在双曲线上，点满足（），且，，则的最大值为 06由向量共线（平行）求参数 30．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知向量与向量满足，则 . 31．（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数 . 32．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，若，则 ． 33．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知向量和向量平行，则实数 . 34．（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量，，若，则 . 35.已知向量，．若，则 . 36.为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为 ． 一、选择题 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 2.已知函数，按向量平移此函数图象，使其化简为反比例函数的解析式，则向量为 A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，其中，若，则 . 4.已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 . 5.已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为 6.已知向量、不共线，夹角为，且，，，若，则的最小值为 ． 7.已知向量与非零向量满足.若“对任意满足前式的，均存在，使得成立”，则的取值范围是 . 8.设定义域为的函数的图象的为，图象的两个端点分别为、，点为坐标原点，点是上任意一点，向量，，且满足，又设向量，现定义“函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中为常数．给出下列结论： ①、、三点共线； ②直线的方向向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④“函数在上“可在标准下线性近似”，则． 其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题 9.一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1. (1)求B的前进方向与x轴正向间的夹角； (2)当A､B间距离最短时，求A､B的坐标. 10．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最小值. 11．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆（的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆C上的任意一点. (1)写出向量和的坐标（用字母：，，表示）； (2)若的最大值为2，最小值为，求椭圆C的离心率； (3)在满足（2）的条件下，若直线与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标. 12.在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆的上、下顶点，若动直线l过点，且与椭圆相交于C、D两个不同点（直线l与y轴不重合，且C、D两点在y轴右侧，C在D的上方），直线AD与BC相交于点Q． （1）设的两焦点为、，求的值; （2）若，且，求点Q的横坐标； （3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 平面向量的基本概念 题型02 平面向量的线性运算 题型03 平面向量的基本定理 题型04平面向量的正交分解与坐标表示 题型05 平面向量线性运算的坐标 题型06 由向量共线（平行）求参数 02 核心突破提升练 01 平面向量的基本概念 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的模、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论. 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 2．已知点，则的单位向量为（用坐标表示） 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、向量模的坐标表示 【分析】由单位向量的定义求解即可 【详解】因为， 所以， 所以的单位向量为， 故答案为： 3．则与同方向的单位向量 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】直接利用公式计算得到答案. 【详解】与同方向的单位向量， 故答案为：. 4．设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为 . 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、相反向量、利用坐标求向量的模 【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得相反向量的坐标及模长，即可求的坐标. 【详解】由相反向量为且模长为， ∴. 故答案为： 02 平面向量的线性运算 5．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】由平面向量加法法则结合是的中点即可求得. 【详解】由题意，点在上，如图所示：    且满足，所以，因为，是的中点，所以，所以. 故选：D 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】向量减法的运算律、向量减法法则的几何应用 【分析】设，根据题设条件得三点共线，且在之间，进而得到，中任意两点之间的距离不小于1，以及两点之间的距离小于1即可. 【详解】设， 则， 所以三点共线，且在之间，因为，所以， 即，中任意两点之间的距离不小于1，因为， 所以两点之间的距离小于1，所以，中至少有一个点在B，C之间， 所以的最大值为3. 故答案为：3 7．已知梯形中，，且，若，，则 . 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】由题意结合平面向量共线的性质、线性运算法则直接运算即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图： ，，， . 故答案为：. 8.已知正四面体的边长为是空间一点，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四面体的内切球半径和外接球半径，再利用向量的线性运算进行转化，从而可求得结论. 【详解】设是正四面体内切球的球心，正四面体的内切球半径为 ，外接球半径为， 如图, 将正四面体置于正方体中, 正四面体的外接球即为正方体的外接球, 正方体的体对角线为球的直径, 因为正四面体的边长为1,所以正方体的棱长为,正方体对角线长为 ,故 . 正四面体的体积 从而正四面体的高 满足: . 将正四面体分割成以球心 为顶点, 以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥, 它们的底面与正四面体的底面相同, 高为内切球的半径 , 故 . 而外接球可以利用 ,，解得. 故正四面体的内切球半径为，正四面体的外接球半径为，则 又因为，所以， 故， 即， 所以是正四面体内切球上一点，故的最小值为. 故答案为：. 03 平面向量的基本定理 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，是的中点.若，，则 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量 【分析】由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】因为为的中点，则，可得， 故. 故答案为：. 10.已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是 . 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】把用向量表示出来，利用三点共线可求答案. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以. 故答案为：. 11．在中，设是边上一点，且满足，，则的值是 . 【答案】0 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】由题意结合平面向量的性质可得，根据平面向量线性运算法则可得，再由平面向量基本定理即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图： ，， 由、不共线可得，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 ． 【答案】 【知识点】向量加法的运算律、用基底表示向量、双曲线定义的理解 【分析】根据垂直关系，结合向量的加法法则，即可求解. 【详解】由可知， 因为， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 13.如图所示，在平行六面体中，，若，则 . 【答案】2 【知识点】用基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化， ,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，. 【详解】解：因为 ， 又， 所以，， 则. 故答案为：2. 14.在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【解析】构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围． 【详解】构造“等和线”解题，作， 连接，则， 所以， 显然对应的， 作出的一系列平行线，对应的 对应的， 过点对应的等和线，过点对应的“等和线：， 所以的取值范围是. 故答案为：． 15．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，若对任意位置向量（其终点），均存在位置向量，（其终点）满足，使得，则的最小值 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知d的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设方程表示的曲线为， 用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称； 当时，方程可化为， 据此可知曲线为边长为的正方形， 且方程表示圆心为，半径的圆， 显然曲线在圆内， 设，即点在曲线上，点在圆上， 则， 因为，即，可知三点共线， 即过曲线上任一点作圆的弦， 由圆的性质可知的最小值， 因为存在点，使得，则， 结合点的任意性可知的最小值即为的最大值， 若取到最大值，即取到最小值， 可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 04 平面向量的正交分解与坐标表示 16.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量、由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程 【分析】由已知设，，则，所以，由此得点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆，从而得，，得解. 【详解】解：设，，则，所以；， 则点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆， 表示区域为：以为圆心，内径为,外径为的圆环， 且 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交. 又因为，所以所以. 故选：A. 17.已知正方形两对角线交于点，坐标原点不在正方形内部，，，则向量等于 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意作出图形，根据与全等,得出点的坐标，从而可得出答案. 【详解】由，，则， 由坐标原点不在正方形内部，作出如图的正方形,过作轴，垂足为. 则与全等,所以,则. 所以, 所以 故选：D    18.把点按向量平移到点，则函数的图像按向量平移后的图象的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的变换、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据坐标平移的性质和平面向量坐标加减法运算，解得的坐标，再根据函数图象平移的方法，可得的图像按向量平移后的图象的函数表达式． 【详解】解：由题可知，把点按向量平移到点， 则，， 则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为. 故选：D. 19.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； ⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①②③⑤. 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示、向量新定义 【分析】在①中，； 在②中，； 在③中，； 在④中，； 在⑤中，设，则，化为，从而满足条件的圆的斜坐标方程为. 【详解】①∵，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴，故③正确； ④，故④错误； ⑤若，以为圆心，1为半径的圆满足， 设，则， 化为， ∴. 故满足条件的圆的斜坐标方程为.故⑤正确. 故答案为：①②③⑤. 05 平面向量线性运算的坐标 20.如图，在边长为4的正方形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】先建立直角坐标系得到，再设得到，接着建立方程组得到，最后求的取值范围即可. 【详解】解：建立直角坐标系，如图，则，，， 设（），则在圆上，设， 则，则， 则当，时，；则当，时，； 所以的取值范围： 故选：A 21.已知向量，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 22.已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若为原点），则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、根据样本中心点求参数 【分析】根据样本中心必在回归直线上即可求解. 【详解】, 所以, 所以样本中心为, 因为样本中心必在回归直线上,所以解得. 故答案为：. 23．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设，， 依题意， 所以， 所以，将点的坐标代入抛物线的方程得： ，整理得， 设直线的斜率为，则， 根据二次函数的性质可知，当时， 取得最大值为，所以，得到， 故答案为：. 24.已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量与几何最值、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据定义判断动点在椭圆上，并求出椭圆方程，然后利用两点间距离即可求解. 【详解】由题知，点在椭圆上， 设椭圆方程为， 则，， 所以椭圆方程为， 设点， 则 ， 因为， 所以， 解得， 又点在椭圆上， 所以. 故答案为： 25.已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点（允许重合），满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、抛物线的范围、抛物线的焦半径公式 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设，，，根据焦半径公式表示出，，，依题意可得，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：设，，， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以，，， ，又、、为抛物线上三点，显然三点不完全重合， ，即，， 所以， 因为，所以，等价于， 由对称性，不妨设， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 当时，即； 当时，即; 所以 故答案为： 26.已知A、B、C是椭圆上的三点，点，若，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由可得，再结合椭圆第二定义可知，从而得解. 【详解】易知椭圆的右焦点即为点， 且椭圆的离心率， 设， 则， 由得：， 由椭圆的第二定义可知： ， ， ， 所以. 故答案为：. 27.已知A､B是由直线所围成的矩形中相邻的两个顶点，点P是椭圆上的任意点，且存在实数m，n满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、条件等式求最值、求椭圆上点的坐标 【分析】由题意可设，，，，由、，可求得，，代入椭圆方程可得，结合重要不等式得到结果. 【详解】依题意不妨设，，，设，， ， ，， ，为椭圆上的一点， ， ． 又，即 ∴，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 28.若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则 . 【答案】8 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】计算，设，根据向量运算得到，再利用抛物线定义得到答案. 【详解】是抛物线的焦点，则，设， 则， 故， . 故答案为：8 29.已知点在双曲线上，点满足（），且，，则的最大值为 【答案】8 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】由，得到，则，设，，可得，将点代入双曲线中得，结合，可得，从而得到． 【详解】，， 则，， 设，，， ， 则，即，将点代入双曲线中得： ，①， ， ②， 由①②得， ， ． 则的最大值为8． 故答案为：8． 06由向量共线（平行）求参数 30．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知向量与向量满足，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知，解得. 故答案为：. 31．（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 32．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，若，则 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则，则． 故答案为：. 33．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知向量和向量平行，则实数 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为向量和向量平行， 所以，即，所以. 故答案为： 34．（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线向量的坐标计算公式计算即得. 【详解】由，可得，， 因，则，解得，. 故答案为：. 35.已知向量，．若，则 . 【答案】0 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量坐标运算的线性运算求得，再根据向量平行的坐标关系，即可得的值. 【详解】解：向量，， 所以， 若，则，解得. 故答案为：0. 36.为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意，得出，由，可知，设点，根据向量坐标运算得出，，分类讨论当和当时，利用向量共线的坐标表示和中点坐标公式，即可求出点的坐标. 【详解】解：由题可知，，点在直线上，则， 又，， 设点，则，， ①当时，则， ，解得：，， 是的中点， ，解得：，. ②当时，则， ，解得：，， 是的中点， ，解得：，， 综上可得，点的坐标为或. 故答案为：或. 一、选择题 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由坐标判断向量是否共线 【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】若，则，即，故，充分性成立， 不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2.已知函数，按向量平移此函数图象，使其化简为反比例函数的解析式，则向量为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的变换、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】化函数解析式为：观察与的关系，由平移法则即可求出结果. 【详解】,则只需把函数图象先向右移1个单位，然后向上移1个单位可得反比例函数，即按向量平移. 故选：D. 二、填空题 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，其中，若，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线的坐标表示和，求得，进而可求得的值. 【详解】由，则，即， 又，则， 故答案为： 4.已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】8 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据三点共线可得，利用“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】如图，    因为，为的中点， 所以， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8. 故答案为：8 5.已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为 【答案】 【知识点】求复数的模、利用坐标求向量的模 【分析】根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解. 【详解】不妨设，， 因为是实系数一元二次方程的一个虚数根， 所以也是的一个虚数根， 从而  ①， 又因为无实根， 所以  ②， 由①②可得，， 因为，所以， 由一元二次函数性质易知， 当时，有最小值5；当时，；当时，， 故当时，，即， 故向量的取值范围为：. 故答案为：. 6.已知向量、不共线，夹角为，且，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意作出如下图形，令，，根据平面向量线性运算法则及椭圆的定义得到点的轨迹，求出其轨迹方程，由的取值范围，得到时，的值最小，此时点的坐标为，再代入椭圆方程计算可得. 【详解】如图及为平行四边形，，， 令，，则，， 因为，即， 由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆其中、， 所以其轨迹方程为， 因为，所以当，即时，的值最小， 此时点的坐标为， 将点的坐标代入椭圆得， 解得． 故答案为： 7.已知向量与非零向量满足.若“对任意满足前式的，均存在，使得成立”，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先对条件作几何解释，再对a分类讨论即可. 【详解】如图： 设（），向量 ，过B点作垂直于x轴的垂线，垂足为D， 则有 ，  ，依题意， ， 所以点B的运动范围总在直线 与直线 之间， 设 ，则 ， ，由 得 ， ，下面对a分类讨论： 若 ，则 ，满足条件； 若 ，则有 ，是长轴在x轴短轴在y轴上的椭圆， ，解得 ， ； 若 ，则有 ，是实轴在x轴虚轴在y轴上的双曲线， 显然当 时， ，不满足题意； 故答案为： . 8.设定义域为的函数的图象的为，图象的两个端点分别为、，点为坐标原点，点是上任意一点，向量，，且满足，又设向量，现定义“函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中为常数．给出下列结论： ①、、三点共线； ②直线的方向向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④“函数在上“可在标准下线性近似”，则． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】根据题意得到得到①正确，计算得到得到轴，②正确，取，计算得到，③错误，，根据均值不等式得到答案. 【详解】，即，即，故、、三点共线，①正确； ，，，故，，故，即轴，即直线的方向向量可以为，②正确； 易知，，取，则，故，，故，即，③错误； 函数在上，易知，，故直线方程为：. ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题 9.一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1. (1)求B的前进方向与x轴正向间的夹角； (2)当A､B间距离最短时，求A､B的坐标. 【答案】(1) (2)， 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、平面向量线性运算的坐标表示、根据二次函数的最值或值域求参数、利用坐标求向量的模 【分析】（1）设出发后时，位移为，则的位移，利用距离公式求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）由（1）求得，即可求得的坐标. 【详解】（1）解：设出发后时，位移为，则的位移， 则 若时，即时，可得，不符合题意 则，所以当， 此时，解得， 又因为，所以. （2）解：由（1）知，可得， 所以位移的坐标为，则的位移的坐标为. 10．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆方程求出，从而可得坐标，将其横坐标代入椭圆方程中可求出的值，进而可求出的面积； （2）设点的坐标为，则直线的方程为，代入椭圆方程中求出得，因为，可得，计算即可得出坐标； （3）由（2）同理可求得，从而可得化简后结合基本不等式可得答案 【详解】（1）设椭圆的半长轴长为，短半轴长为，半焦距为， 由椭圆，得，则， 所以， 当时，，得，所以， 所以的面积为； （2）设点的坐标为（），则直线的方程为， 将其代入椭圆方程中可得， 整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以，可得， 化简得， 解得，代入得，则， 所以点的坐标为. （3）由（2）得，同理可求得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为. 11．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆（的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆C上的任意一点. (1)写出向量和的坐标（用字母：，，表示）； (2)若的最大值为2，最小值为，求椭圆C的离心率； (3)在满足（2）的条件下，若直线与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)． (2)； (3)证明见解析，． 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可得出和的坐标； （2）求得利用椭圆的有界性可得出，利用二次函数的基本性质可得出的最大值和最小值，进而可求得的值； （3）设点，联立直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算并结合韦达定理可得出的等量关系，由此可得出直线l所过定点的坐标. 【详解】（1）因为，所以． （2）， 因为，所以时，时，， 所以，所以离心率为； （3）由（2）知，椭圆，又联立方程组， 得． 设是直线与椭圆的两个交点， 于是有 以线段为直径的圆经过点，所以， 即，化简得， 所以或（均满足） 当时，直线过点不满足与椭圆的左右顶点不重合要求舍去 所以，即， 所以必经过定点，且定点的坐标为． 12.在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆的上、下顶点，若动直线l过点，且与椭圆相交于C、D两个不同点（直线l与y轴不重合，且C、D两点在y轴右侧，C在D的上方），直线AD与BC相交于点Q． （1）设的两焦点为、，求的值; （2）若，且，求点Q的横坐标； （3）是否存在这样的点P，使得点Q的纵坐标恒为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF2＝45°，结合对称性可得∠F1AF2＝90°； （2）设C（x1，y1），D（x2，y2），根据已知条件可求得直线BC的方程为y＝2x﹣1，直线AD的方程为y＝﹣x+1，联立两直线方程即可得到点Q的横坐标； （3）设直线l的方程为y＝kx+b（k＜0，b＞1），与椭圆方程联立，可得，直线BC的方程为，直线AD的方程为，进而得到点Q的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，1）， 则∠OAF2＝45°， ∴∠F1AF2＝90°； （2）若b＝3，设C、D的两点坐标为C（x1，y1），D（x2，y2）， ∵， ∴，即， 而C（x1，y1），D（x2，y2）均在上， 代入得，解得， ∴，分别代入Γ解得，， ∴直线BC的方程为y＝2x﹣1，直线AD的方程为y＝﹣x+1， 联立，解得， ∴Q点的横坐标为； （3）假设存在这样的点P，设直线l的方程为y＝kx+b（k＜0，b＞1）， 点C，D的坐标为C（x1，y1），D（x2，y2）， 联立，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣2＝0， 由△＝16k2b2﹣8（2k2+1）（b2﹣1）＞0，得， 由，可得， 直线BC的方程为，直线AD的方程为， 而x1y2＝kx1x2+bx1，x2y1＝kx1x2+bx2，联立， 得 ＝， 则b＝3＞1，因此，存在点P（0，3），使得点Q的纵坐标恒为. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$