第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 平面向量的概念及线性运算 3 知识点2 平面向量基本定理及坐标表示 5 题型破译 6 题型1 平面向量的基本概念 6 题型2 平面向量的线性运算 8 题型3 共线定理及其应用 13 题型4 平面向量基本定理的应用 17 题型5 平面向量的坐标运算 20 题型6 向量共线的坐标表示 23 04真题溯源·考向感知 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）由坐标判断向量是否共线 （2）由向量共线（平行）求参数 单选题 填空题 解答题 第16题由坐标判断向量是否共线 第20题由向量共线（平行）求参数 第5题由向量共线（平行）求参数 / 考情分析：从近几年上海高考情况来看，该部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，分值为 4-5 分，难度较易。有时也会与三角函数、解析几何等知识结合，出现在综合性大题中，难度中等。 复习目标： 1.能够运用平面向量基本定理将平面内的任意向量用给定的基底表示出来，具备选择合适基底解决问题的能力，提高向量分解与合成的思维能力。 2.熟练运用向量的坐标运算解决向量的线性运算问题，能通过坐标运算判断向量的共线关系，并能运用此条件解决相关问题。 3.培养运用向量知识解决几何问题的能力，能将几何图形中的向量关系转化为坐标关系，通过坐标运算求解几何图形中的长度、角度、平行、垂直等问题，实现几何问题与代数问题的相互转化。 知识点1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 4.熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 自主检测若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案　B 解析　－2＝()＋()＝，， ∴||＝||. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形. 知识点2 平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 5.常用结论 (1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为. 6.谨防三个易误点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 自主检测已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 答案　A 解析　因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)， 所以a＋b＝(4，sin α)， 又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c， 所以4cos α＝2sin α，则tan α2. 题型1 平面向量的基本概念 例1-1已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 例1-2以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 【变式训练1-1】已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 【变式训练1-2】设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 【变式训练1-3】下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中，一定有 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 答案　C 解析　A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且和方向相同，故；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同. 【变式训练1-4】如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一(排除法) ，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，C错误；故选D. 方法二　在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误； ∵AB∥CD，∴，则， 即，即， ∵EF∥AB，∴， ∴PE＝PF，即P为EF的中点， ∴，故C错误，D正确. 题型2 平面向量的线性运算 例2-1在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量的模、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、求投影向量 【分析】根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得. 【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2, , , ,即, 记, 则, 若求的最小值即求的最小值, 过点作的垂线交于点,此时最小, 如图所示: , 故答案为: 例2-2设为的外心，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解. 【详解】   设外接圆的半径为， 因为，所以， 所以，且， 取的中点，连接，则， 因为，所以，即， 所以， 在中由余弦定理可得： ， 在中，由正弦定理可得：， 故答案为：. 【变式训练2-1】设D，E为△ABC所在平面内两点，，＝2，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　B 解析　如图，因为，＝2， 所以，， 所以 ＝)＝. 【变式训练2-2】若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) 答案　C 解析　由题意知||＝7，||＝4，且||＝||， 当，同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3； 当，反向时，||取得最大值，||＝||＝||＋||＝4＋7＝11； 当，不共线时，3＝|||－|||<||<||＋||＝11， 故|| 的取值范围是[3，11]. 【变式训练2-3】已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则 ． 【答案】2 【知识点】余弦定理解三角形、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用 【分析】设、、，作D关于OB对称的点，如图，根据向量的线性运算化简题中的等式为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求出，利用余弦的二倍角公式求出，最后根据计算即可. 【详解】如图，设，则点C在线段OB上运动， 所以， 设，则， 所以， 所以，即， 作D关于OB对称的点，设， 则，所以 在中，，由余弦定理，得 ，又， 所以，得. 故答案为：2 【变式训练2-4】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【答案】2 【知识点】向量减法法则的几何应用、已知模求参数 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】 如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 题型3 共线定理及其应用 例3-1已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当 时，､､三点共线. 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量共线定理的推论 【分析】连结AD，交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出，然后根据，表示成，由共线定理求得参数r的值. 【详解】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且， 则， 又，（），则，， 故，即 若B、M、N三点共线，由共线定理知， ，解得或（舍） 故答案为： 例3-2已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【知识点】余弦定理及辨析、用定义求向量的数量积、向量与几何最值、平面向量共线定理的推论 【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 例3-3在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由向量的线性运算得的关系式，然后由基本不等式得最小值． 【详解】由题意， ， ， 因为在线段上，所以，，， 所以，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【变式训练3-1】已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 答案　D 解析　由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R， 又e1，e2是两个不共线的向量， 故解得λμ＝2. 【变式训练3-2】如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　. 答案　 解析　因为，所以＝3， 因为＝m＝m， 且B，P，N三点共线， 所以m＋＝1，所以m＝. 【变式训练3-3】设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量共线定理的推论 【分析】先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案. 【详解】为所在平面上一点，且实数x、y、z满足 若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾； 假设（不为0），可得，， 向量和共线，点在的边BC所在直线上； 若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线， ， “”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件. 故选：C. 【变式训练3-4】已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且.  若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】由三点共线得出满足的关系，由这个关系求得的最小值即可得结论． 【详解】由题意， 因为在线段上，所以且． 不等式恒成立，即， ，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值不， 所以． 故选：A． 题型4 平面向量基本定理的应用 例4-1（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（    ） A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量基本定理的应用 【分析】时，题干条件变形得到，由向量基本定理得到满足条件的点存在且是唯一；当时，条件变形得到，得到三点共线，与已知矛盾，故（2）为真命题. 【详解】当时，， 所以， 所以， 因为不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点存在且是唯一，①正确； 当时，，即，所以∥， 因为，有公共点，所以三点共线， 这与题干条件是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点不存在， （2）为真命题. 故选：A 例4-2在中，已，为线段上的一点，且满足.若的面积为，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】首先利用平面向量基本定理求得m的值，然后结合题意和均值不等式的结论求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】设，则， 由平面向量基本定理可得，解得， ，令，， 则， ，且，， ， 当且仅当，即，即时等号成立， 即. 故答案为：. 【变式训练4-1】若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　) A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋b C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b 答案　D 解析　A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底. B选项，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共线，不能作为基底. C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为基底. D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底. 【变式训练4-2】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则　　　　. 答案　 解析　由题图可设x(0<x<1)， 则x()＝x ＋x. 因为λ＋μ，与不共线， 所以λ，μ＝x，所以. 【变式训练4-3】（24-25高一下·上海·阶段练习）如图． (1)若，，求的面积； (2)设，若，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，．求证：为定值，并求这个值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，8 【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得，进而求得，由得，结合三角形面积公式可得结果； （2）运用平面向量的线性运算法则可得，根据三点共线即可证明结论. 【详解】（1）由，得， 由得为锐角，故， 又，所以，故， 所以. （2）因为是线段的中点，所以， 又，所以， 所以， 所以， 因为，，所以，， 所以， 因为点、、三点共线，所以，即. 综上，为定值，定值为. 题型5 平面向量的坐标运算 例5-1在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据条件的变化，找出规律，根据规律可得答案. 【详解】把向量顺时针旋转定角得到，得， 关于轴的对称点记为，则，即 把向量顺时针旋转定角得到，得，即 关于轴的对称点记为，则， 以此类推可得当为奇数时，， 当为偶数时，， 故的坐标为. 故答案为： 例5-2已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【变式训练5-1】若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】利用向量运算法则进行求解即可. 【详解】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 故答案为： 【变式训练5-2】已知，，当取最小值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形，求. 【答案】（3，4）或（-1，0）或（1，0） 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】利用向量的模求出最小值时的值，在根据、、、四点构成平行四形，分类讨论分别计算可得． 【详解】解：由题意，， 可得，，，当时，距离最小， 此时，，、、、四点构成平行四形， 若四边形为平行四边形则； 若四边形为平行四边形则，所以；若四边形为平行四边形则，所以； 【变式训练5-3】已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ ()，试求λ为何值时： （1）点P在第一、三象限的角平分线上； （2）点P在第三象限内． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】设点的坐标为，根据向量的坐标表示及运算，得到，，根据，求得. （1）根据题意得到方程，即可求解； （2）根据点在第三象限内，得出 不等式，即可求解. 【详解】设点的坐标为，则， ， 因为，且与不共线， 所以，则. （1）若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得. （2）若点在第三象限内，可得，解得. 【变式训练5-4】在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数.对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，. (1)设，求向量的坐标； (2)对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系； (3)对任意偶数，用表示向量的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用中点坐标公式求出的坐标，再利用向量的坐标公式求解即可； （2）设，，，利用对称性及向量坐标运算得，从而得. （3）利用向量坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式即可化简求解. 【详解】（1）依题意可得，，又，所以； （2）设，，， 则根据题意可得和. 作差得，即. 而，所以. （3）由（2）可得：对任意偶数，有， 所以，，， 累加得， 故. 题型6 向量共线的坐标表示 例6-1（24-25高三上·上海·期中）已知，如果，那么实数的值为 . 【答案】4 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的坐标表示即可. 【详解】由题意得，则. 故答案为：4. 例6-2已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由坐标解决三点共线问题 【分析】由存在使得 ，根据绝对值的运算性质有：，同理对纵坐标也如此运算可证得充分性成立；必要性可举例说明不成立. 【详解】充分性：若存在，使， 即， 则， 故. 故充分性成立； 必要性：取， 则， 则，但是， 所以，则不共线， 所以必要性不成立. 故选：A. 【变式训练6-1】已知向量a＝(3，m)，b，若a∥b，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.9 D.－9 答案　B 解析　因为向量a＝(3，m)，b， 若a∥b，则3×－m，即m＝－1. 【变式训练6-2】已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  答案　(3，3) 解析　方法一　(4，0)，(4，4)，(2，6)， 由O，P，B三点共线，可设λ(4λ，4λ)，λ∈R，则(4λ－4，4λ).又(－2，6)， 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ，所以(3，3)， 所以点P的坐标为(3，3). 方法二　设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即x＝y.又(x－4，y)，(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3). 【变式训练6-3】若三点不能构成三角形，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 【变式训练6-4】（24-25高三上·上海浦东新·期中）若向量，，且，，三点共线，则 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意可得，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】由，，三点共线，向量， 得，即，解得. 故答案为：. 【变式训练6-5】已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标为　　　　　　.  答案　或 解析　因为a＝(1，4)，b＝(2，3)， 所以a－b＝(－1，1)， 因为c∥(a－b)，且|c|＝1，所以c＝±， 又|a－b|，所以c或c＝－. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、由坐标判断向量是否共线、数列不等式恒成立问题 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 3．（2020·上海·高考真题）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为 【答案】6 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由圆的位置关系确定参数或范围、利用坐标求向量的模 【分析】不妨设，，，根据可得的四个不同的轨迹（圆），因此的最大值即为四个不同的圆的任意两者交点的总数. 【详解】根据条件不妨设，，， ， 当，表示圆心为原点，半径为1的圆， ，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示， 当，表示圆心为，半径为1的圆， ，表示圆心为，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示， 由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查向量背景下圆与圆的位置关系，解题的关键是建系后把向量的模的存在性问题转化为圆与圆的交点问题，本题属于难题. 三、解答题 4．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、根据椭圆方程求a、b、c、向量夹角的坐标表示、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 平面向量的概念及线性运算 3 知识点2 平面向量基本定理及坐标表示 4 题型破译 5 题型1 平面向量的基本概念 5 题型2 平面向量的线性运算 6 题型3 共线定理及其应用 7 题型4 平面向量基本定理的应用 8 题型5 平面向量的坐标运算 9 题型6 向量共线的坐标表示 10 04真题溯源·考向感知 11 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）由坐标判断向量是否共线 （2）由向量共线（平行）求参数 单选题 填空题 解答题 第16题由坐标判断向量是否共线 第20题由向量共线（平行）求参数 第5题由向量共线（平行）求参数 / 考情分析：从近几年上海高考情况来看，该部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，分值为 4-5 分，难度较易。有时也会与三角函数、解析几何等知识结合，出现在综合性大题中，难度中等。 复习目标： 1.能够运用平面向量基本定理将平面内的任意向量用给定的基底表示出来，具备选择合适基底解决问题的能力，提高向量分解与合成的思维能力。 2.熟练运用向量的坐标运算解决向量的线性运算问题，能通过坐标运算判断向量的共线关系，并能运用此条件解决相关问题。 3.培养运用向量知识解决几何问题的能力，能将几何图形中的向量关系转化为坐标关系，通过坐标运算求解几何图形中的长度、角度、平行、垂直等问题，实现几何问题与代数问题的相互转化。 知识点1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 4.熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 自主检测若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 知识点2 平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 5.常用结论 (1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为. 6.谨防三个易误点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 自主检测已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 题型1 平面向量的基本概念 例1-1已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 例1-2以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 【变式训练1-1】已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中，一定有 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 【变式训练1-4】如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 题型2 平面向量的线性运算 例2-1在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 . 例2-2设为的外心，若，则的值为 . 【变式训练2-1】设D，E为△ABC所在平面内两点，，＝2，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【变式训练2-2】若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) 【变式训练2-3】已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则 ． 【变式训练2-4】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 题型3 共线定理及其应用 例3-1已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当 时，､､三点共线. 例3-2已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 例3-3在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为 . 【变式训练3-1】已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 【变式训练3-2】如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　. 【变式训练3-3】设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 【变式训练3-4】已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且.  若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 题型4 平面向量基本定理的应用 例4-1（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（    ） A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 例4-2在中，已，为线段上的一点，且满足.若的面积为，，则的最小值为 . 【变式训练4-1】若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　) A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋b C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b 【变式训练4-2】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则　　　　. 【变式训练4-3】（24-25高一下·上海·阶段练习）如图． (1)若，，求的面积； (2)设，若，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，．求证：为定值，并求这个值． 题型5 平面向量的坐标运算 例5-1在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 例5-2已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【变式训练5-1】若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【变式训练5-2】已知，，当取最小值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形，求. 【变式训练5-3】已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ ()，试求λ为何值时： （1）点P在第一、三象限的角平分线上； （2）点P在第三象限内． 【变式训练5-4】在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数.对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，. (1)设，求向量的坐标； (2)对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系； (3)对任意偶数，用表示向量的坐标. 题型6 向量共线的坐标表示 例6-1（24-25高三上·上海·期中）已知，如果，那么实数的值为 . 例6-2已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1】已知向量a＝(3，m)，b，若a∥b，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.9 D.－9 【变式训练6-2】已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  【变式训练6-3】若三点不能构成三角形，则 . 【变式训练6-4】（24-25高三上·上海浦东新·期中）若向量，，且，，三点共线，则 ． 【变式训练6-5】已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标为　　　　　　.  一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 3．（2020·上海·高考真题）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为 三、解答题 4．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$