精品解析：广东省佛山市南海区南海实验中学2023-2024学年上学期八年级数学学情调研卷

南海实验中学2023-2024学年上学期初二数学学情调研卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. x轴上 B. y轴上 C. 第一象限 D. 第二象限 3. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中各坐标对应的点，落在如图所示平面直角坐标系阴影区域内的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 三角形的三边长a，b，c，满足，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能 8. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中的范围正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，将线段平移到线段，，，其中P与是对应点，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. -9 10. 中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点，则n的最小值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：___． 12. 若x，y为实数，且满足，则=_______． 13. 如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA＝MB，BC＝1，则数轴上点A对应的数是______． 14. 如图，把两个一样大小的小长方形沿“水平一竖直”排列在平面直角坐标系的第二象限，已知小长方形周长为8，则点的坐标是_______． 15. 如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它爬行的最短行程是__米． 三．解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17、18题各8分，共24分． 16. 计算： （1） （2） 17. 在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4． （1）写出图中点B的坐标：______；在图中描出点C，并写出C的坐标：______； （2）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于______． 18. 有一个长是宽3倍的长方形过道，其对角线长为． （1）求这个长方形过道的长和宽； （2）用36块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限．  （1）求两点的坐标； （2）是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如下图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，图中，四边形是正方形． （1）请把四边形的面积表示出来． （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 先阅读，再解答∶ 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： （1）的有理化因式是______．化去式子分母中的根号：______．（直接写结果） （2）利用你发现的规律计算下列式子的值： （3）比较与的大小，并写出过程． 23. 回答下列问题 （1）如图1，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． （2）如图2，在中，，以为直角边向外作等腰，其中，，求的长． （3）如图3，在四边形中，，，作于点G，作于点H，若，四边形的面积为49，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海实验中学2023-2024学年上学期初二数学学情调研卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，非完全平方数的平方根，无法化简为整数或分数，是无限不循环小数，仍然是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. x轴上 B. y轴上 C. 第一象限 D. 第二象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征；根据x轴上的点的纵坐标为0，即可求解． 【详解】解：点在x轴上， 故选：A． 3. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解题关键．根据平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴ 4的平方根是， 故选：D． 4. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可． 【详解】解：，，，， 故长度为的线段是， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. 下列选项中各坐标对应的点，落在如图所示平面直角坐标系阴影区域内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别描出四个选项中点的坐标在坐标系中的位置，然后判断即可． 【详解】解：如图所示，点A（1，2），点B（2，0），点C（0，3），点D（-1，-1）， ∴落在阴影区域内的点只有点A（1，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了在坐标系中描点，解题的关键在于能够熟练掌握平面直角坐标系的相关知识． 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 二次根式的运算规则，对每个选项进行计算判断． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据二次根式的性质（），可得，该选项正确，符合题意； C．根据二次根式的性质（），可得，该选项错误，不符合题意； D．根据二次根式乘法法则，可得，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 7. 三角形的三边长a，b，c，满足，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B． 8. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中的范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴即； 故选：C． 9. 已知，，将线段平移到线段，，，其中P与是对应点，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. -9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，关键是根据平移规律解答．根据平移的性质得出平移规律解答即可． 【详解】解：，，将线段平移到线段，，， ，， 即平移规律为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ，， ． 故选：A． 10. 中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点，则n的最小值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出“马”从点P出发到点的路线，进而求解即可． 【详解】如图所示，当点P往右上角方向走“日”字时，n有最小值， 由图象可得，n的最小值为9． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标确定位置；能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：___． 【答案】3 【解析】 【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【详解】解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 12. 若x，y为实数，且满足，则=_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是理解几个非负数的和为0的条件是各自为0．因为，所以可利用非负数的和为0的条件分析求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：8． 13. 如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA＝MB，BC＝1，则数轴上点A对应的数是______． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】通过勾股定理求出线段MB，而线段MA＝MB，进而知道点A对应的数，减去1即可得出答案． 【详解】解：在Rt△MBC中，∠MCB＝90°， ∴MB＝， ∴MB＝＝， ∵MA＝MB， ∴MA＝， ∵点M在数轴﹣1处， ∴数轴上点A对应的数是﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查数轴上的点表示无理数问题，掌握利用勾股定理求线段MA，会利用线段和差求OA是解题关键． 14. 如图，把两个一样大小的小长方形沿“水平一竖直”排列在平面直角坐标系的第二象限，已知小长方形周长为8，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，解题的关键是掌握确定点坐标的方法． 根据小长方形周长为8，可得即可得． 【详解】解：如图 ∵两个一样大小的小长方形沿“水平一竖直”排列在平面直角坐标系的第二象限， ∴B，C，D共线，E，C，F共线，且轴，轴， ∵小长方形周长为8， ∴，， 即， ∴； 故答案为：． 15. 如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它爬行的最短行程是__米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题，，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面， 过P作于G，连接， ∵米，米， ∴（米）． ∴米， ∴（米）． 故这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17、18题各8分，共24分． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式计算二次根式的乘法即可得； （2）先化简二次根式、分母有理化，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4． （1）写出图中点B的坐标：______；在图中描出点C，并写出C的坐标：______； （2）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于______． 【答案】（1），； （2）26 【解析】 【分析】（1）根据B的位置写出坐标即可；描出点C，根据C的位置写出坐标即可； （2）作出A、B关于y轴的对称点即可；根据计算即可． 【小问1详解】 解：观察可知点B的坐标为：；点C的位置如图所示，坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示， ． 故答案为：26． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用分割法求四边形面积． 18. 有一个长是宽3倍的长方形过道，其对角线长为． （1）求这个长方形过道的长和宽； （2）用36块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长． 【答案】（1）长为，宽为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、利用平方根解方程、长方形的性质和勾股定理，熟练掌握二次根式的应用是解题关键． （1）设这个长方形过道的宽为，则其长为，利用长方形的性质和勾股定理建立方程，再利用平方根解方程，由此即可得； （2）设这种地板砖的边长为，根据36块正方形地板砖的面积等于这个长方形过道的面积建立方程，利用平方根解方程即可得． 【小问1详解】 解：设这个长方形过道的宽为，则其长为， ∵其对角线长为， ∴由长方形的性质和勾股定理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：这个长方形过道的长为，宽为． 【小问2详解】 解：设这种地板砖的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：这种地板砖的边长为． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 【答案】（1） 解：学校会受噪声影响，理由如下： 如图，过点作于， ，，， ． 是直角三角形，． ， ， 即， ， 环卫车周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当，时，正好影响学校， ， ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有， 环卫车的行驶速度为：， 答：环卫车的行驶速度为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限．  （1）求两点的坐标； （2）是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 21. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如下图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，图中，四边形是正方形． （1）请把四边形的面积表示出来． （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 由上已得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积为 ， 由（1）已得：四边形的面积为， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、平方差公式与图形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）先求出，，再利用直角梯形的面积公式计算即可得； （2）连接，先根据四边形的面积等于求出四边形的面积，再与（1）的结论建立等式，由此即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【小问2详解】 略 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 先阅读，再解答∶ 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： （1）的有理化因式是______．化去式子分母中的根号：______．（直接写结果） （2）利用你发现的规律计算下列式子的值： （3）比较与的大小，并写出过程． 【答案】（1）， （2）2022 （3） ， ， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法与加减法、分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据和有理化因式的定义即可得；将的分子分母同乘以，由此即可得； （2）将括号内的每一项进行分母有理化，再计算括号内加减法，最后计算二次根式的乘法即可得； （3）将的分母看作为1，再将其分子分母同乘以，的分母看作为1，再将其分子分母同乘以，然后根据即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是． ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 略 23. 回答下列问题 （1）如图1，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． （2）如图2，在中，，以为直角边向外作等腰，其中，，求的长． （3）如图3，在四边形中，，，作于点G，作于点H，若，四边形的面积为49，求的面积． 【答案】（1）5 （2） （3）35 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点A作于点G，交于点F，则，，，证明出，得到，然后利用勾股定理和正方形的面积公式求解即可； （2）过作，交的延长线于，证明，得到，，中，，根据勾股定理即可得到的长； （3）如图，作于点P，交BA的延长线于点Q，则，证明出，得到，，，然后设，根据，得到，求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 如图所示，过点A作于点G，交于点F，则，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴正方形的面积为； 【小问2详解】 如图，过作，交的延长线于， 由（1）同理得：， ，，， 中， ∴， ∵ ∴，， 在中， ； 【小问3详解】 如图，作于点P，交BA的延长线于点Q，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点D在的平分线上， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $