精品解析：湖北省黄石市第十八中学2022-2023学年下学期3月月考八年级数学试卷

八年级下学期数学第一次质量检测 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 2. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A：满足最简二次根式的两个特征，属于最简二次根式，选项符合题意； B：分母中含有根号，不是最简二次根式，选项不符合题意； C：含有开方开得尽的因数，不是最简二次根式，选项不符合题意； D：含有开方开得尽的因数和因式，不是最简二次根式，选项不符合题意； 故答案选A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的概念，最简二次根式有两点，一是分母上不能含有根号；二是不能含有开方开得尽的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 3. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为(　　) A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB ∴△ACD是等腰直角三角形 ∴CD=AD=1 又∵∠B=30° ∴Rt△BCD中，BC=2CD=2 ∴BD= 故选C． 4. 如图，在四边形中，，，，，则（ ）． A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解： 由勾股定理可得： 故选B 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. 若，则x的值可以是（　　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围，进而可得答案. 【详解】解：因为，所以，解得：2≤x＜4. 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式组的解法，明确二次根式中被开方数非负是解题的关键. 6. 有下列各组数：①6，8，；②，，；③，，1；④，，；⑤，，．其中勾股数有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的概念即：能够构成直角三角形三边的正整数，满足． 【详解】解： ，故①是勾股数； ，故②不是勾股数； 、不是正整数，故③不是勾股数； ，故④是勾股数； ，，不是正整数，故⑤不是勾股数； 所以勾股数有①、④，共2组， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数的定义；掌握勾股数是正整数且满足是解题的关键． 7. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ， ， ， ，， ， ， 中，勾股定理得：， ． 故选C． 8. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．首先由正方形的面积是75，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： 所以这个小正方形的周长为：． 故选：D． 9. 已知，化简，的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简． 【详解】∵（a-）2+4=a2+2+=（a+）2，（a+）2-4=a2-2+=（a-）2， ∴原式=； ∵-1＜a＜0， ∴a+<0，a-=>0； ∴原式==-a-+（a-）=-， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 命题“如果，那么”的逆命题是________________________． 【答案】“如果，那么” 【解析】 【分析】本题考查逆命题知识点，解题的关键是准确判断出命题的条件和结论；对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 【详解】题干中原命题条件为：，结论是； 则对应的逆命题条件为：，结论是 “如果，那么|”的逆命题是如果，那么．． 故答案为：“如果，那么” 12. 已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形. 【答案】13或 【解析】 【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答． 【详解】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13； 当12为斜边时，第三条线段长为=； 故答案为13或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论． 13. 某精密仪器一个零件上有一个长方形的孔，其面积为，它的长为，则这个孔的宽为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据面积等于长乘宽，列式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用．解题的关键是掌握二次根式的除法法则，正确的计算． 14. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？(1丈＝10尺)答：原处的竹子还有_____尺高． 【答案】 【解析】 【分析】首先理解题目含义，将竹子的形状转化为直角三角形，三边都表示出即可用勾股定理解题 【详解】根据题意可设原处还有x尺的竹子，这样折断部分的长度可以求得为（10-x）；根据题意可列出方程x2+32=(10-x)2,解得x= 故本题答案为 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将实际问题转换为直角三角形 15. 如图，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是_____． 【答案】- 【解析】 【分析】在RT△BCO中,利用勾股定理求出BO即可知道OA的长得出结论. 【详解】∵BC⊥OC, ∴∠BCO=90°, ∵BC=1,CO=2, ∴OB=OA=, ∵点A在原点左边, ∴点A表示的实数是- 【点睛】此题考查勾股定理，实数与数轴，解题关键在于利用勾股定理解答 16. 已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了，乙往南走了，这时甲、乙两人相距_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意，由于甲往东走了，乙往南走了，所以，，然后利用勾股定理即可求出甲、乙两人相距多少． 【详解】解：如图， 在中，， ∵，， ∴． 所以甲、乙两人相距． 故答案为：． 17. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为_____（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图，解题的关键是：该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，、和的长度满足勾股定理，据此求解． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点， 则，， 连接，则即最短距离， 在直角中， 由勾股定理得： ， 故答案为：． 18. 如图，等腰直角 中，，，为线段上一动点，连接 ，过点作于，连接 ，则的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点G，连接，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可求，由三角形的三边关系可得，当点H在线段上时，可求得的最小值． 【详解】解：如图，取中点G，连接， ∵，点G是中点， ∴， ∵在中，=2，在中，， ∴当点H在线段上时，最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使值最小时点H的位置是本题的关键． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式就可以求出结论； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 四、解答题（本大题共7小题，共58.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数． 根据题意求出、的值，根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， ， 则， 当是等腰三角形的腰时， ， ，2，4不能组成三角形； 当是等腰三角形的腰时， ， ，4，4能组成三角形； 此三角形的周长为． 21. .已知如图，DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，AB＝13，BD＝12. 试求出：（1）∠ADB的度数. （2）求出△ABD的面积. 【答案】（1）∠ADB=90°；（2）30. 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理求出AD，然后利用勾股定理逆定理求解即可； （2）直接利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解：（1）∵DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°， ∴AD=， ∵52+122=169=132，即AD2+BD2=AB2, ∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°. （2）△ABD的面积=. 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，难度不大，熟练掌握基础知识是解题关键. 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为端点画出的线段； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （3）如图3，点是小正方形的顶点，直接写出的度数． 【答案】（1）如图1，见解析；（2）如图2，见解析；（3）∠PNM=． 【解析】 【分析】（1）利用网格问题和勾股定理，即可得到答案； （2）根据题意，利用网格问题和勾股定理，即可得到答案； （3）连接PM，由勾股定理，得到PM=MN，则△PMN是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1： (多种画法） （2）如图2的三角形的边长分别为；（多种法画） （3）如图3，连接PM，由勾股定理得， ∴△PMN是等腰直角三角形， ∴∠PNM= 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 23. 在中，，，，的对边分别为a，b，c． （1）已知，，求a的值； （2）已知，，求a、c的值． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够熟练运用勾股定理进行计算求解． （1）根据题意画出图形，直接根据勾股定理求出a的值即可； （2）设，则，再根据勾股定理求出x的值，进而得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵，即， 解得， ∴，， 即，． 24. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理应用，掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴船向岸边移动了， 答：船向岸边移动了． 25. 已知a＝3＋，b＝3﹣，求下列各式的值： （1）a2b＋ab2； （2）a2﹣b2； （3）a2﹣ab＋b2． 【答案】（1）12；（2）12；（3）30 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式ab，进而分解因式，再把已知数据代入得出答案； （2）直接利用平方差公式分解因式，进而把已知数据代入得出答案； （3）直接利用完全平方公式将原式变形进而把已知数据代入得出答案． 【详解】解：（1）a2b＋ab2 ＝ab（a＋b） 当a＝3＋，b＝3﹣时， 原式＝（3＋）（3﹣）（3＋＋3﹣） ＝（9﹣7）×6 ＝12； （2）a2﹣b2 ＝（a＋b）（a﹣b）， 当a＝3＋，b＝3﹣时， 原式＝（3＋＋3﹣）（3＋﹣3＋） ＝6×2 ＝12； （3）a2﹣ab＋b2 ＝（a﹣b）2＋ab 当a＝3＋，b＝3﹣时， 原式＝（3＋﹣3＋）2＋（3＋）（3﹣） ＝28＋9﹣7 ＝30． 【点睛】此题主要考查了二次根式混合运算，正确将原式变形是解题关键． 26. 我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小_____用“”、“”或“”填空； （2）已知，，求的值； （3）计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解； （2）先求得的值，然后代入即可求解； （3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【小问1详解】 ， ∵ ∴, ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，无理数的大小比较，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期数学第一次质量检测 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 2. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为(　　) A. B. 2 C. D. 3 4. 如图，在四边形中，，，，，则（ ）． A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 5. 若，则x的值可以是（　　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 6. 有下列各组数：①6，8，；②，，；③，，1；④，，；⑤，，．其中勾股数有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 7. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 8. 用四张一样大小长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 已知，化简，的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 命题“如果，那么”的逆命题是________________________． 12. 已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形. 13. 某精密仪器的一个零件上有一个长方形的孔，其面积为，它的长为，则这个孔的宽为___________． 14. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？(1丈＝10尺)答：原处的竹子还有_____尺高． 15. 如图，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是_____． 16. 已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了，乙往南走了，这时甲、乙两人相距_____． 17. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为_____（杯壁厚度不计） 18. 如图，等腰直角 中，，，为线段上一动点，连接 ，过点作于，连接 ，则的最小值为________________． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 19. 计算： （1）； （2）． 四、解答题（本大题共7小题，共58.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 21. .已知如图，DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，AB＝13，BD＝12. 试求出：（1）∠ADB的度数. （2）求出△ABD面积. 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为端点画出的线段； （2）在图2中以格点顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （3）如图3，点是小正方形顶点，直接写出的度数． 23. 在中，，，，的对边分别为a，b，c． （1）已知，，求a的值； （2）已知，，求a、c的值． 24. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 25. 已知a＝3＋，b＝3﹣，求下列各式的值： （1）a2b＋ab2； （2）a2﹣b2； （3）a2﹣ab＋b2． 26. 我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小_____用“”、“”或“”填空； （2）已知，，求的值； （3）计算： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $