安徽省宿州市第二初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年安徽省宿州二中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 式子：；；；；；其中是不等式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.若，则下列各式中，成立的是(    ) A. B. C. D. 3.已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 4.如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点，，在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为(    ) A. B. C. D. 5.已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 6.的三边长，，满足，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 7.如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧交两边于点，，再以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点，作射线，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，和分别是的中线和角平分线，和相交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点以下结论：，，，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是______． 12.如图，在中，，点，，分别在边，，上，若，，则 ______． 13.如图，在中，和的平分线交于点，，，若的面积为，则的面积为______． 14.如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，，，且，求证：． 16.本小题分 定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，求的值． 17.本小题分 如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交干点，交于点求证：． 18.本小题分 如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 19.本小题分 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的倍少，求顶角的度数． 20.本小题分 如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． 求证：是等腰三角形； 用反证法证明不可能是直角三角形． 21.本小题分 在中，，，直线经过点，且于点，于点． 如图，试判断与全等吗？不需写出推理过程 如图，若，，，求证：． 22.本小题分 据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． 若，则______；填“”“”“” 若，，试比较，的大小； 请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午：，哪吒之魔童闹海全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 23.本小题分 在中，，，作等腰，使． 如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； 如图，若与互补，过点作于点，求证：； 若与的面积相等，则的度数为多少？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：；；；是不等式， 共个不等式． 故选：． 根据不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可． 本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：、、、、． 2.【答案】  【解析】解：， 选项，不等式的两边减去，不等号的方向不变，即，不符合题意； 选项，不等式的两边都乘，不等号的方向不变，即，不符合题意； 选项，不等式的两边都乘，不等号的方向改变，，符合题意； 选项，不等式的两边除以，不等号的方向不变，即，不符合题意； 故选：． 根据不等式的性质判断各选项即可． 本题考查了不等式的基本性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数时，不等号的方向改变． 3.【答案】  【解析】解：是等腰底边上的高， 是顶角的平分线， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 故选：． 根据等腰三角形的性质：三线合一，可知也是顶角的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点到直线的距离． 本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质解答． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 证明，再利用直角三角形度角的性质求解． 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是证明． 5.【答案】  【解析】解：， ， ． 故选：． 由，可知，解这个不等式并在数轴表示出来即可． 本题考查在数轴上表示不等式的解集、绝对值，掌握一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：，，， 又， ，解得：， ， 是等腰三角形， 又，， ， 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 故选：． 根据非负数的性质得，由此解出，根据可判定是等腰三角形，然后根据可判定为直角三角形，据此可得出答案． 此题主要考查了等腰直角三角形的判定，非负数的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定，非负数的性质是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】解：以点为圆心，适当长为半径画弧交两边于点，， ， 以为圆心，以为半径画弧，与弧交于点， ， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 根据题意得出为等边三角形，从而得出的度数，再利用角度和差即可求解． 此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及其应用． 8.【答案】  【解析】解：设，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ， 即． 故选：． 设，，，根据得，根据，得，，再根据得，由此得，据此即可得出答案． 此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】解：在中，，， ， 和分别是的中线和角平分线， ，， 是的外角， ． 故选：． 先根据等腰三角形性质及勾股定理求出，再根据和分别是的中线和角平分线得，，然后再根据三角形外角性质得，由此即可得出答案． 此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键， 10.【答案】  【解析】解：由题意，平分，平分， ，． 根据三角形外角性质，，， ，即，故正确． 由，根据三角形内角和定理，， 又， ， 不一定是， ，故错误． 、分别平分和， ，． 根据三角形内角和定理，． 又， ，故正确． 由知，由知． ． 不一定是， ，故错误． 综上，正确的是． 故选：． 依据题意，由平分，平分，可得，，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 本题主要考查考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题时要熟练掌握并能结合图形列出关系式是关键． 11.【答案】  【解析】解：这个不等式的解集是：． 故答案为：． 直接根据数轴写出答案即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 12.【答案】  【解析】解：在中，，， ， ， 是直角三角形， ， 又， ， ， 故答案为：． 根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据，得，，由此得，据此即可得出答案． 此题主要考查了等腰三角形的性质，理解垂直定义，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 13.【答案】．  【解析】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 和的平分线交于点， ，， ， 在中，，的面积为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 过点作于点，于点，于点，根据角平分线性质得，再根据的面积为求出，则，然后根据三角形面积公式可求出的面积． 此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 14.【答案】  【解析】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点， 垂直平分，垂直平分， ， ， ， ， 连接交于点，交于点，连接、，则，， ，， ， ， 此时的周长最小， ， 故答案为：． 作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，则，因为，所以，求得，连接交于点，交于点，连接、，则，，所以，由，可知此时的周长最小，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查轴对称最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15.【答案】证明见解答．  【解析】证明：，， ， 在和中， ， ≌， ． 由，，得，而，，即可根据“”证明≌，则． 此题重点考查垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由新运算的定义可得，， 所以， 解得， 由数轴上表示的解集可知，， 解得． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合不等式解集在数轴上的表示，得出，再求出即可． 本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提． 17.【答案】证明见解答．  【解析】证明：是等边三角形，平分， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ． 由是等边三角形，平分，推导出垂直平分，则，所以，而，即可根据等角的余角相等证明，得，则． 此题重点考查等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质等知识，证明垂直平分是解题的关键． 18.【答案】证明见解答过程．  【解析】证明：平分， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形． 根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 此题考查了等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键． 19.【答案】或．  【解析】解：在等腰三角形中，有一个角比另一个角的倍少， 设该等腰三角形的一个角为，则另一个角为， 再分两种情况讨论如下： 当该等腰三角形的顶角为时，则底角为， 由三角形内角和定理得：， 解得：； 当该等腰三角形的顶角为时，则底角为， 由三角形内角和定理得：， 解得：， ． 综上所述：该等腰三角形的顶角是或． 设该等腰三角形的一个角为，则另一个角为，再分两种情况讨论如下：当该等腰三角形的顶角为时，则底角为，由三角形内角和定理得，由此解出即可得出顶角度数；当该等腰三角形的顶角为时，则底角为，由三角形内角和定理得，由此解出即可得出顶角度数，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 20.【答案】见解析；   不可能，理由见解析．  【解析】证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； 解：不可能，理由如下： 假设是等腰直角三角形， 则， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； 假设是等腰直角三角形，则，由知，则假设不成立． 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． 21.【答案】≌，理由见解析；   见解析过程．  【解析】解：≌，理由如下： ，， ， ， ， 又， ≌； 证明：如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， 又， ≌， ， ， 即． 由可证≌； 由可证≌，可得，即可得结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22.【答案】；   ；   ．  【解析】， ， ， 故答案为：； ，， ， ； 设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； 将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； 设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． 本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 23.【答案】；   证明见解答过程；   或．  【解析】解：在中，，， ， 与互余， ， ， 故答案为：； 证明：过点作于点，如图所示： 在中，，， ，， ， 在中，， 在中，，于点， ， 与互补， ， ， 即， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ； 若与的面积相等，则的度数为或，理由如下： 依题意有以下两种情况： 当与都是锐角三角形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示： ， ，， 与的面积相等， ， ， ，， ， 在和中， ， 和， ， 即； 当是锐角三角形，是钝角三角形时， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ，， 与的面积相等， ， ， ，， ， 在和中， ， 和， ， 即 ， ， 综上所述：若与的面积相等，则的度数为或． 先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案； 过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； 依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即；当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$