精品解析：云南昆明市官渡区昆明经济技术开发区第一中学2025-2026学年度九年级上学期数学期中考试卷

2025-2026学年度九年级上数学期中考试卷 一、单选题（共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，进而得出平移后的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位．再向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得，两边同加 4 得，即． 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【详解】解：由得． A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 6. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格为；第二次降价后的价格为， 即， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 7. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得′，′，结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到′′， ′，′， ′′′． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，熟练掌握旋转和三角形外角的性质进行角度的转化是解题的关键． 9. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 10. 抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴的性质，关键是利用交点坐标求对称轴． 根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的交点关于对称轴对称． 【详解】∵抛物线与x轴的交点是，， ∴这两个点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故选：B． 11. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象性质，先根据点的坐标求出比例系数的值，再根据的符号判断函数图象所在象限． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 根据反比例函数的性质，当时，函数的图象在第二、四象限． 12. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数， 由韦达定理：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率． 13. 在同一坐标系内，函数和的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 14. 若是方程 的一个根，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程根的定义，将所求代数式通过方程变形降次，逐步化简计算． 【详解】解：是方程的根， ，且， ，， 将等式两边同时除以m得，， 则， 原式． 15. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 2.5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 二、填空题（共8分） 16. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程的根与系数的关系求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 17. 二次函数的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质，即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴当时，有最小值为：1； 故答案为：1． 18. 若 是方程的一个根，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】把方程的解代入方程，解新方程即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ， 解得． 19. 已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题（共62分） 20. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； （2）的面积为8． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中的． （1）画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； （2）若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求． （2）与关于轴对称 【解析】 【分析】（1）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后再顺次连接即可； （2）先根据题意得出点A，B，C各点坐标，再根据题意求出各点坐标，然后和的坐标比较即可； 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称． 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如上图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可，即可得到； （2）作出点绕原点O逆时针旋转后得到的，再顺次连接即可，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 25. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （1）求二次函数的解析式； （2）m是二次函数与x轴交点的横坐标，，求M的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的解析式，分式化简求值，完全平方公式的变形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到，求出，进而求出，，然后将整理为，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：经过点，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，即对称轴为直线， ，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 是（1）中所求二次函数与x轴交点的横坐标， ， ， 则，， ． 26. 【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 【答案】（1）等腰直角三角形； （2），证明如下： 将顺时针旋转后得到， ，， 在和中， ， ， ， （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形； （2）略 （3）如图，将逆时针旋转后得到，连接， ，， 是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ． 27. 如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【答案】（1） （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②分两种情况讨论：当时，；当时，过点作于点，则为的中点，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上数学期中考试卷 一、单选题（共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 10. 抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 11. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 12. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 13. 在同一坐标系内，函数和的图象大致为（ ） A. B. C. D. 14. 若是方程 的一个根，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 15. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 2.5 C. 3 D. 2 二、填空题（共8分） 16. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 17. 二次函数的最小值为_______． 18. 若 是方程的一个根，则 ______． 19. 已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 三、解答题（共62分） 20. 解方程：； 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中的． （1）画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； （2）若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 25. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （1）求二次函数的解析式； （2）m是二次函数与x轴交点的横坐标，，求M的值． 26. 【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 27. 如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $