广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年广东省河源市龙川第一实验学校八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 老师在黑板上写了下列式子：；；；；，其中是不等式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.在中，，，的度数是(    ) A. B. C. D. 3.用反证法证明“若，则时”，应假设(    ) A. B. C. D. 4.如果，那么下列正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，，，要根据“”证明≌，则还需要添加一个条件是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.下列命题的逆命题是真命题的是(    ) A. 若，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8.如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 10.如图，是等边三角形，是上一点，于点，为上一点且，连接，垂直平分，交于点，交于点，连接、下列四个结论：是等腰三角形；是等边三角形；；其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在中，，，则______． 12.已知，则 ______用适当的不等号连接． 13.蝶几图是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图蜨，同“蝶”，如图为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形，已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、若，则的度数为______． 14.如图，，和分别平分和，过点且与垂直若，，则的面积为______． 15.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． ； ． 17.本小题分 如图，、分别位于路段、两点的正北处与正南处，现有两车分别从、两处出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达、两地，休整一段时间后又以原来的速度行驶最终同时到达、两点，那么与平行吗？为什么？ 18.本小题分 如图，已知是的外角的平分线，，是的外角的平分线，与相交于点． 求证：是等腰三角形； 若，求的度数． 19.本小题分 如图，在等边中，点在线段的延长线上，点在直线上，且若的边长为，，求的长． 20.本小题分 如图，在中，，点是的中点，连接，，分别交，于点、若，，求的长度． 21.本小题分 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交边于点连接． 若，的周长为，求的长． 若，，求的度数． 22.本小题分 如图，中，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作于． 如图，若，求的度数； 如图，连接，求证：平分； 如图，若周长为，求的长． 23.本小题分 在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． 如图，当动点在边上时，连接，，求证：≌； 如图，当动点是边的中点，判断的形状，并说明理由； 如图，当动点在边上时，求证：；提示：需作辅助线 连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式， 其中常用不等号有：“”或“”或“”或“”或“”， 属于不等式的为：；；，共有个， 故选：． 根据不等式的定义，依次分析即可． 本题主要考查不等式的定义，熟知用“”或“”或“”或“”号表示大小关系的式子，用“”号表示不等关系的式子叫做不等式是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：如图， 在中，， ， ， ， 故选：． 由已知条件判断出、是底角，结合等腰三角形的两个底角相等，可知． 本题考查等腰三角形的性质，由已知条件判断出、是底角是正确解答本题的关键． 3.【答案】  【解析】解：用反证法证明“若，则时”的第一步是假设， 故选：． 根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答． 本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立． 4.【答案】  【解析】解：如果，两边同时加上得，则不符合题意； 如果，两边同时减去得，则不符合题意； 如果，两边同时乘得，则符合题意； 如果，两边同时乘得，则不符合题意； 故选：． 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】 解：条件是， 理由是：，， ， 在和中， ≌， 故选D． 6.【答案】  【解析】解：，是的中线， ， ， ， ， 故选：． 根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论． 本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：、逆命题为若，则，错误，是假命题，不符合题意； B、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意； C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，错误，是假命题，不符合题意； D、逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意． 故选：． 利用不等式的性质、全等三角形的性质、绝对值的意义、垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 8.【答案】  【解析】解：，， ， 由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点， ，所以选项不符合题意； ，所以选项不符合题意； ， ， ， 所以选项不符合题意； ，， ， ， 选项符合题意． 故选：． 利用基本作图得到平分，则可对选项进行判断；利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对选项进行判断． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 9.【答案】  【解析】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：垂直平分，交于点，交于点， ， 是等腰三角形， 故正确； 是等边三角形， ， 是上一点，于点，为上一点且， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 故正确； ，， ， ， 故正确； ，， ， ， 故错误， 故选：． 由垂直平分，得，则是等腰三角形，可判断正确；由等边三角形的性质得，由垂直平分，得，则是等边三角形，可判断正确；再证明，得，可判断正确；由，，昨，所以，可判断错误，于是得到问题的答案． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出及是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】 解：，， ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：， ， ． 故答案为：． 利用不等式的性质得结论． 本题考查了不等式，掌握不等式的性质是解决本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：点与点关于直线对称，， ，， 和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ，即是等腰三角形， ． 故答案为：． 由点与点关于直线对称求出，再由和求出和，进而计算出，最后利用三角形内角和即可求解． 本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：过点作于， ，过点且与垂直， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． ， 故答案为：． 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：已知点的坐标是， ， 是等边三角形， 根据等边三角形的性质可得，，， ， 轴， ， 点的纵坐标为， 同理，，， 点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为， 故答案为：． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的判定与性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 16.【答案】；   ．  【解析】， 不等式两边同时加上，得； ， 不等式两边同时减去，得， 不等式的两边同时乘，得． 根据不等式的性质进行解答即可； 根据不等式的性质进行解答即可 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 17.【答案】解：， 理由：由题意得，， 在与中，， ≌， ， ．  【解析】根据题意可得，，，然后再利用判定≌，进而可得结论． 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件． 18.【答案】平分， ． ， 两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等， 等量代换， 等角对等边， 是等腰三角形；     【解析】证明：平分， ． ， 两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等， 等量代换， 等角对等边， 是等腰三角形； 解：由题意知，， ， 平分， ． ， ， 的度数为． 由角平分线、平行线可得，则，进而结论得证； 由题意知，，则，由角平分线可得由，可知，计算求解即可． 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质．熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 19.【答案】解：过点作于点， 是等边三角形，边长为，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ．  【解析】过点作于点，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 20.【答案】解：，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ．  【解析】根据点是的中点得到，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论． 本题主要考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 21.【答案】解：垂直平分， ，， 又， ， 又的周长，   ， ； ， ， 又垂直平分，   ，  ， ， 又， ，， ．  【解析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式进而可得  ，即可求解； 根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等边对等角进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22.【答案】；   过点作于点，于点，如图所示： 平分，平分，于， ，， ， 点在的平分线上， 平分；   ．  【解析】解：平分，平分， 设，， ，， 是的外角， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ； 证明：过点作于点，于点，如图所示： 平分，平分，于， ，， ， 点在的平分线上， 平分； 解：过点作于点，于点，如图所示： 在和中， ， ≌， ， 同理：≌，≌， ，， ， 即， 的周长为， ， ， ， ， ． 根据角平分线定义设，，则，，根据三角形外角性质得，，即，，由此即可得出的度数； 过点作于点，于点，根据角平分线性质得，，进而得，再根据角平分线性质即可得出结论； 先依据“”判定和全等得，同理可判定和全等，和全等得，，则，再根据的周长为得，进而得，即，据此即可得出的长． 此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23.【答案】证明：是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，即， ，即， 在和中， ， ≌； 解：是等腰三角形；理由如下： 为的中点，是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； 证明：过点作，如图： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ，即， 在和中， ， ≌， ， ； 解：当时，如图： 是的中线， ， 由可知，， ； 当时，如图： ， ， ， 由可知，， ． 综上所述，的长为或．  【解析】由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，即可得≌； 由为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有，知，是等腰三角形； 过点作，证明是等边三角形，可得，，即可证≌，得，从而； 分两种情况：当时，由可知，，可得；当时，由可知，，可得． 本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$