重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 复数加减运算的几何意义（★★★） 3 题型二 复数的乘方运算（★★★★★） 4 题型三 复数范围内方程的根（★★★★） 5 题型四 复数中的新定义问题（★★★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 7 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、复数代数形式的加减法运算的几何意义 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 二、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 题型一 复数加减运算的几何意义 【技巧通法·提分快招】 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 1．（23-24高三下·河南郑州·月考）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则对应的点，满足方程（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（   ） A． B． C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆 5．（24-25高三下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 6．（23-24高三下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 题型二 复数的乘方运算 【技巧通法·提分快招】 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 1．（24-25高三上·河南周口·期中）在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏常州·月考）设复数，则的个位数字是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西·期末）若复数，则= 4．关于复数有以下四个说法： ①             ② ③            ④ 其中正确的序号为 . 5．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 题型三 复数范围内方程的根 【技巧通法·提分快招】 求解复数集上的方程的方法 ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 1．（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 4．已知复数是方程的一个根，则等于（    ） A． B．0 C． D． 5．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 题型四 复数中的新定义问题 1．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·青海海南·模拟预测）（多选题）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 5．（2025·山东·模拟预测）（多选题）定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（    ） A．对任意，都有 B．若是复数的共轭复数，则恒成立 C．若，则 D．对任意，结论恒成立 6．一般地，（多选题）对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知集合，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选题）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·三模）（多选题）已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（    ） A． B．的最小值为2 C． D．的最大值为 6．（2024·河北沧州·一模）（多选题）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为 7．（2024·云南曲靖·二模）已知，若，则 . 8．（2024·广东广州·模拟预测）复数的虚部为 . 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为． (1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由； (2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线． （i）求曲线在平面直角坐标系下的方程； （ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 2．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 3．（2024·湖北襄阳·二模）（多选题）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 4．（23-24高三上·辽宁·开学考试）（多选题）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 5．（24-25高三下·吉林四平·模拟预测）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 复数加减运算的几何意义（★★★） 3 题型二 复数的乘方运算（★★★★★） 6 题型三 复数范围内方程的根（★★★★） 9 题型四 复数中的新定义问题（★★★★★） 11 03 实战检测・分层突破验成效 16 检测Ⅰ组 重难知识巩固 16 检测Ⅱ组 创新能力提升 21 一、复数代数形式的加减法运算的几何意义 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 二、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 题型一 复数加减运算的几何意义 【技巧通法·提分快招】 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 1．（23-24高三下·河南郑州·月考）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 2．若复数满足，则对应的点，满足方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模长公式化简可得答案. 【详解】由题意可得，则， 由可得，即. 故选：B. 3．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（   ） A． B． C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出复数，再结合复数运算及几何意义逐项判断. 【详解】依题意，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，表示点与点的距离为1，其轨迹是以点为圆心1为半径的圆， 则点Z的轨迹的长度为，C错误； 对于D，表示点与定点的距离和为4（大于两定点间距离） 则点Z的轨迹为椭圆，D正确. 故选：ABD 5．（24-25高三下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 【答案】 【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得 . 故答案为： 6．（23-24高三下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可. 【详解】设，， 则， 由，得， 即， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内， 设，，则， 由，得， 整理得，， 则复数对应的点是直线上一点， 又， 所以表示点与点之间的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型二 复数的乘方运算 【技巧通法·提分快招】 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 1．（24-25高三上·河南周口·期中）在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式中通项的特征即可求解. 【详解】由二项式定理得，的通项公式为， 由得，，由得， ∴，， ∵，， ∴的系数为. 故选：C. 2．（24-25高三下·江苏常州·月考）设复数，则的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得，再利用的个位数以为周期，即可求解. 【详解】因为，则，又， 因为， ， 则的个位数以为周期，所以的个位数字是， 故选：C. 3．（24-25高三上·江西·期末）若复数，则= 【答案】 【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果. 【详解】由， 所以，故. 故答案为： 4．关于复数有以下四个说法： ①             ② ③            ④ 其中正确的序号为 . 【答案】②④ 【分析】举特殊值代入可判断A、C，设，代入化简可判断B，设代入化简可判断D. 【详解】对于①，取，，则，， 故，①错误． 对于②，设，，则，，，，则，所以，故②正确． 对于③，不妨取，，则，，， 所以，故不恒成立，③错误． 对于④，设，则，所以， 所以，④正确． 故答案为：②④． 5．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【答案】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则； 若，则，，. 题型三 复数范围内方程的根 【技巧通法·提分快招】 求解复数集上的方程的方法 ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 1．（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理也是方程的一个根，利用韦达定理计算可得. 【详解】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，所以，. 故选：C 2．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 3．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【分析】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出，再利用韦达定理求出，可判断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用判断D选项. 【详解】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 4．已知复数是方程的一个根，则等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得，，代入可得结果. 【详解】∵复数是方程的一个根， ∴，故，， ∴. 故选：A． 5．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式代入计算即得. 【详解】由是方程的3个根，得， 所以 . 故选：B 题型四 复数中的新定义问题 1．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由已知运算和复数的运算化简即可. 【详解】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 2．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】A选项，利用复数模长公式计算出； B选项，利用复数加法法则计算得到； C选项，利用复数乘法法则计算得到； D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数. 【详解】，，， 则，，， 故，正确； ，正确； ， ， 则，错误； ， 若，且，此时为实数， 故错误； 故选：B 3．定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可. 【详解】设复数，若，则，则无解， 所以，将代入，可得， ，即， 所以，解得，所以， 又因为， 设，所以， 所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，从而最大，故B错误； 若，，则， 所以当，或， 时，则，C正确； 若，此时，则，A正确； 若，此时，则，D正确； 故选：B. 4．（2025·青海海南·模拟预测）（多选题）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 5．（2025·山东·模拟预测）（多选题）定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（    ） A．对任意，都有 B．若是复数的共轭复数，则恒成立 C．若，则 D．对任意，结论恒成立 【答案】BD 【分析】根据题中所给定义，结合复数的运算法则，逐一分析判断，即可得答案. 【详解】对于A，根据定义，当时，，故A错误； 对于B，由题意得，所以，故B正确； 对于C，若，则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到，故C错误； 对于D，设，，，则， ， ， 又，， 所以， 即，故D正确. 故选：BD. 6．（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的几何意义确定点的轨迹，结合的几何意义确定其最大值，判断A，求的最小值判断B，由图象确定的范围，结合余弦函数性质证明，判断C，结合复数运算及，判断D. 【详解】因为，， 复数在复平面的对应的点为, 所以点Z在以为圆心、以r为半径的圆上或圆内. 对于选项A，B，由复数的几何意义可得表示点Z与的距离， 又点到点的距离为， 所以的最大值为，A正确， 的最小值为，B正确， 对于C，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，设切点为， 设，则或， 所以，所以，所以C错误. 对于D，设，有（其中是z的辐角的主值）， 由于，所以，所以D正确. 故选：ABD. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可． 【详解】因为，所以其对应点为， 关于直线对称的点为，则， 所以， 故选：C． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解. 【详解】根据题意可得， ，即， 当，时，， ， 当，时，， ， 综上，. 故选：D. 3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知集合，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数. 【详解】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3. 故选：C 4．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选题）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，根据复数与一元二次方程根的关系，可得的关系，即可求得对应的值，逐项分析即可得结论. 【详解】设， 因为为方程的根，且，则， 所以，即， 解得或， 所以，则； ，所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 5．（2024·重庆·三模）（多选题）已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（    ） A． B．的最小值为2 C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的模的计算公式结合二次函数的性质即可判断B；根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断C；根据复数的几何意义得出复数的轨迹即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 当时，取得最小值，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由，得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 故是圆上的点到原点距离，其最大值为，故D正确. 故选：ABD 6．（2024·河北沧州·一模）（多选题）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，点到直线距离公式对选项逐一判断即可. 【详解】根据已知条件表示模长为，在复平面位于轴上方的复数， 所以并不是一个圆，A错误； 若，则方程为一个实数，所以无解，B正确； 若为虚数，且，设，则，，， 所以，C正确； 复数对应的点在直线上，则最小值为： 点到直线的距离，所以最小值为：，D 正确. 故选：BCD 7．（2024·云南曲靖·二模）已知，若，则 . 【答案】 【分析】配方求出一元二次方程的根，得出共轭复数，由模的定义求解即可. 【详解】， ， 故答案为： 8．（2024·广东广州·模拟预测）复数的虚部为 . 【答案】1012 【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解. 【详解】由题意得， 所以， 所以 ， 所以 ， 所以复数z的虚部为1012. 故答案为：1012 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为． (1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由； (2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线． （i）求曲线在平面直角坐标系下的方程； （ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】(1)表示焦点为，长轴为的椭圆 . (2)（i）；（ii) . 【分析】（1）根据复数的模的几何意义和椭圆的定义得解； （2）（i）由（1）的结论，利用三角代换可得点轨迹方程，进而得解； （ii）设直线方程为：，与方程联立，结合韦达定理可得答案. 【详解】（1）设，则， 表示点到距离之和为. 所以点的轨迹为，长轴为的椭圆. （2）（i）由（1），，则：. 因为是上任意一点，所以设, 由题 ， 设点在实平面内的坐标为，, 则. 所以, 又沿向量平移得到曲线， 在平面直角坐标系下的方程为：. （ii）由题，设， 由已知直线的斜率存在，且显然不为零， 可设直线方程为：,由， 消去并化简可得：. 判别式，， 设过三点的圆方程为：. 又,所以，     所以， 因为在椭圆上，所以 所以， 所以 因为,所以，所以,化简得. 由圆的一般方程可知三角形的外接圆的圆心为， 则，又，所以. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 2．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键. 3．（2024·湖北襄阳·二模）（多选题）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C正确； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛： （1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题. （2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值. 4．（23-24高三上·辽宁·开学考试）（多选题）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高三下·吉林四平·模拟预测）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②证明见解析，当且仅当与共线；③证明见解析 【分析】（1）利用定义的复向量的数量积，即可求复向量的模； （2）利用实向量就等价于平面向量的坐标运算，所以可用平面向量的数量积来证明； 复向量的数量积则借助复数的运算，及模的运算来证明即可. 【详解】（1）令． 由已知得，所以 由，可得， 由，可得． （2）①设实向量与的夹角为，则， 因为，所以， 即，当且仅当与共线时等号成立． ②设，（为实数）． ，，． 由①得成立， 当且仅当与共线，即时等号成立． ③设复向量，，， ， 由得． 又因为，， 所以仍然成立． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$