第二章 代数式（复习讲义）数学湘教版2024七年级上册

第二章 代数式（复习讲义） 1.理解并掌握单项式、多项式和整式的概念. 2.能准确地确定单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数和次数. 3.通过丰富的实例，经历观察、讨论、猜想等数学活动，发展有条理的推理能力，合理的语言表达能力，培养独立思考和合作学习的习惯. 教学重点：单项式、多项式和整式的定义及相关概念. 教学难点：单项式的系数、次数和多项式的项、次数. 1、代数式 （1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 （2）代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 2、列代数式 （1）列代数式概念:用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式2 正确列出代数式，要掌握以下几点: ①列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系 ②要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等: ③要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 3、代数式的值 （1）已知字母的值，直接代入求代数式的值 （2）已知式子的值，整体代入求代数式的值 4、单项式 （1）单项式定义 定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. （2）单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：①单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； ②单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； ③对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； ④表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. （3）单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： ①计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； ②单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； ③单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； （4）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 （5）在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 5、多项式 定义： 几个单项式的和叫多项式. 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 6、整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 7、合并同类项 （1）同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项： 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。 b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （3）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 8、去括号 法则:（1）括号前是“十”号,运用加法结合律把括号去掉,原括号里各项的符号都不变； （2）括号前是“一”号,把括号和它前面的“—”号去掉,原括号里各项的符号都要改变. 注意:（1）去掉括号和它前面的“一”号时,不要忘记改变括号内各项的符号; （2）当括号前是一个非“”的因数时,应根据乘法对加法的分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号. 9、整式的加法和减法 实质:合并同类项. 步骤:（1）去括号; （2）合并同类项.注意:为了避免出现错误,几个整式相加减时,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.特别是两个多项式相减时,减数一定要添加括号. 题型一 规范书写含字母的式子 【例1】下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，一般数字因数要放在字母因数的前面，除法要写成分数的形式，带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写规范进行解答即可． 【详解】解：对于选项A，正确的书写为，除法要写成分数形式，不符合题意； 对于选项B，正确的书写为，数字放在字母前面，省略乘号，不符合题意； 对于选项C，书写正确，符合题意； 对于选项D，正确的书写为，带分数要化成假分数，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项错误； B、书写形式正确，故本选项正确； C、正确书写形式为个，故本选项错误； D、正确书写形式为，故本选项错误． 故选：B． 【变式1-2】下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 【详解】解；根据代数式的书写规则可知，只有书写规范，符合题意， 故选：B． 【变式1-3】下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、正确的书写格式是，错误； B、正确的书写格式是，正确； C、正确的书写格式是，错误； D、正确的书写格式是，错误； 故选：B． 题型二 列代数式 【例2】原价为元的衣服打折后以元出售，下列说法中，能正确表示该衣服售价的是(    ) A．原价打4折后再减20元 B．原价减20元后再打4折 C．原价打6折后再减20元 D．原价减20元后再打6折 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式，原价为元的衣服，表示原价打6折，继而可得答案． 【详解】解：原价为元的衣服，表示原价打6折， 所以表示原价打折后再减元， 故选：C． 【变式2-1】一个两位数的十位上的数字是5，个位上的数字是，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题意，可以用含的式子表示这个两位数． 【详解】解：由题意可得， 表示这个两位数的式子是， 故选：B． 【变式2-2】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解． 【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意； B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意； C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意； D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-3】如果1千克苹果的价格为m元，那么3千克苹果的价格为 元； 【答案】 【分析】本题考查了代数式表示式，根据总价单价数量表示即可． 【详解】解：千克苹果的价格为m元， 千克苹果的价格为元， 故答案为：． 【变式2-4】六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，先表示出租用面包车的辆数，然后把租用a辆大巴车和租用辆面包车的费用加起来即可． 【详解】解：租了a辆大巴车，则租了辆面包车， 所以租车总费用为元． 故答案为：． 题型三 代数式求值 【例3】当时，则代数式的值是（　　） A． B．5 C．1 D． 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 依题意，把代入， 得， 故选：B． 【变式3-1】对于有理数，，若规定，则当，时， ． 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据规定列式计算即可． 【详解】解：当，时，， ， 故答案为：9． 【变式3-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了求代数式的值，根据得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：A 【变式3-3】若，则的值是 ． 【分析】本题考查了利用整体代入法求代数式的值，根据可得，把代数式整理，可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3-4】按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查了根据条件求代数式值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值．根据所给程序运算，逐个判断即可． 【详解】解：A．当，时，，不合题意； B．当，时，，不合题意； C．当，时，，不合题意； D．当，时，，符合题意； 故选：D． 题型四 单项式与多项式 四 【例4】下列代数式，，，，， ，0，中，单项式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【详解】解析：，，，0，都符合单项式的定义， 共4个单项式． 故选A． 【变式4-1】单项式的系数、次数是（　　） A．系数是3，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是4 【答案】D 【分析】本题考查单项式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义．根据单项式的定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵单项式的系数是，次数是． 故选：D． 【例4-2】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 【变式4-3】多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念列式求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式， ∴且， 解得． 故选A． 题型五 同类项及合并同类项 四 【例5】下列各对式子中，是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的概念，根据同类项的概念：含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，据此分析即可． 【详解】解：A．和字母不相同，故A错误； B．和字母不相同，故B错误； C．和相同字母的指数不同，故C错误； D．和字母相同且相同字母的指数相同，故D正确； 故选：D． 【变式5-1】下列合并同类项正确的是（    ） ① ；② ；③ ；④；⑤； ⑥ ；⑦ A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦ 【答案】D 【分析】先观察是不是同类项，如果是按照合并同类项的法则合并．本题考查了合并同类项，合并同类项需注意：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同字母的代数项，同一字母指数相同；②“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【详解】解：①不是同类项，不能合并，故错误； ②不是同类项，不能合并，故错误； ③，故错误； ④不是同类项，不能合并，故错误； ⑤，故正确； ⑥，故正确； ⑦，故正确． 综上：⑤⑥⑦正确， 故选：D． 【变式5-2】合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项； （1）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解； （2）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解； （3）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解； （4）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4） 题型六 单项式的规律题型 加法运算五四 【例6】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【解析】 本题主要考查了单项式规律，通过观察题意可得：系数为，次数为，由此可解出本题． 【详解】 解：第1个单项式， 第2个单项式， 第3个单项式， 第4个单项式， 第5个单项式， ， 第个单项式是． 故答案选：B． 【变式6-1】按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（    ）． A． B． C． D． 【解析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 分别从系数、字母的指数两方面找出规律求解． 【详解】 解： ； ； ； ； ， 第个单项式为：． 故选：． 【变式6-2】按一定规律排列的单项式：x则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【解析】本题考查单项式中规律探究问题，观察已有单项式，概括出系数和字母以及指数的变化规律作答即可． 【详解】 解：∵第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， 第4个数：， 第5个数：， …… ∴第n（n为正整数）个数：． 故选：A． 题型七 整式的加减运算 六五四 【例7】 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，先根据去括号法则将括号展开，再合并同类项即可．注意去括号时括号前是负号时要变号． 【详解】解： ． 【变式7-1】计算：． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简，先去括号，再合并同类项即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 【变式7-2】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算． （1）按照合并同类项法则的法则计算即可，合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变， （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据合并同类项，去括号得运算法则，即可求解， 本题考查了整式的加减，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， ， （4）解： ． 题型八 整式加减的化简求值 六五四 【例8】先化简，再求代数式的值，其中，． 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 【变式8-1】先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式8-2】已知，求的值 【分析】本题考查了绝对值的非负性、整式的加减、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据绝对值的非负性求出和，化简代数式，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∵，， ∴，， 解得：，， ， 当，时， ． 题型九 整式加减的新定义运算 六五四 【例9】对于有理数a，b，定义新运算a*b＝3a﹣2b，先化简再求值（x﹣y）*（x+y），其中x＝3，y＝4． 【答案】； 【分析】先根据新定义化简原式，然后代入未知数的值求解即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ； ∵， ∴原式 ． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及到整式加减运算的化简求值问题，理解新定义，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 【变式9-1】定义新运算：满足． (1)当，，化简并按x进行降幂排列． (2)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （2）根据非负数的性质，求出，再代入第（1）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ∴， 把，代入得，． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． 【变式9-2】对于任意实数，，定义一种新的运算公式：，如． （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）-5 【分析】（1）结合题意，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，通过合并同类项计算，即可得到答案． 【详解】（1） ； （2）∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了有理数运算、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、合并同类项的性质，从而完成求解． 基础巩固通关测 1．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 2．下列选项中的两项是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 根据同类项定义逐一判断，即得． 【详解】解：A. 与所含字母不同，不是同类项； B. 与所含字母不同，不是同类项； C. 与是同类项； D. 与所含字母不同，不是同类项； 故选：C 3．某种商品原价元，现打六折促销，促销价可以表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，根据原价元，表示出现打六折促销后的价格即可． 【详解】解：商品原价为元，打六折促销价可以表示为：元． 故选：A． 4．下列四个单项式的系数、次数，正确的是（   ） A．系数为1，次数为3 B．系数为，次数为3 C．系数为1，次数为2 D．系数为，次数为3 【答案】D 【分析】本题考查的是单项式的系数和次数的概念，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数和次数的概念判断即可． 【详解】A、的系数为1，正确；次数为，但选项中写3，错误，不符合题意； B、的系数应为，选项中写，错误；次数为，选项中写3，错误，不符合题意； C、的系数应为，选项中写1，错误；次数为，正确，但整体错误，不符合题意； D、的系数为，正确；次数为，正确，符合题意； 故选：D． 5．若单项式与的差是单项式，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了整式的加减、同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先根据整式的加减可得单项式与是同类项，再根据同类项的定义可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 6．某同学在做一个整式加上时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是，那么正确的答案是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，需正确去括号并合并同类项是解决本题的关键． 先根据错误运算计算出原整式，再根据正确计算作加法求解即可． 【详解】解：设原整式为A， ∵把加上误看成了减去， ∴， 解得， 则正确计算应为： ． 故答案为： ． 7．三个数在数轴上的点的位置如图所示，则= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与绝对值的应用，需根据数轴上点的位置判断大小是解决本题的关键． 先根据数轴上三个数位置判断出a，b，c的大小，再由绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据三个数在数轴上的点的位置可知， ， ∴，， ∴． 故答案为： ． 8．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得解； （2）先去括号，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 9．先化简，再求值：，其中、 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得，再把、分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把，代入，得． 能力提升进阶练 1．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长（）与宽（）之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，铁丝长度为长方形的周长，即， 将方程整理为关于的表达式，得， 故选：D． 2．下列代数式的意义错误的是（ ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是与的差的两倍 C．的意义是与的和除以的商 D．的意义是的三次方，的三倍，与的和 【答案】C 【详解】解：选项A：表示x的2倍与3的和，描述正确； 选项B：表示x与3的差的两倍，即先求差再乘2，描述正确； 选项C：的代数式是x与y的乘积除以2，而选项中描述为“x与y的和除以2”，混淆了“乘积”与“和”，描述错误； 选项D：表示a的三次方、a的三倍与2的和，描述正确； 综上，错误的选项为C， 故选：C 3．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，则输出的是，．．．，则第2024次输出的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时， 第1次的输出结果为， 第2次的输出结果为， 第3次的输出结果为， 第4次的输出结果为， 第5次的输出结果为， 第6次的输出结果为， 第7次的输出结果为， 第8次的输出结果为， ， 从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次， ， 第2024次的结果与第次的结果一样， 第2024次输出的结果是． 故选B． 4．若互为相反数，互为倒数，m的绝对值为2，的值为（     ） A．3 B．0 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、倒数及绝对值的性质，分情况讨论m的取值是解题的关键．根据相反数、倒数和绝对值的性质，分别求出各部分的数值，再代入计算． 【详解】由题意，∵互为相反数， ∴ ∴ 互为倒数，故 的绝对值为2，故或 将上述结果代入原式，得 当时，原式 当时，原式 综上，原式的值为3或． 故选：D． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 6．用牙签按下列图示搭三角形： 照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要 根牙签．（用含n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由图可知，三角形个数为1时，有根牙签； 三角形个数为2时，有根牙签； 三角形个数为3时，有根牙签； 三角形个数为4时，有根牙签； 归纳可得：搭n个这样的三角形需要根牙签； 故答案为： 7．已知与互为相反数，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义和代数式求值，先根据相反数的定义得到a的值，代入，进行计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ∴， 解得：， 当时，， 故答案为：． 8．按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的数字规律变化， 根据分母中a的指数变化规律，及分子中b的系数变化规律，即可得出答案． 【详解】第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子， 第n个式子． 故答案为：． 9．（本题6分）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）因为，且， 所以，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以． 10．如图是一块长方形花园，内部有两个过道，其余部分种植花圃（阴影部分） (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1) (2)17600元 【详解】（1）解：根据题意得， ， 答：花圃的面积是； （2）解：当时，花圃面积为，修建花圃所需费用（元）． 答：修建花圃所需费用为17600元． 11．如图，矩形为公园的一个花圃示意图（阴影部分种花，其他部分种草），其中矩形长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含和的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米 50元，求共需要多少钱？ 【答案】(1) (2)共需要2200元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数四则混合计算的实际应用： （1）用的面积减去的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求，直接代值计算求出阴影部分的面积，再求出空白部分的面积，然后分别求出种花和种草的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， ∴阴影部分面积为； ， ， 元， ∴共需要2200元 12．关于x的算式，当x取任意一组相反数m与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 【答案】(1)①③；② (2)当时，整式值为；当时，整式值为 (3) 【分析】本题考查代数式求值，涉及新定义， （1）根据定义即可判定； （2）分别代入计算即可； （3）、、是“奇代数式”， 分别取，，，，，，，，时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可； 解题的关键是理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并会运用． 【详解】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2）解：当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为； （3）解：∵、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时，它们的和为， 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时 九个整式的值之和是： ， ∴这九个整式的值之和是69． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 代数式（复习讲义） 1.理解并掌握单项式、多项式和整式的概念. 2.能准确地确定单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数和次数. 3.通过丰富的实例，经历观察、讨论、猜想等数学活动，发展有条理的推理能力，合理的语言表达能力，培养独立思考和合作学习的习惯. 教学重点：单项式、多项式和整式的定义及相关概念. 教学难点：单项式的系数、次数和多项式的项、次数. 1、代数式 （1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 （2）代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 2、列代数式 （1）列代数式概念:用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式2 正确列出代数式，要掌握以下几点: ①列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系 ②要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等: ③要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 3、代数式的值 （1）已知字母的值，直接代入求代数式的值 （2）已知式子的值，整体代入求代数式的值 4、单项式 （1）单项式定义 定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. （2）单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：①单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； ②单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； ③对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； ④表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. （3）单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： ①计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； ②单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； ③单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； （4）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 （5）在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 5、多项式 定义： 几个单项式的和叫多项式. 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 6、整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 7、合并同类项 （1）同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项： 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。 b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （3）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 8、去括号 法则:（1）括号前是“十”号,运用加法结合律把括号去掉,原括号里各项的符号都不变； （2）括号前是“一”号,把括号和它前面的“—”号去掉,原括号里各项的符号都要改变. 注意:（1）去掉括号和它前面的“一”号时,不要忘记改变括号内各项的符号; （2）当括号前是一个非“”的因数时,应根据乘法对加法的分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号. 9、整式的加法和减法 实质:合并同类项. 步骤:（1）去括号; （2）合并同类项.注意:为了避免出现错误,几个整式相加减时,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.特别是两个多项式相减时,减数一定要添加括号. 题型一 规范书写含字母的式子 【例1】下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【变式1-2】下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 列代数式 【例2】原价为元的衣服打折后以元出售，下列说法中，能正确表示该衣服售价的是(    ) A．原价打4折后再减20元 B．原价减20元后再打4折 C．原价打6折后再减20元 D．原价减20元后再打6折 【变式2-1】一个两位数的十位上的数字是5，个位上的数字是，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】如果1千克苹果的价格为m元，那么3千克苹果的价格为 元； 【变式2-4】六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是 元． 题型三 代数式求值 【例3】当时，则代数式的值是（　　） A． B．5 C．1 D． 【变式3-1】对于有理数，，若规定，则当，时， ． 【变式3-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，则的值是 ． 【变式3-4】按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四 单项式与多项式 四 【例4】下列代数式，，，，， ，0，中，单项式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式4-1】单项式的系数、次数是（　　） A．系数是3，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是4 【例4-2】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（    ） A． B．4 C．2 D．4或 题型五 同类项及合并同类项 四 【例5】下列各对式子中，是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】下列合并同类项正确的是（    ） ① ；② ；③ ；④；⑤； ⑥ ；⑦ A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦ 【变式5-2】合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 单项式的规律题型 加法运算五四 【例6】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】按一定规律排列的单项式：x则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 题型七 整式的加减运算 六五四 【例7】 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】化简： (1)； (2)． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 整式加减的化简求值 六五四 【例8】先化简，再求代数式的值，其中，． 【变式8-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式8-2】已知，求的值 题型九 整式加减的新定义运算 六五四 【例9】对于有理数a，b，定义新运算a*b＝3a﹣2b，先化简再求值（x﹣y）*（x+y），其中x＝3，y＝4． 【变式9-1】定义新运算：满足． (1)当，，化简并按x进行降幂排列． (2)若，求第（2）问中的值． 【变式9-2】对于任意实数，，定义一种新的运算公式：，如． （1）计算：； （2）已知，求的值． 基础巩固通关测 1．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．下列选项中的两项是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．某种商品原价元，现打六折促销，促销价可以表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．下列四个单项式的系数、次数，正确的是（   ） A．系数为1，次数为3 B．系数为，次数为3 C．系数为1，次数为2 D．系数为，次数为3 5．若单项式与的差是单项式，则 ． 6．某同学在做一个整式加上时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是，那么正确的答案是 ． 7．三个数在数轴上的点的位置如图所示，则= ． 8．化简 (1) (2) 9．先化简，再求值：，其中、 能力提升进阶练 1．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长（）与宽（）之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 2．下列代数式的意义错误的是（ ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是与的差的两倍 C．的意义是与的和除以的商 D．的意义是的三次方，的三倍，与的和 3．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，则输出的是，．．．，则第2024次输出的结果是（   ）    A． B． C． D． 4．若互为相反数，互为倒数，m的绝对值为2，的值为（     ） A．3 B．0 C． D．3或 5．若，则的值为 ． 6．用牙签按下列图示搭三角形： 照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要 根牙签．（用含n的代数式表示） 7．已知与互为相反数，则代数式的值是 ． 8．按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是 ． 9．（本题6分）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求式子的值． 10．如图是一块长方形花园，内部有两个过道，其余部分种植花圃（阴影部分） (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 11．如图，矩形为公园的一个花圃示意图（阴影部分种花，其他部分种草），其中矩形长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含和的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米 50元，求共需要多少钱？ 12．关于x的算式，当x取任意一组相反数m与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$