4.2.1 定义、命题&4.2.2 证明、举反例&4.2.3 定理、推论-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

因为∠FBC=90°， 所以∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15=75 (2)因为∠B=60°，∠BAC=90°，所以∠C=30°， 因为AE∥BC,所以∠CAE■∠C=30°， 所以∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75° 12.解：因为，∠1=180°-∠AMN,∠2=180-∠ANM, 所以∠1+∠2=360°-（∠ANM+∠AMN), 又因为∠ANM十∠AMN=180°-∠A=120°， 所以∠1十∠2=240° 13.解：(1)∠1=2∠A (2)∠1+∠2=2∠A (3)∠2-∠1=2∠A.理由如下： 因为∠2=∠AFE十∠A,∠AFE=∠A'十∠1， 所以∠2=∠A'+∠1+∠A. 由折叠，得∠A=∠A', 所以∠2=2∠A+∠1， 所以∠2-∠1=2∠A. 4.2命题与证明 4.2.1定义、命题 1.C 2.解：(1)不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形 叫作三角形， (2)分子与分母设有公因式的分式叫作最简分式， 3.C4.B 5.解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. (2)如果两个角互余，那么这两个角的和一定为直角。 6.如果a|=|b,那么a=b 7.如果在三角形中有两个角是锐角，那么另外一个角是铂角 8.解：(1)(4)(5)是命题，(2)(3)不是命题. 1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交 (4)如果两个角相等，那么它们的补角也相等， 逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等 (5)如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1. 逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数 4.2.2证明、举反例 1.D2.2(答案不唯一)3.B 4.解：aba6+be ac ab十ac5,C6.B 7.证明：假设所有相邻的3个数，它们的和都小于33，即它们的 和小于等于32，所以这21个数的和小于等于32×21÷3= 224.但是1+2+3+…+21=(1+21)×21÷2=231>224， 所以假设不成立，则命题得证. 4.2.3定理、推论 1.C2.两直线平行，内错角相等 3.解：a仍垂直的定义∠2同位角相等，两直线平行 变式题解：已知：如图，a%,b∥c. 求证：ac. 证明：知图，作直线m分别与直线a,b,c 相交. 因为a∥b,所以∠1=∠2. 因为，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以a 4.解：(1)证明：因为DE∥AB,DF∥AC, 所以，∠FAD=∠EDA,∠EAD=∠FDA, 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠EAD=∠FAD,所以，∠EDA=∠FDA, 所以DO是，∠EDF的平分线. (2)所得余题是真命题，选择真命题：若DO是∠EDF的平分 线，DE∥AB,DF∥AC,AD是∠CAB的平分线. 证明：因为DE∥AB,DF∥AC 所以∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF 因为DO是∠EDF的平分线， 所以∠EDA=∠ADF,所以∠EAD=∠DAB, 所以AD是∠CAB的平分线， 4.3全等三角形 4.3.1认识全等三角形 1.C2.C3.3 4.解：因为∠A=85,∠B=60°， 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=3S 因为△ABC2△DEF,AB=8, 所以，∠F=∠ACB=35”,DE=AB=8 因为EH=3,所以DH=8一3=5. 5.D6.30° 7.解：(1)证明：因为△BAD2△ACE 所以BD■AE,AD■CE 又因为A,D,E三点在可一条直线上， 所以AE=DE十AD,所以BD=DE十CE (2)△ABD满足∠ADB=90"时，BDCE. 里由：因为，∠ADB=90,所以∠BDE=90” 又因为△BAD2△ACE,所以∠ADB=∠E=90°， 所以∠E=∠BDE,所以BD∥CE. 4.3.2全等三角形的判定定理{边角边)】 1.C2.C3.D4.△BAD SAS 5.证明：因为∠BAE=∠CAD, 所以∠BAE+∠CAE=∠CAD十∠CAE, 即∠BAC=∠EAD. (AB=AE. 在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EAD, AC-AD, 所以△ABC2△AED(SAS). 6.57.①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 8.C9.B10.B11.55°12.82 13.证明：(1)因为AB∥DE,所以∠A=∠D 因为AF=DC,所以AF+CF=DC十CF, 所以AC=DF, (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D AC=DF, 所以△ABC2△DEF(SAS. (AB-DE. (2)在△ABF和△DEC中，∠A=∠D, AF=DC. 所以△ABF2△DEC(SAS),所以∠ABF=∠DEC. 因为△ABC2△DEF,所以∠ABC=∠DEF, 所以∠ABC-∠ABF=∠DEF-∠DEC, 所以∠CBF=∠FEC 14.解：(1)(6-2t) (2)△BPD2△CQP,理由如下： 由题意，得a=2, 所以当t=1时，PB=CQ=2, 所以PC=6一2=4 上册参考答案 1874.2命题与证明 4.2.1定义、命题 香园 1.对一个概念的会义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义， 2.一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈遂句）叫作命题.命题通常写成“如果…，那么…”的形式，其 中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论 3.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为 互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题 总课内基础练 (2)互余的两个角的和一定为直角. 知识点①定义 1.下列语句中，属于定义的是 A.对顶角相等 知识点③ 互逆命题 B.锐角都小于钝角 6.已知命题：如果a=b,那么a|=b.该命题的 C.同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 逆命题是 D.任何一个三角形一定有直角 7,命题“如果三角形中有一个角是钝角，那么另外 2.请写出下列概念的定义： 两个角是锐角”的逆命题是 (1)三角形.(2)最简分式. 课外拓展练 8.下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如 果…那么…”的形式，并写出它的逆 知识点② 命题 命题 3.命题“如果a2=b2,那么a=b或a十b=0” (1)两条直线相交只有一个交点. 的结论是 (2)延长线段AB至点C,使B是AC的 A.a2=b2或a=bB.a2=b 中点 C.a=b或a十b=0D.a2=b2或a十b=0 (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ (4)等角的补角相等。 4.(2024一2025岳阳湘阴期中)下列语句中不 (5)互为倒数的两个数的积为1. 是命题的是 A.两点之间，线段最短 B.连接A,B两点 C.两直线与第三条直线相交，同位角相等 D.不平行的两条直线有一个交点 5.将下列命题改写成“如果…，那么…”的 形式。 (1)对顶角相等. 58 八年级数学X版 4.2.2证明、举反例 恋y复固提园 1.如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题：如果一个命题叙述的事情是服的，就说它是假命題， 2.判定假命题：一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，即可判 断该命题为假命题，这种做法称为荣反创。 3.判定真命题：①从命题的条件出发，运用定义，基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计 算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明：②先假设命题不成立，然后利用命题的条仲 或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成主，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证 法，其基本的思路可归结为“服设命题不成立，导出矛盾，肯定结论” 已课内基础练 ⊙课外拓展练 知识点① 举反例 5,能说明“锐角α与锐角3的和是锐角”是假命 1.要说明命题“如果|a>5,那么a>5”是假命 题的例证图是 ) 题，可以举的一个反例是 9 A.a=5 B.a=-5 C.a=6 D.a=-6 A B 2.请举反例说明“对于任意实数x,x2一9的 6.下列四个命题中，真命题有 值总是正数”是假命题.你举的反例是x ①两条直线被第三条直线所截，内错角 (写出一种情况即可). 相等； 知识点②证明与反证法 ②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2； 3.(教材变式)用反证法证明命题“三角形的内角 ③三角形的一个外角大于任何一个内角： 中至少有一个角不大于60”时，应假设( ④如果x<0,那么x3<0. A.三个内角都不大于60 A.1个 B.2个C.3个D.4个 B.三个内角都大于60 7.用反证法证明：将自然数1,2,3，…，21这21 C.三个内角中至多有一个角大于60 个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的 D.三个内角中至多有一个角不大于60 3个数，它们的和不小于33. 4.过程补充题证明：如果a>b>0,c<0,那么 a2+bc>ab+ac. 请将下面的证明过程填写完整： 证明：因为a>b>0, 所以a2> 所以a2十bc> 因为a>b,c<0. 所以bc> 所以ab十bc> 所以a2+bc>ab十ac 上册第4章 59△ 4.2.3 定理、推论 意段固提园 1经过证明为真的命题叫作定理，由某定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论 2.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么扰叫它是原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 3.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件：第二步， 根据命题的结论写出求证，第三步，从命题的条件出发或者运用反证法，结合定义、基本事实以及定理进行 逻辑推理、计算，得出需要求证的结论， 课内基础练 已课外拓展练 知识点① 定理与逆定理 4.如下图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 1.命题“三角形的内角和等于180”是( 线，DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O. A.假命题 B.定义 (1)求证：DO是∠EDF的平分线. C.定理 D.基本事实 (2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是 2.定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是 ∠BAC的平分线"“DE∥AB”或“DF∥AC”中 的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若 知识点② 证明与图形有关的命题 是，请选择一个证明；若不是，请说明理由。 3.过程补充题将下面命题的证明过程补充 完整 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的 两直线平行. 已知：如右图，直线a⊥c,b⊥c 求证： 证明：因为a⊥c,b⊥c(已知)， 所以∠1=90°，∠2=90° C. ( 所以∠1= (等量代换)， 所以ab( 变式题证明：在同一平面内，平行于同一 直线的两条直线也平行. 八年级数学X划版