12.6等腰三角形（第1课时等腰三角形的性质1—等边对等角）（教学课件）数学北京版2024八年级上册

北京版2024·八年级上册 三、等腰三角形与直角三角形 12.6等腰三角形 第一课时等腰三角形的性质1—等边对等角 第十二章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解等腰三角形的定义和构成要素 掌握"等边对等角"的性质定理 能运用性质进行角度计算和简单证明 知识回顾 回顾三角形的分类（按边分类） 定义：满足什么条件的三角形是等腰三角形？ 有两条边相等的三角形 A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 情境导入 "设计师要制作一批对称的三角形领结，要求两边长度相等。如果顶角设计为100°，那么底角应该设计多少度才能保证对称美观？ 情境导入 等腰三角形由于造型美观，因此在建筑上有着广泛的应用.比如，北京的故宫博物院,巴黎的卢浮宫B 的玻璃金字塔 这些结构中都有造型美观的等腰三角形 新知探究 1.等腰三角形的定义 问题 1：观察图 12 - 39（等腰三角形ABC ），什么样的三角形是等腰三角形？ 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰（AB = AC），另一边叫底边（BC ），两腰夹角叫顶角（∠A），腰与底边夹角叫底角（∠B、∠C） 腰 腰 底 顶角 底角 底角 新知探究 1.等腰三角形 实践与操作 一个平面的五角星里面有许多等腰三角形.下面通过折纸条的方法画一个五角星，并进行观察. 先裁一张宽窄一样的纸条，照图12-42的顺序打一个纸结，然后拉紧、压平；把它的五个顶点描在纸上，将不相邻的两个点用线段连接，便得到一个五角星. 新知探究 1.等腰三角形 图12-43 图12-42 请你通过测量和观察，指出图12-43中的五角星中一共有多少个等腰三角形. 五个 新知探究 2.等腰三角形的性质 实物操作： 1.如图,用一张长方形纸片对折、剪开，展开后就得到等腰三角形. 可以看出，折痕两侧的部分完全重合.因此可以判断，等腰三角形是一个轴对称图形，它的两个底角相等. 新知探究 2.等腰三角形的性质 利用图形计算器，也可以直观地看到：不同形状的等腰三角形，它的两个底角的度数都相等，如图. ∠ABC=65.05° ∠ACB=65.05° ∠A'BC=56.26° ∠ACB=56.26° ∠A"BC=44.19° ∠A"CB=44.19° ∠A"BC=21.25° ∠A"CB=21.25° 新知探究 2.等腰三角形的性质 理论验证： 已知：如图12-46,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 图12-46 问题 1：怎么构造全等三角形，证明∠B=∠C？ 作顶角平分线AD（或底边上的中线、底边上的高 ），把等腰三角形分成两个三角形（∠BAD和∠ CAD），通过证明全等，得出角相等。 新知探究 2.等腰三角形的性质 理论验证： 已知：如图12-46,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 图12-46 问题 2：证明全等的条件有哪些？为什么选SAS？ 已知：AB=AC（已知） ∠BAD=∠CAD（角平分线的定义） AD=AD（公共边） SAS 新知探究 2.等腰三角形的性质 理论验证： 已知：如图12-46,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 图12-46 证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D. AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴ △BAD≌△CAD(SAS) ∴ ∠B=∠C. 你还有其他证明 方法吗? 新知探究 2.等腰三角形的性质 A B C 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法二：作底边上的中线 D 新知探究 2.等腰三角形的性质 归纳小结 由此得出等腰三角形性质定理1: 等腰三角形的两个底角相等(简记为：等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 问题 1：等腰三角形中，已知顶角∠A，怎么求底角？依据是什么？ 典例解析 例1 已知：如图12-47,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.求∠B,∠C分别等于多少度. 图12-47 依据 “等边对等角”∠ B =∠C，再结合三角形内角和180°。 等边对等角 AB=AC ∠ B =∠C==30° 问题 2：如果已知底角，怎么求顶角？公式怎么变？ 典例解析 例1 已知：如图12-47,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.求∠B,∠C分别等于多少度. 图12-47 顶角 = 180° - 2×底角（因为两底角相等 ）， 体现 “等边对等角” 和 “内角和” 的综合应用。 典例解析 例1 已知：如图12-47,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°.求∠B,∠C分别等于多少度. 图12-47 解：∵在△ABC中，AB=AC, ∴ ∠B=∠C(等边对等角). 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,∠A=120°, ∴ ∠B+∠C=180-120° ∴ 2∠B=60°. ∴∠B=30°,∠C=30°. 等腰三角形的性质 三角形内角和定理 典例解析 例2 如图，在中，，点 在上，且. 求 各角的度数. 解：， ， ， . 设 ，则 . . 在中， ， 即，解得 . ， . 找已知等量关系 运用等腰三角形性质 三角形内角和定理 课堂练习 1．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( ) A．40°　 B．60° C．80°　 D．100° 2．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是( ) A．14　 B．23 C．19　 D．19或23 D D 课堂练习 3．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝　 　度．  　80　 第4题图 4.如图，在中， ， ，的垂直平分线分别交 ， 于点，，则 ______. 课堂练习 5.如图，在中，是上一点， ， ， ，求 的度数. 解： ， . ， , . ， . . . 课堂练习 6．一个等腰三角形的边长分别是4 cm和7 cm，求它的周长． 解：①当腰长是4 cm，底边长是7 cm时，能构成三角形， 周长＝4＋4＋7＝15(cm)； ②当底边长是4 cm，腰长是7 cm时，能构成三角形， 周长＝4＋7＋7＝18(cm)． 故三角形的周长为15 cm或18 cm． 课堂练习 7.如图，在 中， ， .求和 的度数. 解： ， . ， . ， . 课堂练习 8.如图，在中， ，现将三角形的一个角沿 折 叠，使得点落在边上的点处.若是等腰三角形，则 的 度数为( ) C A. B. C. D. 课堂总结 知识框架： 等腰三角形定义：两腰相等 性质定理：等边对等角 实践发现：五角星中的等腰三角形 方法归纳： 几何证明思路： 找已知等量关系 构造全等三角形 利用对应角相等 感谢聆听! $$