精品解析：河北省廊坊市安次区廊坊市第十中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年河北省初中学业水平考试 数学模拟试卷（二） 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列角中，可能与角互余的是（　　） A. B. C. D. 2. 立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是．若小红跳出，记为，则珍珍跳出，应记为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，小明和小丽分别在四边形和六边形的人工湖边散步，两人各走完一圈后发现两人转过的角度相同，能够解释这一现象的是（ ） A. 多边形的内角和与边数无关，为定值 B. 多边形的内角和与边数有关 C. 多边形的外角和与边数无关，为定值 D. 以上都不对 5. 如图所示的几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体的主视图与俯视图的面积和是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 已知，则满足条件的所有整数的和为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如果一个数，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（ ） A. 56 B. 82 C. 94 D. 126 8. 《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A. B. C. D. 9. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：为的中点， ， （①）， ． 同理可得，， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图1，与满足，，，，我们称这样两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．已知甲、乙两个显示屏上的初始数字分别为8，5，将它们按“冰雹猜想”同步进行次运算后，若屏幕上显示的数字相差2，则（　　） A. （为正整数） B. （为正整数） C. （为正整数） D. （为正整数） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图是石家庄2024年国庆节7天的最低气温的统计结果，这7天最低气温的中位数是________． 14. 若点满足，写出一个满足条件的点的坐标：________． 15. 已知反比例函数与，当时，最小值为，的最小值为，则的值是_____． 16. 如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 点在数轴上的位置如图所示，分别表示数． （1）当时，求之间距离； （2）若点在数轴上表示的数为，且点在点的右侧，求满足条件的的正整数值． 18. 嘉淇报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择： 径赛项目：（分别用表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用表示）． （1）嘉淇从4个项目中任选一个，选中跳高可能性 选中的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）； （2）嘉淇从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求选中的两个恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 19. 图是三张写有整式的卡片，小明发现之间满足两个整式相加等于第三个整式，但中一个单项式不小心被墨水污染了． （1）嘉嘉推测，淇淇推测，请你判断他们的推测是否正确，并说明理由； （2）得到中被污染的单项式后，求时整式的值． 20. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）． （1）求斜坡BC的长； （2）求这棵大树CD的高度（结果取整数）． （参考数据：sin≈，cos≈，tan≈，≈1.73） 21. 石家庄市打造的环城绿道全长101公里，依托滹沱河、环城水系等优质景观资源，为市民提供了景美、智游、畅达的城市绿道健身体系．甲、乙两人一起从环城绿道某地出发同向同速骑行，乙中途停车整理装备用了4分钟，然后继续骑行，追上甲后再一起骑到终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）的部分函数图象如图所示： （1）求甲的骑行速度； （2）求乙整理完装备后到追上甲的过程中与的函数解析式，并写出的取值范围； （3）已知甲、乙两人之间的距离不超过千米时，可以通过某通信设备随时联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以通过该设备联系到甲． 22. 两个等腰直角三角形和初始叠放在一起（点在边上，点在边上），分别是斜边的中点，．将绕顶点逆时针旋转一周． （1）如图1，连接，，求证：； （2）请直接写出旋转过程中点，距离的最大值和最小值； （3）将从初始位置绕顶点逆时针旋转一定角度后，点在同一条直线上（如图2所示）．嘉淇认为此时点也在同一条直线上，请你通过说理判断他说的对不对，并求． 23. 在等边三角形中，，是边上的一个动点（不与点，重合），点随着点的运动在边上运动，且始终保持是的外接圆． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，当圆心在边上时，求弦和的长； （3）求点到边的最短距离． 24. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3． （1）求的值； （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于的部分函数图象，如图2所示． ①请你补全函数图象，并求时函数图象最低点的坐标； ②若关于的方程（为实数）在时无解，求的取值范围； ③在函数图象上有点（与不重合），点的横坐标为，点与点到直线的距离相等．小明对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试 数学模拟试卷（二） 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列角中，可能与角互余的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握互余的两个角的度数之和为．根据互余的两个角的度数之和为，结合图形可得出答案． 【详解】解：与角互余的是， 选项中是的只可能是选项B， 故选：B． 2. 立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是．若小红跳出，记为，则珍珍跳出，应记为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，关键是掌握正数和负数实际意义．由正数和负数表示的实际意义，即可得到答案． 【详解】解：， 即珍珍的成绩比满分标准低， ∵若小红跳出，记为， ∴珍珍的成绩应记为． 故选：A． 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算公式是解题的关键．分别利用合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：A中，和不是同类项，不能合并，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项正确，故符合题意； D中，，故选项错误，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图，小明和小丽分别在四边形和六边形的人工湖边散步，两人各走完一圈后发现两人转过的角度相同，能够解释这一现象的是（ ） A. 多边形的内角和与边数无关，为定值 B. 多边形的内角和与边数有关 C. 多边形外角和与边数无关，为定值 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，两人在沿着人工湖散步时，身体共转过的度数恰好为多边形的外角和，即，它与多边形的边数无关，据此可得答案． 【详解】解：两人在沿着人工湖散步时，身体共转过的度数恰好为多边形的外角和，即，它与多边形的边数无关， 故选：C． 5. 如图所示的几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体的主视图与俯视图的面积和是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．主视图是从物体的前面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图． 【详解】解：主视图： 俯视图： ∵几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的 ∴该几何体主视图与俯视图的面积和是． 故选：B． 6. 已知，则满足条件的所有整数的和为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．首先确定和的范围，然后可得整数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴则满足条件的所有整数为，， 和为， 故选：D． 7. 如果一个数，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（ ） A. 56 B. 82 C. 94 D. 126 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，首先化简，再看四个选项中，能够整除8的即为答案．理解“奇差数”的定义，正确化简是解题关键． 【详解】解：， “奇差数”是8的倍数， A，，能够被8整除，因此56是“奇差数”； B，，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”； C，，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”； D，，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”； 故选：A． 8. 《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查函数的图象，正确理解题意是解题关键．根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），水位不变，玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】解：由题意，水缸中的水开始不变，玩耍的孩童落入水缸中，水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，此时水位会迅速下降 由分析得：比较符合故事情节． 故选：C． 9. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上高 A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法．根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角，利用底角先作底边，过另一底点作一个角等于已知角； 图2对应是①已知底边长和腰长，先作底边，再过两底点作线段等于腰长； 图3对应的是③已知底边长和底边上的高，先作底边，再作底边的垂直平分线，截取高； 其对应顺序正确的是②①③， 故选：D． 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：为的中点， ， （①）， ． 同理可得，， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．利用为的中点，得出，利用可证，得出．同理可得，即可证明． 【详解】证明：为的中点， ， ， ． 同理可得，， 四边形是平行四边形． 故答案为：，． 11. 如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．已知甲、乙两个显示屏上的初始数字分别为8，5，将它们按“冰雹猜想”同步进行次运算后，若屏幕上显示的数字相差2，则（　　） A. （为正整数） B. （为正整数） C. （为正整数） D. （为正整数） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数的规律探索，根据新定义依次计算出各次数运算的结果，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：经过1次运算后得到，即为，相差； 经过2次运算后得到，即为，相差； 经过3次运算后得到，即为，相差； 经过4次运算后得到，即为，相差2； 经过5次运算后得到，即为，相差1； 经过6次运算后得到，即为，相差3； 经过7次运算后得到，即为，相差2； ……， 发现规律：从第次开始，依次以的规律循环， 则相差2的是第次运算， 即运算次数（为正整数）， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图是石家庄2024年国庆节7天的最低气温的统计结果，这7天最低气温的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，先把数据按着大到小或者小到大进行排序，位于中间位置的数为中位数，如果中间数据有两个，那么取它们的平均数为中位数，即可作答． 【详解】解：观察图中的数据： 则位于中间位置的数为 ∴这7天最低气温的中位数是． 故答案： 14. 若点满足，写出一个满足条件的点的坐标：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x等于一个数值，代入得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键． 【详解】解：等式两边都乘以，得， 令，则， ∴点Q的坐标为， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知反比例函数与，当时，的最小值为，的最小值为，则的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．根据反比例函数在上的增减性，可得，，即可求得，的值． 【详解】对于反比例函数，当时，的最小值为， 当时，， 即， 对于反比例函数，当时，的最小值为， 当时，， ， 解得， ． 故答案为：3． 16. 如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质等等，连接，过点O作于E，交于D，由轴对称的性质得到一定共线，且，则，利用勾股定理求出，则，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作于E，交于D， ∵图②是一个轴对称图形， ∴一定共线，且， 在中， ， ∴， 由正方形的性质可得， ∴， 又∵（平行线间间距相等）， ∴， ∴中间正方形的中心O到直线l的距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 点在数轴上的位置如图所示，分别表示数． （1）当时，求之间的距离； （2）若点在数轴上表示数为，且点在点的右侧，求满足条件的的正整数值． 【答案】（1）5 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上点的特点，求不等式的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）先求出点B表示的数，然后根据两点间距离公式进行计算即可； （2）根据点在数轴上表示的数为，且点在点的右侧，得出，解不等式，得出其正整数值即可． 【小问1详解】 解：当时，点B表示的数为， ∴之间的距离为：； 【小问2详解】 解：∵点在数轴上表示的数为，且点在点的右侧， ∴， 解得：， ∴的正整数值为1． 18. 嘉淇报名参加校运动会，有以下4个项目可供选择： 径赛项目：（分别用表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用表示）． （1）嘉淇从4个项目中任选一个，选中跳高的可能性 选中的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）； （2）嘉淇从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求选中的两个恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 【答案】（1）等于 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件结果数，然后利用概率公式计算即可． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：依题意，从4个项目中任选一个，选中跳高的可能性，选中的可能性， ∵ ∴嘉淇从4个项目中任选一个，选中跳高的可能性等于选中的可能性． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好为一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为8， ∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 19. 图是三张写有整式的卡片，小明发现之间满足两个整式相加等于第三个整式，但中一个单项式不小心被墨水污染了． （1）嘉嘉推测，淇淇推测，请你判断他们的推测是否正确，并说明理由； （2）得到中被污染的单项式后，求时整式的值． 【答案】（1）两人推测都不正确，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握计算法则是解此题的关键． （1）根据题意和题干中的多项式，分别求出阴影部分，再与题干中的进行比较即可得出答案； （2）求出后，代数求值即可． 【小问1详解】 解：两人推测都不正确，理由如下： ， ， 令得， 若，则， ∴ ， ，不是单项式，不符合题意； 若， ∴ 解得，不是单项式，不符合题意； 所以，两人推测都不正确； 【小问2详解】 解：由（1）得两人推测都不正确， ∴只有， 令得， 解得， ∴， 将代入上式得， ． 20. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）． （1）求斜坡BC的长； （2）求这棵大树CD的高度（结果取整数）． （参考数据：sin≈，cos≈，tan≈，≈1.73） 【答案】（1）斜坡BC的长为30米 （2）这棵大树CD的高度约为20米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，AB=30米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出AB=BC=30米，即可得出答案． （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，AB＝30米， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴AB＝BC＝30米， ∴斜坡BC的长为30米； 【小问2详解】 解：在中，，BC＝30米， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴DE=BEtan(米)， ∴DC＝DE﹣CE＝（米）， ∴这棵大树CD的高度约为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用． 21. 石家庄市打造的环城绿道全长101公里，依托滹沱河、环城水系等优质景观资源，为市民提供了景美、智游、畅达的城市绿道健身体系．甲、乙两人一起从环城绿道某地出发同向同速骑行，乙中途停车整理装备用了4分钟，然后继续骑行，追上甲后再一起骑到终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）的部分函数图象如图所示： （1）求甲的骑行速度； （2）求乙整理完装备后到追上甲的过程中与的函数解析式，并写出的取值范围； （3）已知甲、乙两人之间的距离不超过千米时，可以通过某通信设备随时联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以通过该设备联系到甲． 【答案】（1） （2） （3）8分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、由函数图象获取信息、一元一次方程的应用，根据图象分段求出函数解析式是解题的关键． （1）根据函数图象获取信息，列出算式即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意表示出两个函数值之差，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可得， 甲的骑行速度为：； 【小问2详解】 解：设函数解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴函数解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）可得甲的函数解析式为， 当甲、乙两人之间的距离为千米时得， ， 解得， （分钟） 所以，乙整理完装备后至少再骑行8分钟可以通过该设备联系到甲． 22. 两个等腰直角三角形和初始叠放在一起（点在边上，点在边上），分别是斜边的中点，．将绕顶点逆时针旋转一周． （1）如图1，连接，，求证：； （2）请直接写出旋转过程中点，距离的最大值和最小值； （3）将从初始位置绕顶点逆时针旋转一定角度后，点在同一条直线上（如图2所示）．嘉淇认为此时点也在同一条直线上，请你通过说理判断他说的对不对，并求． 【答案】（1）见详解 （2）点，距离的最大值为3，最小值为1 （3）嘉淇说法正确，理由见详解， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等腰直角三角形的性质，证明，即可得出答案； （2）根据直角三角形斜边中线定理，得出，在旋转过程中借助三角形三边关系可得出两点间的最大值和最小值； （3）利用等腰直角三角形的性质求出相关角的度数，利用平角得出三点在同一条直线上，过点作于点，求出相关线段的长度，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点分别是斜边的中点， ∴, 如图所示， 当点在同一条直线上，且点位于之间时，点，距离的最大， 此时，最大值为； 如图所示， 当点在同一条直线上，且点位于之间时，点，距离的最小， 此时，最小值为； ∴点，距离的最大值为3，最小值为1； 【小问3详解】 解：嘉淇说法正确，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵与都是等腰直角三角形，且点分别是斜边的中点， ， 当点在同一条直线上时，， ∴， ∴点也在同一条直线上； ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点，， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ． 23. 在等边三角形中，，是边上的一个动点（不与点，重合），点随着点的运动在边上运动，且始终保持是的外接圆． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，当圆心在边上时，求弦和的长； （3）求点到边的最短距离． 【答案】（1）见解析 （2），的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，得出，结合是等边三角形，得出，，，即可证明； （2）当圆心O在边上时，则 ，得出，，根据，得出，即可得，结合，即可求出，进而勾股定理求得，连接，根据圆周角定理求得，进而根据弧长公式，即可求解； （3）在上运动，到的距离为，则当取得最大值时，取得最小值，证明，设，得出二次函数关系式，进而根据二次函数的性质，求得的最大值，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：当圆心O在边上时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接，则，， ∴； 【小问3详解】 解：∵在上运动，到的距离为， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴当时取得最大值为， 即时，， ∴到的最短距离为． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3． （1）求的值； （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于的部分函数图象，如图2所示． ①请你补全函数图象，并求时函数图象最低点的坐标； ②若关于的方程（为实数）在时无解，求的取值范围； ③在函数图象上有点（与不重合），点的横坐标为，点与点到直线的距离相等．小明对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）①图像见解析，最低点坐标为；②或；③或． 【解析】 【分析】（1）根据题意将， 代入，得；将，代入得； （2）①在平面直角坐标系中作出图像，根据图象可知时函数图象最低点的坐标为的顶点坐标； ②在时无解可转为：抛物线与直线在时无交点的问题，根据图象可以求得的取值范围； ③根据点的横坐标为，点与点到直线的距离相等，得到点的横坐标，当，，当时，，因为当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，而当 时，，时，，故①当，根据图象分析可知：；②当，根据图象分析可知：，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：， 将， 代入， 得：， 解得， ， 将，代入， 得，解得， 故，； 【小问2详解】 ①当时，，当时，，当时，; 当时，，其对称轴为，顶点坐标为，开口向上， 如下图为所求， 当时，函数图象最低点坐标为的顶点坐标， 即； ②在时无解， ，在时无解， 问题转化为抛物线与直线在时无交点， 对于， 顶点为， 如图： 当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， 当时，抛物线与直线在时没有交点， 当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即：当或时，关于的方程为实数），在时无解； ③点的横坐标为，点与点到直线的距离相等， 点的横坐标为， 直线与直线关于直线对称， 当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 当，；当时，， 当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，而当 时，， 时，， ①当，如图： 由题意得：， ； 当，如图： 由题意得：， ， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式、函数增减性、方程与函数的关系、不等式与函数的关系等知识，画出图象，根据方程、不等式与函数的关系在图象上分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $