精品解析：湖南省长沙市华益中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

长沙市华益中学2024-2025学年第二学期纠错复练 八年级数学 分值：120分 时量：120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据0.000015用科学记数法表示为， 故选：A． 2. 下列各点中，在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的特征，熟练掌握判断点在函数图象上的方法是解答本题的关键．将4个点分别代入函数关系式，并逐一计算验证即得答案． 【详解】选项A，当时，，所以点在函数图象上，符合题意； 选项B，当时，，所以点不在函数图象上，不符合题意； 选项C，当时，，所以点不在函数图象上，不符合题意； 选项D，当时，，所以点不在函数图象上，不符合题意； 故选：A． 3. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下： 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选B． 5. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C 6. 如图，的对角线，相交于点，若，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质，根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图像的交点坐标即为两函数组成的二元一次方程组的解，即可获得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是理解并掌握两函数图像的交点坐标即为两函数组成的二元一次方程组的解． 8. 下列关于一次函数y＝﹣2x＋2的图象的说法中，错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象与x轴的交点坐标为（2，0） C. 当x＞0时，y＜2 D. y的值随着x值的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，说法正确； B、∵y＝0时，x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），说法错误； C、当x=0时，y=2，由k＝﹣2＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，∴当x＞0时，y＜2，说法正确； D、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，说法正确； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键． 9. 如图，在菱形ABCD中，，，过点D作，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长． 【详解】解：如图．设AC与BD交于点O 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理．解题的关键是注意菱形的对角线互相垂直平分． 10. 如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点N，延长交于点M，只需要证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①④正确； 在与中，，， ∴， ∴， 故②正确； ∵P是上任意一点，因而是等腰三角形不一定成立， 故③错误； ∵， ∴当时，有最小值即有最小值， ∵，， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为， 故⑤正确， 故正确的是：①②④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式和完全平方的非负性可得，，求出a与b的值，进而得出答案． 本题考查了二次根式和完全平方公式的非负性，代数式求值，根据非负数的性质求得a与b的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 13. 点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________． 【答案】a＜2 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可． 【详解】∵当时，， ∴a-2＜0， ∴a＜2， 故答案为：a＜2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移4个单位长度后，所得图象对应的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 本题考查了一次函数平移问题，掌握一次函数平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位长度后，所得图象对应的解析式为 ． 故答案为：． 15. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质， 根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的不变性是解题的关键． 由图形折叠可得，，而正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由图形折叠可得，，， ∴， ∴点共线， ， ，，， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，化简绝对值，计算乘方和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值，，其中 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当时 原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点． （1）分别求出点、的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集________． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及直线与坐标轴交点求法、两条直线交点求法、图象求不等式的解集，熟练掌握一次函数图象与性质、用一次函数图象求不等式的解集的方法是解决问题的关键． （1）由直线分别与轴交于点，令，解一元一次方程即可得到；再联立，由消元法解方程组即可得到； （2）的解集可以看作一次函数图象在的图象上及其下方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：直线分别与轴交于点， 当时，，解得，即， 联立， 解得， ； 【小问2详解】 解：的解集可以看作一次函数图象在的图象上及其下方部分对应的的取值范围， 过两个图象交点作轴的垂线，如图所示： 在右侧，一次函数图象在的图象上及其下方， 则不等式的解集是， 故答案为：． 20. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如下： （3）36 （4）300人 【解析】 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键． （1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果； （2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可； （4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 故答案为：36； 【小问4详解】 人． 21. 如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：； （2）点在边上，满足．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，则； （2）根据勾股定理求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到，进而可得的长． 本题重点考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件； （2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【小问1详解】 解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． 【小问2详解】 解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 23. 如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在四边形中，是的中点，， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）先证是的中位线，则可得，再结合，则可得四边形为平行四边形 （2）根据三角形中位线的性质推出，， 继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，称点为点和点的“融合点”．如和的“融合点”是． （1）点和点的“融合点”坐标是_________； （2）已知点和直线．设点是直线上任意一点，求证：当点在直线上移动时，点和的“融合点”始终在同一条直线上，并求出此直线解析式； （3）对于点（）和直线（），点是直线上任意一点，类似（2），可证明当点在直线上移动时，点和的“融合点”始终在同一条直线上，称该直线为点和直线的“融合直线”．已知直线，点（）和直线的“融合直线”记为． ①无论取何值，“融合直线”必经过一定点，求出该定点的坐标； ②点和点，若“融合直线”与线段有公共点，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）证明如下：直线的解析式为 ∵点是直线上任意一点 ∴设 设点和的“融合点”为T，则 ∵点和的“融合点”始终在同一条直线上 ∴， ∴ 将代入得： ∴T所在此直线解析式为； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“融合点”的定义求解即可； （2）设，然后表示出点和的“融合点”，得到，，进而求解即可； （3）①设为直线s上一点，则R，M“融合点”的坐标为， 当时，R，M“融合点”的坐标为，当时，R，M“融合点”的坐标为，然后求出表达式为，当时，，进而求解即可； ②分别将和代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的“融合点”坐标是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①设为直线s上一点，则R，M“融合点”的坐标为 当时，R，M“融合点”的坐标为； 当时，R，M“融合点”的坐标为； 设，所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴ ∴当时， ∴当时， ∴无论取何值，“融合直线”必经过一定点，该定点的坐标为； ②当点E在直线t上时， 解得 当点F在直线t上时， 解得 ∴当时，“融合直线”与线段有公共点． 【点睛】本题考查了新定义问题，一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解新定义的含义，掌握一次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； （3）为第二象限内的直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法直接求解即可得到答案； （2）先求出两条直线的交点，设，由，数形结合，代值求解即可得到答案； （3）过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点，由全等三角形判定得到，求出、，由待定系数法确定函数表达式，联立求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：直线经过点，， 把点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：存在， 联立，解得， ∴， 设， ∵直线与轴交于点， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线， 将、代入可得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、一次函数与三角形面积问题、一次函数图象与性质、绝对值方程、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求直线交点坐标等问题，熟记一次函数图象与性质、待定系数法求函数表达式、一次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市华益中学2024-2025学年第二学期纠错复练 八年级数学 分值：120分 时量：120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 6. 如图，的对角线，相交于点，若，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于一次函数y＝﹣2x＋2的图象的说法中，错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象与x轴的交点坐标为（2，0） C. 当x＞0时，y＜2 D. y的值随着x值的增大而减小 9. 如图，在菱形ABCD中，，，过点D作，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 若，则的值为__________． 13. 点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移4个单位长度后，所得图象对应的解析式为__________． 15. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 16. 如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为_______ ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值，，其中 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点． （1）分别求出点、的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集________． 20. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 21. 如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：； （2）点在边上，满足．若，，求的长． 22. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 23. 如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，称点为点和点的“融合点”．如和的“融合点”是． （1）点和点的“融合点”坐标是_________； （2）已知点和直线．设点是直线上任意一点，求证：当点在直线上移动时，点和的“融合点”始终在同一条直线上，并求出此直线解析式； （3）对于点（）和直线（），点是直线上任意一点，类似（2），可证明当点在直线上移动时，点和的“融合点”始终在同一条直线上，称该直线为点和直线的“融合直线”．已知直线，点（）和直线的“融合直线”记为． ①无论取何值，“融合直线”必经过一定点，求出该定点的坐标； ②点和点，若“融合直线”与线段有公共点，求点的纵坐标的取值范围． 25. 如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； （3）为第二象限内的直线上一点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $