精品解析：2025年广东省深圳市罗湖区大望学校中考数学模拟测试

2025年广东省深圳市中考模拟测试数学 第一部分 选择题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合． 2. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 3. 下列运算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解． 【详解】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键． 4. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：D． 5. 如图，，交于E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选D 6. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 7. 如图是中国古代的“赵爽弦图”的示意图，其中四边形，都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据全等三角形的性质得出，根据，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，，，是四个全等的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 8. 如图，点，在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题 二．填空题（每小题3分，满分15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种， 故从东面出口出来的概率为． 故答案为：． 11. 如图，矩形中，的平分线交于点，以为圆心，为半径画弧，这条弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出的等腰直角三角形，进而求出，，证得，求得进而求得，根据阴影部分的面积即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 则阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键． 12. 如图，点D、E分别是的边的中点，连接，点F在上，连接，且平分，若，，则的长为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据点D边的中点，得，根据点D、E分别是的边的中点得，，则，根据平分得，即可得，根据得，即可得． 【详解】解：∵点D边的中点，， ∴， ∵点D、E分别是的边的中点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行线的性质，角平分线，等角对等边，解题的关键是掌握这些知识点． 13. 在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解． 【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 在中，， ∴设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 设，， ， ， 在中，， 在中，， ，， ，， ， ∴， 解得：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键． 三．解答题（共7小题，合计61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的分母有理化、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先分母有理化、化简绝对值、计算零指数幂，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 15. 化简并求值：，＝3时求值． 【答案】6 【解析】 【分析】直接将除法转化为乘法，利用分配律进行计算即可得出答案． 【详解】原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的运算，将除法转化为乘法，并利用分配律进行计算是解题的关键． 16. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）60人 （2）90 （3） 补全直方图如图： （4）77 （5）390人 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体： （1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可； （3）求出D组人数，补全直方图即可； （4）根据中位数的确定方法进行求解即可； （5）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 【小问2详解】 ； 故答案为：90； 【小问3详解】 D组人数为：； 【小问4详解】 将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴中位数为：； 【小问5详解】 （人）． 17. 某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y与x的关系式； ②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？ 【答案】（1）每台A型电脑的销售利润和B型电脑的销售利润分别为100元、150元 （2）①；②商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的运用，一元一次不等式的应用和利用一次函数求最值问题，解题关键是根据题意，得出方程和函数关系式． （1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可； （2）①根据题意得出y关于x的函数，②根据题意列出一元一次不等式求解，确定x的取值范围，然后根据函数的增减性判断最大值情况． 【小问1详解】 解：设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元， 依题意得：， 解得：， 答：每台A型电脑的销售利润和B型电脑的销售利润分别为100元、150元； 【小问2详解】 解：①根据题意得，即； ②根据题意得， 解得， ∵，， ∴y随x的增大而减小． ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值，此时． 答：商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大． 18. 如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图， ，， 垂直平分， ， 为的切线， ， 为的直径， ， ∴， 四边形为矩形， ， ； （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交于点，如图，先证明垂直平分得到，再根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，于是可判断四边形为矩形，所以，从而得到结论； （2）先利用垂直平分得到，再利用四边形为矩形得到，接着在中利用勾股定理计算出，设的半径为，则，，由勾股定理可得，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， ， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 19. 根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为． 素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【解析】 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图， 设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 20. 如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． （1）连接，求证：≌； （2）在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； （3）在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； 【小问3详解】 解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市中考模拟测试数学 第一部分 选择题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 3. 下列运算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，交于E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图是中国古代的“赵爽弦图”的示意图，其中四边形，都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 如图，点，在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 第二部分 非选择题 二．填空题（每小题3分，满分15分） 9. 因式分解：______． 10. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为_____． 11. 如图，矩形中，的平分线交于点，以为圆心，为半径画弧，这条弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为______． 12. 如图，点D、E分别是的边的中点，连接，点F在上，连接，且平分，若，，则的长为___________． 13. 在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为________． 三．解答题（共7小题，合计61分） 14. 计算：． 15. 化简并求值：，＝3时求值． 16. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 17. 某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y与x的关系式； ②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？ 18. 如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 19. 根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为． 素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 20. 如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． （1）连接，求证：≌； （2）在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； （3）在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $