福建省福建省福州第十六中学2025年8月夏令营九年级数学试卷

2025年福州第十六中学暑期夏令营（数学) (完卷时间：120分钟 满分：150分) 班级： 姓名： 座号： 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的。 1.下列一元二次方程有两个相等的实数根的是 A.x2=4 B.x2-2x+1=0C.(x+2)2-3=0D.(x+22+3=0 2.将抛物线y=2x2-1先向左平移3个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线 的解析式是 A.y=2(x-3)2+2 B.y=2(x-3)2-4 C.y=2(x+3)2+2 D.y=2(x+32-4 3.如图，点A,B,C都在⊙0上，∠AOB=100°，则∠ACB的 度数是 A.45° B.50° C.55 D.100° 4.为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计 结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 5 8 3 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是 A.众数是8 B.中位数为4.5 C.平均数z=3×4+4×5+5x8+6×3 D.平均数x=3×4+4×5+5×8+6x3 4 4+5+8+3 5.学校组织一次乒乓球赛，每两队之间都要赛一场.若共赛了15场，则有几个 球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是 A.x(x-)=15B.2x(x+=15C.x(x-)=15 D.x(x+1)=15 6.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将 △ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的 点F处，则CF的长为 A.2 B.6-32 C.2W2 D.6√2-6 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,将Rt△ABC绕点A逆时针 旋转得到△AB'C，点C的对应点C恰好落在斜边AB上，连 接BB'.若∠BAC=a,则∠BB'C的度数为 A.8 B.a c.90-号 D.90°-a 8. 已知点A(-2,a+2),B(6,a),C(6,a)在同一个函数图象上，则这个函数图 象可能是 东不“名 9.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE#/BC,∠ABC的 平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G,连接AF, AG.下列结论错误的是 A.当AF∥BG时，四边形AFBG为矩形 B.当AD=BD时，四边形AFBG为矩形 C.当AB=FG时，四边形AFBG为矩形 D.当BF=BG时，四边形AFBG为菱形 B 10.已知二次函数y=ax2-4arx+5(a<0)的图象上有A(:,)和B(x2,yz)两点， 且m-3<名<m-1,m+1<,2<m+3,下列说法正确的是 A.当m=1时，y>y2 B.当片>y2时，m>5 C.当y<2时，m>-1 D.当m<-1时，<y2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若关于x的一次函数y=(3m-2)x+4的图象经过第一、二、三象限，则m 的取值范围是 12.已知二次函数y=-4x++k的图象上有A(2,),B(-2%),C(-3,为) 三点，则，2，的大小关系是 ,(用“<”连接) 13.一组数据的方差计算公式如下：2=[2(7-+(8-+3(9-]，则 这组数据的平均数是。 14,一元二次方程x2-x-1=0的一个实数根是a,则-a3+2a2+2025的值为 15.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF上BE,垂足为F.若AB=1, ∠EBC=30,则△ABF的面积为· 16.如图，在矩形ABCD中，AC=8,∠DAC=30,P是边AD上一个动点， 过点P作PG⊥AC,垂足为点G,连接BP,取BP中点E,连接EG,则线 段EG的最小值为 B B 第15题图 第16题图 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算 步骤。 17.(8分)解方程： (1)x2-4x-1=0: (2)(x-3)2=2x-6. 18.(8分)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在 对角线BD上，且BE=DF,连接AE,EC,CF,FA, 求证：四边形AECF是平行四边形. B 19.(8分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的自变量x和函数值y满足下表： -1 2 13 103 -2 m 一6 (1)该二次函数图象的对称轴是 (2)求该二次函数的解析式： (3)当0<x<4时，请直接写出y的取值范围. 20.(8分)《网络数据安全管理条例》自2025年1月1日起施行.某校举办了 “守护青春，网络有你”的网络安全知识测试，测试结束后，数学兴趣小组从九 年级甲、乙两班各随机抽取了20人，对他们的测试成绩进行了整理、分析. 【数据整理】根据甲、乙两班20名学生的测试成绩绘制了如图所示的统计图， 本次测试满分为10分，并规定9分及9分以上为优秀. 学生人数 6 回甲班 5 口乙班 4 3 2 0 10. 成绩/分 【数据分析】 统计量 平均数 中位数 众数 优秀率 甲班 7.4 25% 乙班 7.3 7 c 【解决问题】 (1)填空：a= b= C= (2)根据以上数据，你认为哪个班级学生的测试成绩更好？请说理理由.（写出 一条即可) 21.（8分)A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经 市场调查发现，周销售量y(件)与销售单价售价x(元/件)之间的函数图 象如图所示， (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价x为多少元时，周销售利润w最大？并 求出此时的最大利润 200 140 05080 22.（10分)如图，点P在∠AOB内部，连接OP. (1)作菱形POMQ,使点Q落在射线OB上.（要求：尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，延长MP交射线OA于点N,若ON=MN=n,OP=1, 求菱形POMg的面积.（用含n的代数式表示） 23.(10分)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股 数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长α，b, c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”.在长期的研究中，人们发现 了一些寻找“勾股数”的口诀 口诀1：奇数平方写连续 对于大于1的奇数，它的平方可以写成两个连续自然数之和，那么这个奇数 和这两个连续自然数就构成一组“勾股数”例如，32=9,9=4+5，那么3,4， 5构成一组“勾股数” 口诀2：偶数半方加减 对于大于4的偶数，它的一半的平方分别减1和加1，那么这个偶数和所得 到的两个数就构成一组“勾股数”例如，6的一半是3,32-1=8,32+1=10， 那么6,8,10构成一组“勾股数” (1)请任意选择其中一个口诀证明其正确性； (2)试探究三个连续奇数是否能构成一组“勾股数”，若能，求出所有符合要求 的“勾股数”；若不能，请说明理由， 24.(12分)定义：若关于x的一元二次方程a2+br+c=0(a*0)的两个实数根 为，2(3≤x),则把分别以，，为横坐标和纵坐标的点P(,)称为该 元二次方程的“友好点”. (1)方程x2-4x+3=0的“友好点”P的坐标为 (2)若关于x的一元二次方程x2-(3m+1)x+3m=0的“友好点”为P,过点P 向x轴和y轴作垂线，若两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的 值. (3)是否存在b,c,使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的 “友好点”P始终在函数y=c+k+2的图象上，若有，求b,c的值；若 没有，请说明理由。 25.(14分)正方形ABCD中，点P是BC边上一点，延长BC至点E,点G在CD边 上，四边形CEFG是正方形 (1)如图1，若CE-=BP,连接AP,GE,AF,AF交DC于点Q,连接PQ, ①求证：∠PAQ=45°； ②写出PQ,DQ,GE之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，点M,O,N分别是BE,GE,DG的中点，试判断OM与ON的 关系，并证明 D N M 图1 图2