精品解析：2025年广东省中山市大信学校九年级中考数学三模

2025年广东中山大信学校初三数学三模 初三数学估分练习 （共23小题，考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是有理数 B. 是负数 C. 若，则 D. 中，S，π，r均为变量 5. 如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ） A. 面积不变，周长变小 B. 面积不变，周长变大 C. 面积变小，周长不变 D. 面积不变，周长不变 6. 如图，在与中，点B在上，点A、D在上，且，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 代数式有意义时，字母x的取值范围是______． 12. 分解因式的结果是________． 13. 已知，则的值为______． 14. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为___________． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若，则k的值是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)． （2）求线段的长． 三、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 20. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 21. 综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 （1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 （2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ （3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为；“一切平面图形中最美的是圆”小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点C是上的一点，延长至点D，连接，且，过点C作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：点E是的中点； （3）在（2）的条件下，若点F是上一点(不与A、B、C重合)，求的值 23. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东中山大信学校初三数学三模 初三数学估分练习 （共23小题，考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则计算即可，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是有理数 B. 是负数 C. 若，则 D. 中，S，π，r均为变量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断真假命题．根据有理数的定义，负数的定义，绝对值，常量与变量分别判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项的命题是假命题； B．有可能是负数，有可能是正数，也有可能是0，故本选项的命题是假命题； C．若，则，故本选项的命题是真命题； D．中，，均为变量，为常量，故本选项的命题是假命题． 故选：C 5. 如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ） A. 面积不变，周长变小 B. 面积不变，周长变大 C. 面积变小，周长不变 D. 面积不变，周长不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的拼组、算术平方根，关键注意拼组前后周长和面积的变化． 根据题意可知，求解相应的面积和周长，进行比较即可． 【详解】解；正方形面积为，则边长为，周长为． 将其分为个全等的等腰直角三角形后，直角边为，其面积不变，而周长为，因为，所以周长变大． 故选B． 6. 如图，在与中，点B在上，点A、D在上，且，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 8. 《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案． 【详解】设一亩好田为x亩，一亩坏田为y亩， ∵7亩坏田是500元， ∴每亩坏田元， ∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键． 9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°， ∵DF是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD•sin60°=6×=3， ∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键． 10. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解； ②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解； ③中先证明GECM，得到即可求解； ④中由得到，再由即可求解． 【详解】解：①∵， ∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF， ∴∠GFB=∠EDC， ∵ABCD为正方形，E是BC的中点， ∴BC=CD， ∴，①正确； ②由①知， 又，已知， ∴()， ∴， ∴， ∵，，， ∴()， ∴，故②正确； ③∵，， ∴BE=ME， 且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 由三角形外角定理可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④由上述可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 代数式有意义时，字母x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， 且， 即自变量x的取值范围是且． 12. 分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 已知，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 14. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为___________． 【答案】cm2 【解析】 【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为6cm，即底面圆的半径为3cm，圆锥的高为4cm， 所以圆锥的母线长= =5，所以这个圆锥的侧面积=π×3×5=15π（cm2）． 故答案为15πcm2． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若，则k的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定和性质等知识点， 利用条件证出，设，则，点A、B的横坐标分别为，，将点的横坐标分别代入一次函数可得点的纵坐标，可得，，利用反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求出a的值得到，由此可得k值．利用交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． 【详解】作轴，轴，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 将代入得 解得：， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A、B的横坐标分别为， 将点，的横坐标分别代入一次函数可得点，的纵坐标， ∴，， ∵点，在反比例函数图象上， ∴， 解得舍去， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】先分别计算有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦，然后进行加减运算即可 【详解】解：， 【点睛】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦等知识熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦是解题的关键 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，及二次根式的分母有理化，熟练掌握以上化简技巧是解题的关键． 先通分，因式分解，然后变除为乘，约分即可，最后代入的值，得出结果 【详解】解： ． 当时， 原式． 18. 如图，在中，，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)． （2）求线段的长． 【答案】（1） 解：作图如图所示． （2）16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握作图方法是关键． （1）利用同位角相等，两直线平行，在点D处作一个角等于即可； （2）由（1）知，证明，得到，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）80 （2）补全条形统计图如图所示． ； （3）设组的1名男生和1名女生分别记为组的2名男生和1名女生分别记为． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，共3种， 所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图； （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数． （2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次参加课后延时服务的学生人数是（名）． 【小问2详解】 参加组的人数为（名）． 扇形统计图中的的度数是． 【小问3详解】 略 20. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 【答案】（1） 证明：过B作， 由题意可得， ， ∵铁环与水平地面相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵推杆与铁环相切于点B， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形两锐角互余，切线的性质： （1）过B作，根据切线得到，结合得到，再根据直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）根据（1）及得到，结合三角函数求出，即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的半径为，推杆的长为， ∴，， ∴， ∴． 21. 综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 （1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 （2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ （3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】（1）510 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：（天）； 故答案为：510； 【小问2详解】 ； 故答案为： 【小问3详解】 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为；“一切平面图形中最美的是圆”小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点C是上的一点，延长至点D，连接，且，过点C作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：点E是的中点； （3）在（2）的条件下，若点F是上一点(不与A、B、C重合)，求的值 【答案】（1） 证明：连接，     ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，而是的半径， ∴是的切线； （2） 证明：∵，， ∴，而， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴点E是的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）要证明是的切线，只需证明，即即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得到结论； （3）连接，由，，证明，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 则，而，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可， （2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标， （3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， 解得， 抛物线解析式为：， 【小问2详解】 当，即， 解得， ， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，过点作轴交直线于点， 则， ， 四边形的面积为16， ， 解得， 或， 【小问3详解】 如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作， 是抛物线的对称轴， ， ， ，， ， ， 在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ． 则的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $