四川省成都七中英才学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都七中英才学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．（4分）下列图形中，中心对称图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（4分）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．2n2﹣mn﹣n＝2n（n﹣m﹣1） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 3．（4分）若分式的值为零，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 4．（4分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x﹣3＜y﹣3 B．3﹣x＜3﹣y C． D．mx＞my 5．（4分）将点A（﹣1，1）先沿x轴正方向平移4个单位，再沿y轴正方向平移3个单位，得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣2，5） 6．（4分）已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形的面积是（　　）cm2． A．6 B．8 C．12 D．24 7．（4分）一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于A（2，0），B（0，2）两点，则不等式kx+b＞2的解集是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2 8．（4分）如图，已知等腰三角形ABC的顶角为30°，将等腰三角形ABC绕点A逆时针旋转α°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1．若AC1∥BC，则α的值为（　　） A．30 B．45 C．75 D．105 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝　 　 ． 10．（4分）已知正比例函数y＝（3m﹣10）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　 ． 11．（4分）如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，连接AF．若∠BAC＝50°，则∠BAF＝ 　 　 ． 12．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转，使点C的对应点D恰好落在AB边上，点A的对应点为E，连接AE，若∠AED＝20°，则∠ABC＝　 　 ． 13．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝5，BC＝11，且∠B＝2∠C．分别以A，C为圆心，大于的长为半径，画弧相交于M，N，过M，N作直线交BC于点D，连接AD，则△ACD的面积为　 　 ． 三、解答题（共48分） 14．（12分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 15．（8分）先化简：，然后在﹣3≤m≤3中选择一个适当的整数代入求值． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，0），C（3，0），解答下列问题： （1）将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），使点C的对应点E的横坐标为1，点A的对应点为F，画出△BEF，并写出点F的坐标； （3）在（2）条件下，求△ABF的面积． 17．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠A＝∠C． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）利用尺规分别作∠A和∠D的角平分线（保留作图痕迹），并记两条角平分线的交点为M．若点M恰好落在BC边上，试判断AB和BC的数量关系，并证明． 一、填空题（每小题4分，共20分） 18．（4分）已知x+y＝2，则＝　 　 ． 19．（4分）已知a＞b＞0，则 　 　 ．（填“＞”，“＜”，“＝”） 20．（4分）若关于x的方程无解，则k的值为　 　 ． 21．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC外一点，且BD＝BA，连接AD并延长AD交BC的延长线于点E．若∠ADB+∠ACB＝135°，DE＝2，则BC＝　 　 ． 22．（4分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝　 　 ． 二、解答题（共30分） 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵20万元，若用480万元单独购买A型号智能机器人的数量恰好与用360万元单独购买B型号智能机器人的数量相等． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递22万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递18万件，现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 24．（10分）如图，已知点Q（0，1），直线l1：y＝﹣x+2m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）若△AOB的面积为8，求m的值； （2）直线l2：y＝mx﹣2与l1相交于点P，与y轴相交于点C，连接PQ．当CP+PQ取得最小值时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝kx的值大于函数y＝mx﹣2的值，直接写出k的取值范围． 25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，其中点A，C的对应点分别为点D，E． （1）如图1，当点D落在BC的延长线上时，连接AD，求AD的长； （2）如图2，连接AD，EC，并延长EC交AD于点F．当EC经过边BD的中点时，试判断四边形ABEF的形状，并证明； （3）在旋转过程中，线段BD，DE分别交射线AC于点M，N．当△ABM为等腰三角形时，求线段MN的长． 2024-2025学年四川省成都七中英才学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B A A B C 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．（4分）下列图形中，中心对称图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：第1，2个图形是中心对称图形，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（4分）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．2n2﹣mn﹣n＝2n（n﹣m﹣1） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9是乘法运算，则A不符合题意， a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， 2n2﹣mn﹣n＝n（2n﹣m﹣1），则C不符合题意， x（x﹣y）+y（y﹣x）＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（4分）若分式的值为零，则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可． 【解答】解：要使得分式的值为零，则需要a+1＝0且2a﹣1≠0． 解得a＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零是解题的关键． 4．（4分）若x＞y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x﹣3＜y﹣3 B．3﹣x＜3﹣y C． D．mx＞my 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若x＞y， 两边同时减去3得x﹣3＞y﹣3，则A不符合题意； 两边同时乘﹣1得﹣x＜﹣y，再两边同时加上3，得3﹣x＜3﹣y，则B符合题意； 两边同时乘，得，则C不符合题意； 当m＜0时，mx＜my，则D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 5．（4分）将点A（﹣1，1）先沿x轴正方向平移4个单位，再沿y轴正方向平移3个单位，得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣2，5） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将点A（﹣1，1）沿x轴正方向平移4个单位长度后，所得点的坐标为（3，1）， 再沿y轴正方向平移3个单位长度后，得到点A′的坐标为（3，4）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 6．（4分）已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形的面积是（　　）cm2． A．6 B．8 C．12 D．24 【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、DF、EF，根据勾股定理的逆定理得到以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，10cm，D、E分别为AB、BC的中点，如图， ∴DE＝AC＝4（cm）， 同理可得：DF＝5cm，EF＝3cm， ∵32+42＝9+16＝25＝52， ∴以各边中点为顶点的三角形是直角三角形， ∴以各边中点为顶点的三角形面积为：×3×4＝6（cm2）， 故选：A． 【点评】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，勾股定理的逆定理掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 7．（4分）一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于A（2，0），B（0，2）两点，则不等式kx+b＞2的解集是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2 【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象分别交x轴和y轴于点A（2，0），B（0，2），作出图象，再运用数形结合思想进行作答即可． 【解答】解：依题意，得出一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如下： ∴不等式kx+b＞2的解集是x＜0， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． 8．（4分）如图，已知等腰三角形ABC的顶角为30°，将等腰三角形ABC绕点A逆时针旋转α°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1．若AC1∥BC，则α的值为（　　） A．30 B．45 C．75 D．105 【分析】根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，即为旋转角的度数． 【解答】解：∵等腰三角形ABC的顶角为30°， ∴∠B＝∠C＝＝75°， ∵AC1∥BC， ∴∠C1AC＝∠B∠＝75°， 即α的值为75°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝　y（x﹣y）2　 ． 【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【解答】解：∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2． 故答案为：y（x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 10．（4分）已知正比例函数y＝（3m﹣10）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　m＜　 ． 【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于m的不等式3m﹣10＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（3m﹣10）x中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴3m﹣10＜0， 解得m＜， 故答案为：m＜． 【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 11．（4分）如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，连接AF．若∠BAC＝50°，则∠BAF＝ 　25°　 ． 【分析】过F作FM⊥AE于M，FN⊥AD于N，FK⊥BC于K，由角平分线的性质定理推出FM＝FK，FN＝FK，得到FM＝FN，由角平分线性质定理的逆定理推出AF平分∠BAC，于是∠BAF＝∠BAC＝25°． 【解答】解：过F作FM⊥AE于M，FN⊥AD于N，FK⊥BC于K， ∵CF平分∠BCE，BF平分∠CBD， ∴FM＝FK，FN＝FK， ∴FM＝FN， ∵FM⊥AE于M，FN⊥AD于N， ∴AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠BAC＝×50°＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． 12．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转，使点C的对应点D恰好落在AB边上，点A的对应点为E，连接AE，若∠AED＝20°，则∠ABC＝　40°　 ． 【分析】由旋转的性质可得AB＝BE，∠C＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠ABE，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转， ∴△ABC≌△EBD， ∴AB＝BE，∠C＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠ABE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵∠AED＝20°， ∴∠BAE＝70°， ∴∠BAE＝∠BEA＝70°， ∴∠ABC＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 13．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝5，BC＝11，且∠B＝2∠C．分别以A，C为圆心，大于的长为半径，画弧相交于M，N，过M，N作直线交BC于点D，连接AD，则△ACD的面积为　10　 ． 【分析】由尺规作图知MN是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得出AD＝CD，则∠CAD＝∠C，根据∠B＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD可得∠B＝∠ADB，则AD＝AB＝CD＝5，过点A作AH⊥BC于H，求出AH＝4，即得答案． 【解答】解：由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线，则AD＝CD． ∴∠CAD＝∠C， ∵∠B＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD， ∴∠B＝∠ADB， ∴AD＝AB＝CD＝5， 过点A作AH⊥BC于H， ∵AD＝AB＝CD＝5，BC＝11， ∴BH＝DH＝×（11﹣5）＝3， ∴AH＝＝＝4， ∴△ACD的面积为CD•AH＝×5×4＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及线段垂直平分线的性质． 三、解答题（共48分） 14．（12分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【分析】（1）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可； （2）先变形，然后方程两边同乘2（x﹣3），将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得x＜2， 所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘2（x﹣3），得2（2﹣x）＝x﹣3﹣2， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，2（x﹣3）＝0，所以x＝3不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 15．（8分）先化简：，然后在﹣3≤m≤3中选择一个适当的整数代入求值． 【分析】先把括号内的2写成分母是m+3的分式再相减，然后把分子和分母分解因式，除法化成乘法进行约分，最后根据已知条件，选取符合分式有意义的m的整数值，代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝， ∵在﹣3≤m≤3中的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，m＝±3或﹣1时，分式无意义， ∴m取1时，原式＝（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分和几种常见的分解因式的方法． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，0），C（3，0），解答下列问题： （1）将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），使点C的对应点E的横坐标为1，点A的对应点为F，画出△BEF，并写出点F的坐标； （3）在（2）条件下，求△ABF的面积． 【分析】（1）根据平移变换的性质作图即可； （2）根据旋转的性质结合点C的对应点E的横坐标为1，作出图形即可； （3）根据割补法求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△BEF即为所求，F（1，1）； （3）△ABF的面积＝3×3﹣＝4． 【点评】本题考查了作图，平移变换，旋转变换，熟记平移变换，旋转变换的性质是解题的关键． 17．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠A＝∠C． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）利用尺规分别作∠A和∠D的角平分线（保留作图痕迹），并记两条角平分线的交点为M．若点M恰好落在BC边上，试判断AB和BC的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据要求作出图形即可．证明AN＝BM，CD＝CM可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABC都是平行四边形；√ （2）解：图形如图所示： 结论：BC＝2AB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAM＝∠BMA， ∵AM平分∠BAD， ∴∠BAM＝∠DAM＝∠AMB， ∴AB＝BM， 同法可证CD＝CM， ∴AB＝BM＝CM， ∴BC＝2AB． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 一、填空题（每小题4分，共20分） 18．（4分）已知x+y＝2，则＝　2　 ． 【分析】根据，代入计算即可． 【解答】解：， 当x+y＝2时， ＝． 【点评】本题考查了公式变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 19．（4分）已知a＞b＞0，则 　＞　 ．（填“＞”，“＜”，“＝”） 【分析】先根据已知条件，判断a﹣b＞0，b（b+1）＞0，然后求出和的差，通过差的正负，比较大小即可． 【解答】解：∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0，b（b+1）＞0， ∴ ＝ ＝ ＝， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 20．（4分）若关于x的方程无解，则k的值为　1　 ． 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据关于x的分式方程无解，得到x﹣2＝0时有增根，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可． 【解答】解：去分母，得：1﹣x＝﹣k﹣2（x﹣2）， ∵关于x的分式方程无解， ∴x﹣2＝0时有增根，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，可得：1﹣2＝﹣k，解得k＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 21．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC外一点，且BD＝BA，连接AD并延长AD交BC的延长线于点E．若∠ADB+∠ACB＝135°，DE＝2，则BC＝　2　 ． 【分析】依据题意，根据等腰三角形的性质，由∠ADB+∠ACB＝135°，可得∠ABC+∠BAD＝135°，进而可得∠E＝45°，再分别过B作BF⊥AE于F，过A作AG⊥BE于G，设AF＝x，从而可得BG2＝AB2﹣AG2＝x2+（x+2）2﹣（2x+2）2，进而求出BG，再由BC＝2BG，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵AB＝AC，BD＝BA， ∴∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝∠BAD． ∵∠ADB+∠ACB＝135°， ∴∠ABC+∠BAD＝135°． ∴∠E＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝45°． 分别过B作BF⊥AE于F，过A作AG⊥BE于G， ∴AF＝DF，BF＝EF；BG＝CG，AG＝EG＝AE． 设AF＝x， ∴AF＝DF＝x． 又∵DE＝2， ∴BF＝EF＝x+2，AE＝2x+2． 又∵AB2＝AF2+BF2， ∴AB2＝x2+（x+2）2， ∴BG2＝AB2﹣AG2＝x2+（x+2）2﹣（2x+2）2． ∴BG2＝2． ∴BG＝． ∴BC＝2BG＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时要能根据题意利用直角三角形，借助勾股定理列出关系式是关键． 22．（4分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝　1188或4752　 ． 【分析】设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论． 【解答】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴m＝1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝99（100﹣10y﹣x）， ∵m是四位数， ∴99（100﹣10y﹣x）是四位数， 即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数， ∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴m＝1188或4752， 故答案为：1188或4752． 【点评】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题． 二、解答题（共30分） 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵20万元，若用480万元单独购买A型号智能机器人的数量恰好与用360万元单独购买B型号智能机器人的数量相等． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递22万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递18万件，现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 【分析】（1）设B型号智能机器人的单价是x万元，则A型号智能机器人的单价是（x+20）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用480万元单独购买A型号智能机器人的数量恰好与用360万元单独购买B型号智能机器人的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型号智能机器人的单价），再将其代入（x+20）中，即可求出A型号智能机器人的单价； （2）设购进m台A型号智能机器人，则购进（10﹣m）台B型号智能机器人，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过700万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种型号的智能机器人每周分拣快递的件数为w万件，利用每周分拣快递的件数＝每台A型号智能机器人每周分拣快递的件数×购进A型号智能机器人的数量+每台B型号智能机器人每周分拣快递的件数×购进B型号智能机器人的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设B型号智能机器人的单价是x万元，则A型号智能机器人的单价是（x+20）万元， 根据题意得：＝， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝60+20＝80（万元）． 答：A型号智能机器人的单价是80万元，B型号智能机器人的单价是60万元； （2）设购进m台A型号智能机器人，则购进（10﹣m）台B型号智能机器人， 根据题意得：80m+60（10﹣m）≤700， 解得：m≤5， 设购进的两种型号的智能机器人每周分拣快递的件数为w万件，则w＝22m+18（10﹣m）， 即w＝4m+180， ∵4＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝5时，w取得最大值，此时10﹣m＝10﹣5＝5（台）． 答：当该企业购进5台A型号智能机器人，5台B型号智能机器人时，能使每周分拣快递的件数最多． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 24．（10分）如图，已知点Q（0，1），直线l1：y＝﹣x+2m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）若△AOB的面积为8，求m的值； （2）直线l2：y＝mx﹣2与l1相交于点P，与y轴相交于点C，连接PQ．当CP+PQ取得最小值时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝kx的值大于函数y＝mx﹣2的值，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）利用直线l1：y＝﹣x+2m（m＞0）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程组即可求解； （2）作出Q关于直线l1对称的点Q'（2m﹣1，2m）．当Q'，C，P在一直线上时，CP+PQ取最小值为CP+PQ'＝CQ'，将Q'代入y＝mx﹣2．即可求m的值； （3）由（2）知y＝2x﹣2，当x＝4时，2x﹣2＝kx即6＝4k，解得k＝，结合题意可得k≥． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+2m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴A（2m，0），B（0，2m）， ∴OA＝OB＝2m， ∵△AOB的面积为8， ∴， ∴m＝2（负数舍去）， ∴m的值为2； （2）由题意，作出Q关于直线l1对称的点Q'， ∵直线l1为y＝﹣x+2m， ∴∠ABO＝45°，且B（0，2m）， ∴BQ'⊥y轴， ∵BQ＝BQ'＝2m﹣1， ∴Q'（2m﹣1，2m）． 由题意，当Q'，C，P在一直线上时，CP+PQ取最小值为CP+PQ'＝CQ'， ∴Q'在直线l2为y＝mx﹣2． ∴m（2m﹣1）﹣2＝2m． ∴m＝﹣（不合题意，舍去）或m＝2； （3）∵m＝2， ∴y＝2x﹣2， 当x＝4时，2x﹣2＝kx即6＝4k，解得k＝， ∵x＜4时，对于x的每一个值，y＝kx的值大于函数y＝2x﹣2的值， ∴k≥． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，其中点A，C的对应点分别为点D，E． （1）如图1，当点D落在BC的延长线上时，连接AD，求AD的长； （2）如图2，连接AD，EC，并延长EC交AD于点F．当EC经过边BD的中点时，试判断四边形ABEF的形状，并证明； （3）在旋转过程中，线段BD，DE分别交射线AC于点M，N．当△ABM为等腰三角形时，求线段MN的长． 【分析】（1）根据旋转的性质得出BD＝AB＝5，从而得出CD的长，再根据勾股定理求得AD的值； （2）连接BF，设BD，EF交于点O，可求得∠DFB＝180°﹣∠BED＝90°，根据直角三角形的性质得出OF＝OE＝BD，从而得出四边形BEDF是平行四边形，从而BE∥AD，根据三角形中位线的性质得出OF∥AB，从而得出结论； （3）分三种情形讨论：当DM＝DN时，∠DMN＝∠ANM，可推出∠AMB＝∠ABM，△DMN∽△ABM，从而AM＝AB＝5，，可求得CM和BM的值，进一步得出结果；当DM＝MN时，可推出AM＝BM，设AM＝BM＝x，则CM＝4﹣x，根据勾股定理列出方程（4﹣x）2+32＝x2，求得x的值，进一步得出结果；当DN＝MN时，此种情况不存在． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE， ∴BD＝AB＝5， ∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2， ∴AD＝； （2）如图1， 四边形ABEF是平行四边形，理由如下： 连接BF，设BD，EF交于点O， ∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE， ∴∠ABD＝∠CBE，AB＝BD，BC＝BE， ∴∠ADB＝∠BAD，∠BEC＝∠BCE， ∴∠ADB＝∠BEC， ∴点D、F、B、E共圆， ∴∠DFB＝180°﹣∠BED＝90°， ∵点O是BD的中点， ∴OF＝OE＝BD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE∥AD， ∵OF是△ABD的中位线， ∴OF∥AB， ∴四边形ABEF是平行四边形； （3）如图2， 当DM＝DN时，∠DMN＝∠ANM， ∵∠BDE＝∠BAC，∠AMB＝∠DMN， ∴∠ABM＝∠DNM， ∴∠AMB＝∠ABM，△DMN∽△ABM， ∴AM＝AB＝5，， ∴CM＝AM﹣AC＝1， ∴BM＝， ∴DM＝BD﹣BM＝5﹣， ∴， ∴MN＝， 如图3， 当DM＝MN时，∠D＝∠DNM， ∵∠A＝∠D，∠DMN＝∠AMB， ∴∠DNM＝∠ABM， ∴∠A＝∠ABM， ∴AM＝BM， 设AM＝BM＝x，则CM＝4﹣x， ∵∠ACB＝90°， ∴CM2+BC2＝BM2， ∴（4﹣x）2+32＝x2， ∴x＝， ∴BM＝， ∴MN＝DM＝BD﹣BM＝5﹣， 如图4， 当DN＝MN时，∠MDN＝∠DMN， ∵∠BAC＝∠MDN，∠AMB＝∠DMN， ∴∠BAC＝∠AMB， ∴AB＝BM， 此时M和D重合，故此种情况不存在， 综上所述：MN＝或． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$