2025年浙江省杭州市第六中学中考数学三模试卷

2025年浙江省杭州六中中考数学三模试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）在0，2，﹣1，四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D． 2．（3分）2025年1月，中国人工智能企业深度求索（DeepSeek）宣布，其研发的智能助手DeepSeek﹣V3的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（　　） A．1.2×107 B．1.2×108 C．1.2×109 D．0.12×108 3．（3分）如图，该三棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3﹣a2＝a B．a4•a2＝a8 C．a3÷a2＝1 D．（a2）4＝a8 5．（3分）某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A．3，3 B．3，4 C．7，3 D．7，4 6．（3分）如果代数式x2﹣2x+5的值为3，那么代数式2x﹣x2的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 7．（3分）如图，△ABC的边长AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜5cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 8．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AB的中点，PE∥AB交BC于点E，若四边形BEPD的面积为5，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 10．（3分）已知反比例函数图象过点A（a，y1），B（2a，y2），C（4a，y3），则下列结论正确的是（　　） A．y1y2y3＜0 B．y3＜y2＜y1 C．y2﹣y1＝y3﹣y2 D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：a2﹣4＝　 　 ． 12．（3分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　 　 ． 13．（3分）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为 　 　 ． 14．（3分）如图，⊙O的切线CD交直径AB的延长线于点D，连结AC，若∠A＝α，则∠D的度数为　 　 ．（用含α的代数式表示） 15．（3分）一辆无人快递车派送社区快递，中途暂停充电一次，充电后比充电前每小时多派送10件快递．派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则中途充电时长为　 　 小时． 16．（3分）如图，矩形ABCD中对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝α，点D绕点O顺时针旋转α得点D′，连结D′B分别交CD、AC于点E、F，若，则的值为 　 　 ． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）解方程：+＝2． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 20．（8分）某校九年级段开展了“数学说题比赛”，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数，单位：分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图： 请你根据图中信息，解答以下问题： （1）本次比赛参赛选手共有　 　 人；扇形统计图中“79.5～89.5”（分）范围的人数占总参赛人数的百分比为　 　 ． （2）赛前规定，参赛选手的成绩由现场说题和现场答辩两项得分按7：3的比例计算得到，并且比赛成绩从高到低排序，前40%的参赛选手获奖，某选手现场说题得分是90分，现场答辩得分是80分，请判断该参赛选手能否获奖，并说明理由． 21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，AD＞AB． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作以AB为边的菱形ABEF，点E，F分别在BC，AD边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连结CF，若CF＝AB＝5，tanD＝2，求AD的长． 22．（10分）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg 时，求总电阻R的值． （2）求I关于总电阻R的函数表达式． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的最大值． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为　 　 ． 24．（12分）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连结BE交AC于点F． （1）若∠DCB＝2∠DAB，求∠EFA的度数． （2）如图2，连接FD，若AF＝FC． ①求证：FE＝FD． ②求证：DC•AB＝AD•BC． 2025年浙江省杭州六中中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B． A D A A B A C D 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）在0，2，﹣1，四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D． 【分析】先根据有理数的大小比较法则比较数的大小，即可得出结论． 【解答】解：∵， ∴最小的数是﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． 2．（3分）2025年1月，中国人工智能企业深度求索（DeepSeek）宣布，其研发的智能助手DeepSeek﹣V3的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（　　） A．1.2×107 B．1.2×108 C．1.2×109 D．0.12×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：120000000＝1.2×108． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）如图，该三棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据直三棱柱的特点作答． 【解答】解：从正面看，是一个矩形，矩形内部有一条纵向的虚线． 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3﹣a2＝a B．a4•a2＝a8 C．a3÷a2＝1 D．（a2）4＝a8 【分析】A．先判断a3，a2是不是同类项，能否合并，然后判断即可； B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可； D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵a3，a2不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵a4•a2＝a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵a3÷a2＝a，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（a2）4＝a8，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则、幂的乘方法则． 5．（3分）某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A．3，3 B．3，4 C．7，3 D．7，4 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数；根据中位数的定义：将数据按照从小到大的顺序排序后，位置在最中间的数值，进行求解即可． 【解答】解：由题意可得：众数是3， 中位数＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了中位数和众数的定义，熟记概念是解题关键． 6．（3分）如果代数式x2﹣2x+5的值为3，那么代数式2x﹣x2的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵x2﹣2x+5＝3， ∴x2﹣2x＝﹣2， ∴当x2﹣2x＝﹣2时，原式＝﹣（x2﹣2x）＝﹣（﹣2）＝2． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 7．（3分）如图，△ABC的边长AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜5cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 【分析】根据平移的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到， 所以CF＝BE，DE＝AB＝4cm， 所以阴影部分的周长为：AD+EC+AC+DE＝BC+AC+DE＝5+3+4＝12（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 8．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【解答】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， ． 故选：A． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键． 9．（3分）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AB的中点，PE∥AB交BC于点E，若四边形BEPD的面积为5，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【分析】连接AP交BC于点F，连接CP，BP，则点C，P，D三点共线，AD＝BD，BF＝CF，在PD的延长线上取一点H，使DH＝DP，连接AH，BH，则PH＝2PD，进而得四边形AHBP是平行边形，由此得PF是△CBH的中位线，则PC＝PH＝2PD，CD＝3PD，设S△CPE＝a，则S△CDB＝5+a，证明△CPB和△CDB相似得＝，由此解出a＝4，则S△CDB＝9，然后根据AD＝BD即可得出△ABC的面积． 【解答】解：连接AP交BC于点F，连接CP，BP， ∵点P是△ABC的重心，点D是边AB的中点， ∴点C，P，D三点共线， ∴AD＝BD，BF＝CF， 在PD的延长线上取一点H，使DH＝DP，连接AH，BH，如图所示： 则PH＝2PD， ∴四边形AHBP是平行边形， ∴BH∥AF， ∵BF＝CF， ∴PF是△CBH的中位线， ∴PC＝PH＝2PD， ∴CD＝PC+PD＝3PD， 设S△CPE＝a， ∵四边形BEPD的面积为5， ∴S△CDB＝5+a， ∵PE∥AB， ∴△CPB∽△CDB， ∴， ∴＝， 解得：a＝4， ∴S△CDB＝5+a＝9， ∵AD＝BD， ∴△ABC的面积为：2S△CDB＝18． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，理解三角形的重心，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10．（3分）已知反比例函数图象过点A（a，y1），B（2a，y2），C（4a，y3），则下列结论正确的是（　　） A．y1y2y3＜0 B．y3＜y2＜y1 C．y2﹣y1＝y3﹣y2 D． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：分别将点A（a，y1），B（2a，y2），C（4a，y3）代入反比例函数得： y1＝，y2＝，y3＝， A、∵k＞0， ∴当a＞0时，y1＝＞0，y2＝＞0，y3＝＞0， ∴y1y2y3＞0，故错误； B、∵k＞0， ∴当a＜0时，＜＜，即y1＜y2＜y3，故错误； C、∵y2﹣y1＝＝﹣，y3﹣y2＝﹣＝﹣ ∴y2﹣y1≠y3﹣y2，故错误； D、∵y1y3＝•＝，＝（）2＝， ∴y1y3＝．故正确． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　 ． 【分析】直接用公式法分解，即可得出答案． 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，直接用公式法分解即可． 12．（3分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　　 ． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：依题意，搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 13．（3分）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为 　　 ． 【分析】根据弧长公式进行求解即可． 【解答】解：弧长l＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l＝． 14．（3分）如图，⊙O的切线CD交直径AB的延长线于点D，连结AC，若∠A＝α，则∠D的度数为　90°﹣2α　 ．（用含α的代数式表示） 【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A＝2α，根据切线的性质得到OC⊥CD，再根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， 由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝2α， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣2α， 故答案为：90°﹣2α． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15．（3分）一辆无人快递车派送社区快递，中途暂停充电一次，充电后比充电前每小时多派送10件快递．派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则中途充电时长为　1　 小时． 【分析】先求出充电前每小时派＝30（件），可得充电后每小时派40件，再求出充电后派送快递数量所用时间，即可求出中途充电时长． 【解答】解：由题意可知，充电前每小时派＝30（件）， 则充电后每小时派：30+10＝40（件）， ， 中途充电时长为：10﹣5﹣4＝1（小时）， 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的图形，利用数形结合的方法是解题的关键． 16．（3分）如图，矩形ABCD中对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝α，点D绕点O顺时针旋转α得点D′，连结D′B分别交CD、AC于点E、F，若，则的值为 　　 ． 【分析】连接OD′，如图，先根据矩形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，OD＝OB＝OA＝OC，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠ODC＝α，再根据旋转的性质得到∠AOD＝∠DOD′＝α，OD′＝OD＝OB，则可计算出∠OBD′＝α，则∠EDB＝∠EBD，所以DE＝BE，接着证明△CEF∽△ABF得到＝，设CF＝3a，OF＝2a，则AF＝7a，所以＝＝，设CE＝3x，AB＝CD＝7x，则DE＝BE＝4x，然后利用勾股定理计算出BC，从而得到的值． 【解答】解：连接OD′，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，OD＝OB＝OA＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD＝∠AOD＝α， ∵点D绕点O顺时针旋转α得点D′， ∴∠AOD＝∠DOD′＝α，OD′＝OD＝OB， ∴∠OBD′＝∠OD′B＝∠DOD′＝α， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴＝， ∵＝， ∴设CF＝3a，OF＝2a， ∴AF＝OA+OF＝OC+OF＝5a+2a＝7a， ∴＝＝， 设CE＝3x，AB＝7x， ∴CD＝7x， ∴DE＝CD﹣CE＝7x﹣3x＝4x， ∴BE＝DE＝4x， 在Rt△BCE中，BC＝＝＝x， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17．（8分）计算：． 【分析】利用负整数指数幂，绝对值的定义，立方根的定义计算即可． 【解答】解：原式＝3﹣2﹣1＝0． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（8分）解方程：+＝2． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x﹣3﹣1＝2x﹣4， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 【分析】（1）由BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，得∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠A＝∠A，AB＝AC，即可根据“AAS”证明△AEB≌△ADC； （2）由∠BEC＝90°，∠EBC＝35°，求得∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°，则∠ABC＝∠ACB＝55°，所以∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝20°． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（AAS）． （2）解：∵∠BEC＝90°，∠EBC＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝55°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝55°﹣35°＝20°， ∴∠ABE的度数是20°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠AEB＝∠ADC，进而证明△AEB≌△ADC是解题的关键． 20．（8分）某校九年级段开展了“数学说题比赛”，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数，单位：分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图： 请你根据图中信息，解答以下问题： （1）本次比赛参赛选手共有　50　 人；扇形统计图中“79.5～89.5”（分）范围的人数占总参赛人数的百分比为　36%　 ． （2）赛前规定，参赛选手的成绩由现场说题和现场答辩两项得分按7：3的比例计算得到，并且比赛成绩从高到低排序，前40%的参赛选手获奖，某选手现场说题得分是90分，现场答辩得分是80分，请判断该参赛选手能否获奖，并说明理由． 【分析】（1）根据两个统计图中，“89.5﹣99.5”的频数为8+4＝12人、所占调查人数的24%，由“频率＝频数÷总数”可求出调查人数；求出“59.5﹣69.5”所占的百分比，由各组频率之和为100%，可求出答案； （2）求出成绩由高到低前40%的人数，再根据加权平均数公式解答即可． 【解答】解：（1）（8+4）÷24%＝50（人）， “59.5﹣69.5”所占的百分比为（2+3）÷50＝10%， ∴“79.5﹣89.5”所占的百分比为1﹣10%﹣30%﹣24%＝36%， 故答案为：50，36%； （2）获奖人数为50×40%＝20（人）， 该手现的得分为：＝87（分）， 4+8+8＝20（人）， 即该手现的得分能进入前20名，所以该参赛选手能获奖． 【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握“频率＝频数÷总数”是得出正确答案的关键． 21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，AD＞AB． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作以AB为边的菱形ABEF，点E，F分别在BC，AD边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连结CF，若CF＝AB＝5，tanD＝2，求AD的长． 【分析】（1）分别以A，B为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，交BC于点E，连接EF即可； （2）过点C作CH⊥DF于点H，求出DH＝FH＝可得结论． 【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求； （2）过点C作CH⊥DF于点H． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵CF＝AB＝5， ∴CD＝AB＝5， ∵tanD＝＝2， ∴CH＝2，DH＝， ∵CF＝CD，CH⊥DF， ∴FH＝DH＝， ∵四边形ABEF是菱形， ∴AF＝AB＝5， ∴AD＝AF+DF＝5+2． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22．（10分）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg 时，求总电阻R的值． （2）求I关于总电阻R的函数表达式． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【分析】（1）根据图3，用待定系数法求出可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的函数解析式，再求出R即可； （2）用待定系数法求出电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式即可； （3）根据一次函数和反比例函数的性质求出当0.15≤I≤0.5时x的最大值． 【解答】解：（1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系为一次函数关系， 设R1＝mx+b（m≠0）， 把（0，32），（3.2，0）代入解析式得：， 解得， ∴R1＝﹣10x+32， 当x＝1.2时，R1＝﹣10×1.2+32＝20， 此时R＝R1+R2＝20+10＝30（Ω）， （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I＝， 由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I＝； （3）∵I＝， ∴R＝， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40， 此时R1取得最大值30； 当T＝0.5时，R取得最小值，最小值为12， 此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3， 答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用和一次函数的应用，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为　t≥2　 ． 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）利用图象上点的坐标特征求解即可； （3）利用抛物线的对称性求得点A（﹣1，m）关于对称轴的对称点为（1+t，m），然后根据题意得到关于t的不等式，解不等式即可． 【解答】（1）解：当t＝2时，则y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）证明：∵二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． ∴m＝1+t﹣2＝t﹣1，n＝4﹣2t﹣2＝2﹣2t＝2（1﹣t）， ∴mn＝（t﹣1）•2（1﹣t）＝﹣2（t﹣1）2， ∵（t﹣1）2≥0， ∴﹣2（t﹣1）2≤0，即mn≤0． （3）解：二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝， ∴点A（﹣1，m）关于对称轴的对称点为（1+t，m）， ∵当2＜x＜3时，都有n＜y＜m， ∴1+t≥3， ∴t≥2， 故答案为：t≥2． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 24．（12分）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连结BE交AC于点F． （1）若∠DCB＝2∠DAB，求∠EFA的度数． （2）如图2，连接FD，若AF＝FC． ①求证：FE＝FD． ②求证：DC•AB＝AD•BC． 【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质求得∠BAD＝60°，利用圆周角定理和平行线的性质解答即可得出结论； （2）①连接AE，利用圆的平行弦所夹的弧相等的性质和等式的性质得到AE＝CD，，则，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②连接AE，延长DF交⊙O于点G，连接CG，BG，AG，利用全等三角形的性质得到∠AEF＝∠CDF，利用圆周角定理和等式的性质得到，则AB＝CG，，可得，则AG＝BC，∠ACG＝∠BGC，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可得出结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠DCB＝2∠DAB， ∴2∠BAD+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝60°， ∵∠DEB＝∠BAD， ∴∠DEB＝60°． ∵DE∥AC， ∴∠EFA＝∠DEB＝60°； （2）①证明：连接AE，如图， ∵DE∥AC， ∴， ∴AE＝CD，， ∴， ∴∠EAC＝∠DCA． 在△EAF和△DCF中， ， ∴△EAF≌△DCF（SAS）， ∴FE＝FD． ②证明：连接AE，延长DF交⊙O于点G，连接CG，BG，AG，如图， 由（2）①知：△EAF≌△DCF， ∴∠AEF＝∠CDF， ∴， ∴AB＝CG，， ∴， ∴AG＝BC，∠ACG＝∠BGC， ∵∠CDG＝∠CAG，∠DFC＝∠AFG， ∴△DFC∽AFG， ∴， ∴． ∵∠ADG＝∠ACG，∠AFD＝∠GFC， ∴△ADF∽△GCF， ∴， ∴． ∵AF＝FC， ∴， ∴， ∴DC•AB＝AD•BC． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，圆的平行弦的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$