2025年黑龙江省大庆市靓湖学校中考数学三模试卷

2025年黑龙江省大庆市靓湖学校中考数学三模试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各式中，对任意实数a都成立的是（　　） A． B． C． D．若a2＝b2，则 4．（3分）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　） A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 6．（3分）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形．这种检测方法用到的数学根据是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B． C． D． 8．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 9．（3分）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于x的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.0000823米，将0.0000823用科学记数法表示为 　 　 ． 13．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝35°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为　 　 ． 14．（3分）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　 　 ． 15．（3分）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　 ． 16．（3分）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是 　 　 ． 17．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标为，则点Q的横坐标为 　 　 ． 18．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，平面内有一动点P，且．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°，使，得到线段PQ．连接CQ、DQ，则的最小值为　 　 ． 三、解答题解答题（本大题共10小题，共66分） 19．（4分）计算：． 20．（4分）求满足不等式组的所有整数解的和． 21．（5分）先化简，再求值：，其中． 22．（6分）图①中的大庆湿地观光塔．某直升飞机于空中A处探测到大庆湿地观光塔，此时飞行高度AB约为1124m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求大庆湿地观光塔的高度CD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 23．（7分）联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 　 　 ，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是 　 　 分，中位数是 　 　 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 　 　 ； （3）已知该校七、八年级共有学生1040人，若竞赛成绩在85﹣95（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 24．（7分）在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜．某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“迅捷”模型的成本比“灵巧”模型低20%，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的成本各多少元？ （2）该机器人模型店计划购买两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购买“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 25．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若菱形ABCD的面积为120，OE＝5，求AE的长． 26．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形OCDE的面积； （3）直接写出的x的取值范围 　 　 ． 27．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 28．（9分）如图①，抛物线y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点D是抛物线第四象限上一点，连接AD交BC于点E，求当的值最大时点D的坐标． （3）平移抛物线使它的顶点为（0，1），如图②，点R是y轴上一个定点，以点R为直角顶点作Rt△RST，使点S、T分别在x轴上和抛物线上，若Rt△RST在变化的过程中，直线ST与抛物线始终有唯一公共点，求R点的坐标． 2025年黑龙江省大庆市靓湖学校中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C B C D C A 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，由此计算即可． 【解答】解：的倒数是﹣2025， 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，数学常识，熟练掌握互为倒数的定义是解题的关键． 2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形与轴对称图形的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据中心对称图形与轴对称图形定义，逐项分析判断如下： A、它是中心对称图形，也是轴对称图形； B、它是中心对称图形，不是轴对称图形； C、它是轴对称图形，不是中心对称图形； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是关键． 3．（3分）下列各式中，对任意实数a都成立的是（　　） A． B． C． D．若a2＝b2，则 【分析】根据二次根式乘法以及二次根式的性质分别判断． 【解答】解：A、当a为负数时，无意义，故错误； B、当a为负数时，无意义，故错误； C、＝|a|，等式成立，故正确； D、当a为负数时，无意义，故错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，二次根式的基本性质：①a≥0； ≥0（双重非负性）．②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a（a≥0）（算术平方根的意义）． 4．（3分）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看，可得选项C的图形． 故选：C． 【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 5．（3分）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　） A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 【分析】根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B不符合题意； 添加一个数8后方差为：[（11﹣8）2+（9﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（6﹣8）2]， 即添加一个数8后方差改变，故C选项符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了方差，平均数，众数，熟练掌握定义是解答本题的关键． 6．（3分）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形．这种检测方法用到的数学根据是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】依题意，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需判定这个平行四边形是矩形即可，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 【点评】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟知矩形的判定方法是解答的关键． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B． C． D． 【分析】设⊙O与AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，连接OC、OE、OF、OG，由∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，求得AB＝13，设OE＝OF＝OG＝r，则×5r+×12r+×13r＝×5×12，求得r＝2，由∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，求得∠OAB+∠OBA＝45°，则∠AOB＝135°，即可根据扇形的面积公式求得S阴影＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：设⊙O与AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，连接OC、OE、OF、OG， ∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝＝＝13，∠CAB+∠CBA＝90°， 设OE＝OF＝OG＝r，OA交⊙O于点L，OB交⊙O于点K， ∵S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，且OE⊥AC，OF⊥BC，OG⊥AB， ∴×5r+×12r+×13r＝×5×12， 解得r＝2， ∵∠OAB＝∠OAC＝∠CAB，∠OBA＝∠OBC＝∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°，即∠LOK＝135°， ∴S阴影＝＝， 故选：C． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出⊙O的半径及阴影部分扇形的圆心角的度数是解题的关键． 8．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可． 【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x， 由勾股定理得：AB＝＝5x， ∵△ABC的周长为12， ∴3x+4x+5x＝12， 解得：x＝1， ∴AC＝4，BC＝3，AB＝5， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50， 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50， 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50， …… 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键． 9．（3分）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①②根据对数的定义计算即可； ③设log827＝x，log23＝y，根据对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则证明即可； ④设log2x＝a，log2y＝b，根据对数的定义及同底数幂的除法运算法则证明即可． 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0， ∴①正确，符合题意； ∵log2（14+a）＝4， ∴24＝14+a， ∴a＝2， ∴②不正确，不符合题意； 设log827＝x，log23＝y， 则8x＝27，2y＝3， ∴23x＝（2x）3＝33， ∴2x＝3， ∴2x＝2y， ∴x＝y， ∴log827＝log23， ∴③正确，符合题意； 设log2x＝a，log2y＝b， 则x＝2a，y＝2b， ∴＝＝2a﹣b， ∴log2＝a﹣b， ∴log2＝log2x﹣log2y， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的个数为3，分别是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 10．（3分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于x的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由方程由|x|﹣3＝得k＝x（|x|﹣3），然后利用分段函数，作出函数的图象，利用图象确定k的取值范围即可． 【解答】解：由|x|﹣3＝得k＝x（|x|﹣3）， 则k＝， 当x＞0时，k＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣，方程中x2﹣3x＝k的两根和为3， 当x＜0时，k＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，方程中﹣x2﹣3x＝k的两根和为﹣3， 作出函数k＝x（|x|﹣3）的图象如图： 由图象知若关于x的方程|x|﹣3＝有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则0＜k＜． 故k的取值范围是：0＜k＜． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 　x＜3　 ． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：3﹣x＞0， 解得：x＜3． 故答案为：x＜3． 【点评】本题考查了函数的自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．（3分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.0000823米，将0.0000823用科学记数法表示为 　8.23×10﹣5　 ． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000823＝8.23×10﹣5． 故答案为：8.23×10﹣5． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝35°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为　125°　 ． 【分析】根据三角形的外角性质求出∠DBC，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α＝35°， 则∠DBC＝90°+35°＝125°， ∵OE∥AD， ∴β＝∠DBC＝125°， 故答案为：125°． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 14．（3分）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　　 ． 【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【解答】解：由题意得， 共有2×3＝6种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种， 故一次打开锁的概率为＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键． 15．（3分）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是　x3＝﹣4，x4＝﹣1　 ． 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣2或x+2＝1， 解得x＝﹣4或x＝﹣1． 故答案为：x3＝﹣4，x4＝﹣1． 【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 16．（3分）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是 　m＞1且m≠3　 ． 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可 【解答】解：， 去分母得：m﹣3＝x﹣2， 解得：x＝m﹣1， ∵分式方程的解为正实数， ∴x＞0且x﹣2≠0， ∴m﹣1＞0且m﹣1﹣2≠0， 解得：m＞1且m≠3． 故答案为：m＞1且m≠3． 【点评】此题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是关键． 17．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标为，则点Q的横坐标为 　　 ． 【分析】连接DP，DE，由正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，证明△DAP≌△BAP，得到DP＝BP，则可推出当D、E、P三点共线时，PD+PE有最小值，即此时y有最小值，最小值为DE的长，在图②中，图象上最低点Q的坐标为，则y最小值＝DE＝2；由勾股定理可得DE＝＝AE＝2，则AE＝2，即AB＝4，再根据AE∥CD，＝＝＝2，然后求出PC即可． 【解答】解：四边形ABCD是正方形，如图，连接DB，DP， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°， 在△DAP和△BAP中， ， ∴△DAP≌△BAP（SAS）， ∴DP＝BP， ∴y＝PE+PB＝PD+PE， ∵PD+PE≥DE， ∴当D、E、P三点共线时，PD+PE有最小值，即此时y有最小值，最小值为DE的长， ∵图②中，图象上最低点Q的纵坐标为2， ∴y最小值＝DE＝2， ∵点E是AB的中点， ∴AD＝AB＝2AE， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE＝＝AE＝2， ∴AE＝2， ∴AB＝4， ∴正方形ABCD的边长为4， ∴AC＝AB＝4， ∵AE∥CD， ∴＝＝＝2， ∴PC＝2AP， ∴PC＝AC＝， ∴点Q的横坐标为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 18．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，平面内有一动点P，且．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°，使，得到线段PQ．连接CQ、DQ，则的最小值为　5　 ． 【分析】连接AC，证明△BPC∽△AQC，求出AQ＝2，可知Q点在以A为圆心，2为半径的圆上，在AD上取AE＝1，连接EQ，再证明△AEQ∽△AQD，得到QE＝QD，连接CE，可得＝QE+CQ≥CE，在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE＝＝5，即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵AB＝3，BC＝4， ∴AC＝3， ∴tan∠ACB＝， ∵PQ＝PC， ∴tan∠PCQ＝， ∴∠PCQ＝∠ACB， ∴∠BCP＝∠ACQ， ∵， ∴△BPC∽△AQC， ∴， ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q点在以A为圆心，2为半径的圆上， 在AD上取AE＝1，连接EQ， ∴＝， ∵， ∵∠EAQ＝∠DAQ， ∴△AEQ∽△AQD， ∴， ∴QE＝QD， 连接CE， ∴＝QE+CQ≥CE， ∵CE＝＝5， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握矩形的性质，构造三角形相似，确定Q点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题解答题（本大题共10小题，共66分） 19．（4分）计算：． 【分析】利用负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式化简等性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（4分）求满足不等式组的所有整数解的和． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，再按要求求出所有的整数解的和即可． 【解答】解：解不等式①得，x＞﹣2； 解不等式②得，x≤3， 所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤3， 则不等式组的所有整数解的和为：﹣1+0+1+2+3＝5． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 21．（5分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，再约分，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ＝• ＝• ＝• ＝， 当a＝+1时，原式＝＝． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22．（6分）图①中的大庆湿地观光塔．某直升飞机于空中A处探测到大庆湿地观光塔，此时飞行高度AB约为1124m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求大庆湿地观光塔的高度CD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】延长DC交AE于点F，则DF⊥AE，根据题意可得：DF＝AB≈1124米，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：延长DC交AE于点F，则DF⊥AE， 由题意得：DF＝AB≈1124米， 在Rt△ADF中，∠FAD＝45°， ∴AF＝＝1124（米）， 在Rt△ACF中，∠EAC＝37°， ∴CF＝AF•tan37°≈1124×0.75＝843（米）， ∴CD＝DF﹣CF＝1124﹣843＝281（米）， ∴大庆湿地观光塔的高度CD约为281米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（7分）联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 　80　 ，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是 　90　 分，中位数是 　92.5　 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 　27°　 ； （3）已知该校七、八年级共有学生1040人，若竞赛成绩在85﹣95（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 【分析】（1）根据“95分”的频数为24，占调查人数的30%，可求出调查总人数，进而求出“90分”的人数，并补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的意义进行判断及扇形圆心角计算方法计算即可； （3）求出样本中“竞赛成绩在85﹣95”所占得百分比即可． 【解答】解：（1）24÷30%＝80（人），80﹣8﹣6﹣24﹣16＝26（人）， 故答案为：80，补全条形统计图如图所示： （2）这80名学生成绩出现次数最多的是90，因此众数是90分， 将这80名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是90分和95分，因此中位数是92.5分， α＝°＝27°， 故答案为：90，92.5，27； （3）样本中“竞赛成绩在85﹣95”所占得百分比乘1040可得： 1040×＝728（人）， 答：该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有728人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量关系是正确解答的关键． 24．（7分）在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜．某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“迅捷”模型的成本比“灵巧”模型低20%，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的成本各多少元？ （2）该机器人模型店计划购买两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购买“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设“灵巧”模型的成本为x元，将“迅捷”模型的成本用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）购进“迅捷”模型（120﹣a）个，根据题意列关于a的一元一次不等式并求其解集，写出w关于a的函数关系式，根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时w值最大，求出其最大值即可． 【解答】解：（1）设“灵巧”模型的成本为x元，则“迅捷”模型的成本为（1﹣20%）x＝0.8x（元）． 根据题意，得﹣＝2， 解得x＝25， 经检验，x＝25是所列分式方程的根， 0.8×25＝20（元）． 答：“灵巧”模型的成本为25元，“迅捷”模型的成本为20元． （2）购进“迅捷”模型（120﹣a）个， 根据题意，得a≤（120﹣a）， 解得a≤30， w＝（35﹣25）a+（27﹣20）（120﹣a）＝3a+840， ∵3＞0， ∴w随a的增大而增大， ∵a≤30， ∴当a＝30时w值最大，w最大＝3×30+840＝930． 答：购进“灵巧”模型30个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是930元． 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 25．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若菱形ABCD的面积为120，OE＝5，求AE的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，进而证明BC＝EF，再证明四边形AEFD是平行四边形，进而证明证明∠AEF＝90°，然后由矩形的判定即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，再求出AC＝10，则OC＝5，进而求出BD＝24，则OB＝12，然后由勾股定理求出BC＝13，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝10， ∴OC＝5， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝×10×BD＝120， ∴BD＝24， ∴OB＝BD＝12， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝13， 又∵S菱形ABCD＝BC•AE＝13AE＝120， ∴AE＝， 即AE的长为． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键． 26．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形OCDE的面积； （3）直接写出的x的取值范围 　x＜﹣6或﹣2＜x＜0　 ． 【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用△AOC的面积减去△AED的面积求解； （3）根据两函数图象的交点坐标即可得到结论． 【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝中， k2＝﹣6×2＝﹣12， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； 过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴， ∵DE∥OC， ∴△ADE∽△ACO， ∴＝， ∴CN＝3DM＝6， 将y＝6代入y＝﹣中， 得﹣＝6， 解得：x＝﹣2， ∴C点坐标为（﹣2，6）， 将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+8； （2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx， 将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6， 解得：m＝﹣3， ∴直线OC的解析式为y＝﹣3x， 由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n， 将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2， 解得：n＝﹣16， ∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16， 当y＝0时，﹣3x﹣16＝0， 解得：x＝﹣， ∴E点坐标为（﹣，0）， ∴OE＝， 在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0， 解得：x＝﹣8， ∴A点坐标为（﹣8，0）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣＝， S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED ＝﹣ ＝×8×6﹣××2 ＝24﹣ ＝； （3）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象C（﹣2，6），D（﹣6，2）两点， ∴的x的取值范围是x＜﹣6或﹣2＜x＜0， 故答案为：x＜﹣6或﹣2＜x＜0， 【点评】本题是反比例函数综合题，考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 27．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC＝OF即可； （2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D＝＝； （3）由（2）可知，AC2＝AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度． 【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F， ∵AO平分∠CAB， OC⊥AC，OF⊥AB， ∴OC＝OF， ∴AB是⊙O的切线； （2）如图，连接CE， ∵ED是⊙O的直径， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ECO+∠OCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ECO＝90°， ∴∠ACE＝∠OCD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ACE＝∠ODC， ∵∠CAE＝∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， ∵tan∠D＝， ∴＝， ∴＝； （3）由（2）可知：＝， ∴设AE＝x，AC＝2x， ∵△ACE∽△ADC， ∴， ∴AC2＝AE•AD， ∴（2x）2＝x（x+6）， 解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去）， ∴AE＝2，AC＝4， 由（1）可知：AC＝AF＝4， ∠OFB＝∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△OFB∽△ACB， ∴＝， 设BF＝a， ∴BC＝， ∴BO＝BC﹣OC＝﹣3， 在Rt△BOF中， BO2＝OF2+BF2， ∴（﹣3）2＝32+a2， ∴解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去）， ∴AB＝AF+BF＝． 【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高． 28．（9分）如图①，抛物线y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点D是抛物线第四象限上一点，连接AD交BC于点E，求当的值最大时点D的坐标． （3）平移抛物线使它的顶点为（0，1），如图②，点R是y轴上一个定点，以点R为直角顶点作Rt△RST，使点S、T分别在x轴上和抛物线上，若Rt△RST在变化的过程中，直线ST与抛物线始终有唯一公共点，求R点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点D作DM∥y轴交BC于点M，过点A作AN∥y轴交于N点，设D（t，t2﹣t﹣3），则M（t，t﹣3），则＝＝﹣（t﹣3）2+，当t＝3时，有最大值，此时D（3，﹣）； （3）先求平移后的抛物线解析式为y＝x2+1，设T（m，m2+1），求得直线ST的解析式为y＝kx+m2+1﹣km，当kx+m2+1﹣km＝x2+1时，由直线ST与抛物线始终有唯一公共点，则Δ＝k﹣4×（﹣m2+km）＝0，解得k＝m，则直线ST的解析式为y＝mx﹣m2+1，过T点作TQ⊥y轴交于Q点，可证明△RTQ∽△SRO，设R（0，r），由＝，整理得m2（2﹣r）＝4r﹣4r2+8，再由T点运动时，r的值与点T的位置无关，可得2﹣r＝0，从而求出R点坐标即可． 【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2﹣bx﹣3中， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣x﹣3； （2）过点D作DM∥y轴交BC于点M，过点A作AN∥y轴交于N点， ∴＝， ∵B（6，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴N（﹣2，﹣4）， ∴AN＝4， 设D（t，t2﹣t﹣3），则M（t，t﹣3）， ∴MD＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t， ∴＝＝﹣（t﹣3）2+， 当t＝3时，有最大值，此时D（3，﹣）； （3）∵平移抛物线顶点为（0，1）， ∴y＝x2+1， 设T（m，m2+1）， 设直线ST的解析式为y＝kx+b'， ∴m2+1＝km+b'， 解得b'＝m2+1﹣km， ∴y＝kx+m2+1﹣km， 当kx+m2+1﹣km＝x2+1时，整理得x2﹣kx﹣m2+km＝0， ∵直线ST与抛物线始终有唯一公共点， ∴Δ＝k﹣4×（﹣m2+km）＝0， 解得k＝m， ∴直线ST的解析式为y＝mx﹣m2+1， 当y＝0时，解得x＝m﹣， 过T点作TQ⊥y轴交于Q点， ∵∠SRT＝90°， ∴∠TRQ+∠SRO＝90°， ∵∠RTQ+∠TRQ＝90°， ∴∠SRO＝∠RTQ， ∴△RTQ∽△SRO， ∴， 设R（0，r）， ∴＝， 整理得m2（2﹣r）＝4r﹣4r2+8， ∵T点运动时，r的值与点T的位置无关， ∴2﹣r＝0， 解得r＝2， ∴R（0，2）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$