第十三章三角形单元练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 单元练习 一、单选题 1．在下列四组线段中，不能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知中，，则的长度可能为（   ） A． B． C． D． 3．将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 5．如图，已知、把长方形分割成四个小长方形，若已知三角形和三角形的面积，则一定能求出（    ） A．长方形与长方形的面积之和 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之差 6．已知、、是平面直角坐标系中的点，直线交x轴于，则的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．无法确定 7．河津龙门黄河大桥，被称为“三晋第一桥”，是我省里程最长的桥，也是黄河上跨径最大的斜拉桥．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 9．如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 10．将一副三角板按如图放置，其中，给出下列结论：①如果与互余，则；②如果，则有；③；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 二、填空题 11．现有长度为和的木棒，再从长度为，，的木棒中选取一根，使得三根木棒能够拼出三角形，则选取的木棒长度应是 ． 12．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 13．如图，已知，E是直线上方一点，G为直线下方一点，F为直线上一点，，，，则和的数量关系为 ． 14．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 15．如图，三角形的面积为1，D，E为的三等分点，F，G为的三等分点，那么四边形的面积是 ． 三、解答题 16．如图； 是中的外角平分线，请说明 17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F． (1)画出平移后的三角形DEF； (2)线段、之间关系是___________． (3)作出点A到的距离． 18．如图，的顶点在直线上，连接． (1)若，求的度数． (2)若，判断的形状并说明理由． 19．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 20．如图，，点E，点F分别为上一点，，平分，平分交的反向延长线于点N． (1)求证：； (2)若比大，求的度数； (3)若平分，平分，过点B作，用等式直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 单元练习2025-2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A B B C A B D 1．D 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两条较短线段的长度之和是否大于较长的线段的长即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故选D． 2．C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理， 根据三角形三边关系定理，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 【详解】解：已知中，， 设的长度为， 根据三角形三边关系得：的取值范围为． 故选C． 3．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解本题的关键． 先根据平行线的性质得出，求出，根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，， 故选：A 4．A 【分析】本题考查的是面积法求三角形的高．熟练掌握三角形的面积公式，垂线段最短．是解题的关键． 当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：当时，最小， ∵三角形中，， ∴， ∴． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了长方形面积和三角形面积的应用及计算，将左边图形连接、、，分割出由三角形组合的图形，结合题意可得，，从而可得，同理求出，相减得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：将左边图形连接、、，分割出由三角形组合的图形， ， 结合题意可得：，， ∴； 将右边图形连接、、，分割出由三角形组合的图形， 结合题意可得：，， ∴； ∴， ∴， ∵已知三角形和三角形的面积， ∴一定能求出长方形与长方形的面积之差， 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查坐标与图形，分点和点在的同侧和异侧两种情况结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：①若点和点在的同侧时，如图， ∵、， ∴， 又、， ∴； ②若点和点在的异侧时，如图， ∴， 综上，的面积为20， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查的是三角形的稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性作答即可. 【详解】解：桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是：三角形具有稳定性， 故选：C 8．A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质． 根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出，利用三角形的内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 、分别平分、， ，， ，， ， 、CE分别平分、， ， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查根据中线求三角形的面积，解题关键是当两个三角形的高相同时，需知道面积之比等于底之比；且当三角形面积不容易直接求出时，注意转化思想的使用． 根据，可求分别求出和，和的比例关系，再通过公共四边形, 可知，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理，由， 得， ∴， ∴． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定，角的和差运算，熟练的利用三角形的内角和与角的和差关系进行计算是解本题的关键． 求解，可得，证明，可得，故①符合题意； 如图，记的交点为，求解，可得不垂直，故②不符合题意；由，可得③符合题意；求解，证明，可得，故④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； 如图，记的交点为， ， ， ， ∴不垂直，故②不符合题意； 由， ∴③符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④符合题意． 综上，①③④符合题意． 故选：B． 11．5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三根木棒长度的取值范围，即可求解． 【详解】解：现有木棒的长度为和， 第三根木棒的长度， 即：第三根木棒的长度， 选取的木棒长度应是， 故答案为：5． 12．/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了平行线的拐点问题，涉及到了三角形外角的性质，解题关键是牢记平行线的性质，本题通过构造同位角和内错角进行角的转化即可求解． 【详解】解：延长和分别交和于点H，点K， 因为， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 15． 【分析】本题主要考查三角形中线，代数式，二元一次方程组；连接，设，，根据题意得到关于的二元一次方程组，求出的值，再根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， 设，， 因为F是的三等分点， 所以． 因为E是的三等分点，所以． 又因为，， 所以 解得，， ． 故答案为：． 16．见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．根据是中的外角平分线，得出，根据外角性质得出，即可得出，根据外角性质得出，即可得出． 【详解】解：∵是中的外角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【点睛】 17．(1)作图见解析 (2)平行且相等 (3)作图见解析 【分析】本题考查作图——平移变换，平移的性质，垂线，利用数形结合的思想是解题关键 （1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可； （2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出，． （3）根据网格结构特征和三角形的高的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 即为所作； （2）解：如图所示，连接． 如图，由平移的性质即可得出，，． 故答案为：平行且相等． （3）如图所示：线段即为所求 18．(1)60° (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和直角三角形的判定方法． （1）利用三角形内角和定理，结合已知角的关系求解角度． （2）根据直角三角形的判定条件，结合已知角的关系判断三角形形状． 【详解】（1）解：的内角和是， ． ， ． ； （2）是直角三角形．理由如下： 的内角和是， ． ， ， ， 是直角三角形． 19．（1）;（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 20．(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）过G作，得，证明． 设，的交点为P， ，，，根据题意列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过G作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， 设，的交点为P， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 解得， ∴， ∴． （3）解：或． 理由如下： 根据（1）的结论，得， 设，， ∴， ∵， ∴ 解得， 同理可证，， 延长交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证，当点E在店B的右侧时，， 综上所述，关系为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$