专题03 实数重难点题型专训（5个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题03 实数重难点题型专训 （5个知识点+15大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示 题型二 无理数 题型三 求一个数的近似数 题型四 求近似数的精确度 题型五 无理数的大小估算 题型六 实数的分类 题型七 实数的性质 题型八 实数与数轴 题型九 实数的大小比较 题型十 实数的混合运算 题型十一 程序设计与实数运算 题型十二 新定义下的实数运算 题型十三 无理数整数部分的有关计算 题型十四 实数运算的实际运用 题型十五 与实数运算相关的规律题 拓展训练一 勾股定理与无理数 拓展训练二 无理数估算的几何问题 拓展训练三 实数的规律探究问题 知识点一、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，是无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．无限不循环小数称为无理数．根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； C、，是整数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； D、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个； 故答案为：1． 知识点二、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母不为零， 即， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）有理数和无理数统称为 【答案】实数 【分析】本题主要考查时数的有关概念，掌握并熟练运用概念是解题的关键。实数可分为有理数和无理数. 【详解】解：因为实数可分为有理数和无理数， 所以理数和无理数统称实数. 故答案为：实数. 知识点三、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）在实数，，0，，中无理数有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 无理数有：，，共2个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，0，，，，，，中，分数有 个． 【答案】5 【分析】分数有正分数和负分数，有限小数和无限循环小数也为分数，据此判断即可． 【详解】解：分数有，，，，，共5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了分数的识别，熟知分数有正分数和负分数，有限小数和无限循环小数也为分数是解题的关键． 知识点四、实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2025·上海虹口·模拟预测）在，，0，这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小的数为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）若，，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小，先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 【详解】解：由题可得： ，，， ， ， 故答案为：． 【经典例题一 用科学记数法表示】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的运算．通过提取公因数简化计算后，将结果调整为标准的科学记数法形式． 【详解】解： ， 因此，结果为，故C正确． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）年春节期间，北京市共接待游客万人次，旅游总收入为亿元人民币．数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；先将万化为原数，再确定，，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）用科学记数法表示，应记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用半径除以时间，得出“天宫一号”平均每天要飞行距离，再用用科学记数法表示即可． 【详解】解：千米千米， ∴“天宫一号”平均每天要飞行距离（千米）， 7480000用科学记数法表示为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 4．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． （1）将写成其中，n为整数的形式即可； （2）将写成其中，n为整数的形式即可； （3）将写成其中，n为整数的形式即可； （4）将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【经典例题二 无理数】 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．25 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：25是整数，，是分数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）在实数，，0，，，，，2.6161161116…（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】：是无理数，乘以2后仍为无理数； ：是无理数，除以2后仍为无理数； 0：整数，属于有理数； ：3不是完全平方数，是无理数； ：是有限小数，属于有理数； ：，整数，属于有理数； ：分数形式，属于有理数； 2.6161161116…（相邻两个6之间1的个数逐次加1）：无限不循环小数，属于无理数， 综上，无理数共4个， 故选D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在实数2，中，有理数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数识别、算术平方根、实数运算等知识，理解有理数和无理数的定义是解题关键．首先判断四个实数中的无理数和有理数，然后根据算术平方根的定义性质以及实数加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故这组实数中，为无理数，2，为有理数， 则有理数的和为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）下列说法：①任何数都有倒数；②16的平方根是4；③两个无理数的和一定是无理数；④近似数10.8万精确到千位；⑤算术平方根是本身的数是0，其中正确的为 ． 【答案】④ 【分析】根据倒数、平方根、无理数、近似数及算术平方根的概念分别进行判断即可得出答案 【详解】解：①根据0没有倒数，故原说法错误； ②16的平方根是，故原说法错误； ③两个无理数的和一定是无理数的说法错误，比如，故原说法错误； ④近似数10.8万精确到千位，故原说法正确； ⑤算术平方根是本身的数是0及1，故原说法错误． 故说法正确的有1个， 故答案为：④． 【点睛】此题主要考查了倒数、平方根、无理数、近似数及算术平方根，熟练掌握有关概念是解题关键． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值不唯一，x=3或x=27 (3)存在，1，0，或-1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）立方根逆运算即可． （3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1． 【详解】（1）， 则y=； （2）答案不唯一． x＝或 x＝． 故答案是3或27． （3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数， ∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值 【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键． 【经典例题三 求一个数的近似数】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期末）用四舍五入法将精确到，所得近似数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，将千分位上的数字进行四舍五入，即可作答． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是（   ） A．1.9 B．1.90 C．1.905 D．1.904 【答案】B 【分析】本题考查近似数，精确到百分位时，需观察千分位上的数，“四舍五入”即可． 【详解】解：近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是1.90． 故选B． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是， 故答案为： 3．（2025八年级上·上海·专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435（保留三个有效数字） ≈ ； （2）12.975（精确到百分位） ≈ ； （3）548203（精确到千位） ≈ ； （4）5365573（保留四个有效数字）≈ ． 【答案】 0.00844 12.98 【分析】（1）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得； （2）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得； （3）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得； （4）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得． 【详解】解：（1）保留三个有效数字：， （2）精确到百分位：， （3）精确到千位：， （4）保留四个有效数字：， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了有效数字和精确度，熟记各定义是解题关键． 4．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数的精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． （1）直接对十万分位上的数字7进行四舍五入即可； （2）直接对十分位上的数字1进行四舍五入即可； （3）直接对千分位上的数字6进行四舍五入即可； （4）直接对万分位上的数字1进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到）。 （2）解：（精确到个位）。 （3）解：（精确到）。 （4）解：（精确到千分位）。 【经典例题四 求近似数的精确度】 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数精确到千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，精确度就是表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位．根据精确度的含义逐一分析即可． 【详解】解：A. 近似数精确到，故该选项不正确，不符合题意；     B. 近似数精确到千分位，故该选项不正确，不符合题意； C. 近似数精确到百分位，故该选项正确，符合题意；     D. 近似数精确到个位，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） ①若，，则；②近似数精确到了百分位； ③若方程是关于x的一元一次方程，则； ④使得成立的x的值有无数个． A．0个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】利用反例对①进行判断；根据科学记数法对②进行判断；根据一元一次方程的定义对③进行判断；解绝对值方程对④进行判断． 【详解】解：①若，，则，故该说法错误； ②近似数精确到了千位，故该说法错误； ③若方程是关于x的一元一次方程，则有，所以，故该说法错误； ④对于，当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，x为何值均成立；当时，原方程可化为，解得．所以使得成立的x的值有无数个，该说法正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的一次方程、科学记数法和近似数、一元一次方程的定义等知识，灵活运用所学知识是解题关键． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）近似数万精确到 位； （精确到百分位）． 【答案】 百 【分析】此题考查了近似数．根据近似数的意义进行解答即可． 【详解】解：近似数万精确到百位；精确到百分位是． 故答案为：百，． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）小明和小刚测量同一根木棒，小明测得长度是，小刚测得长度是，问两人测得的结果是否相同？为什么？ 【答案】不相同．理由见解析 【分析】根据测量的精确度解答即可. 【详解】不相同．理由如下： 小明测得，是精确到百分位；小刚测得，是精确到十分位.因为两人测量结果的精确度不同，所以两人测得的结果不相同. 【点睛】此题考查精确度，掌握数据精确的方法是解题的关键. 【经典例题五 无理数的大小估算】 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）估计的值在哪两个整数之间（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先整理得，再根据可得答案． 【详解】解：， ， ， 在4和5之间． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，涉及无理数范围的估算，根据题意，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，根据勾股定理得到长度为，结合无理数范围的估算方法即可得到该正方形的边长最接近整数． 【详解】解：根据题意可知，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，则边长为， ∵， ∴， 又∵， ∴，即与最接近的整数是， ∴该正方形的边长最接近整数是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知，且a是整数，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据， ，可得，再由a是整数，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴，且a是整数， ∴， 故答案为：3． 3．（2025七年级·上海长宁·专题练习）在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个实数的范围． 求出每个实数的范围，再判断即可． 【详解】解：，，，， 则， ， 故介于2和3之间的数有，介于3和4之间的数有． 故答案为：；． 4．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】此题考查无理数的估算和实数的大小比较，可通过估算两个无理数的范围，进而确定两个代数式的范围，再进行比较． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 【经典例题六 实数的分类】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列各数中，负整数是（   ） A． B．2.1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，负整数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 根据负整数的定义求解即可． 【详解】解：A、是无理数，不是整数，故不符合题意； B、2.1是小数，不是整数，故不符合题意； C、0不是负整数，故不符合题意； D、是负整数，故符合题意， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）实数，，（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根，无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：实数，，（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数为，（每两个1之间依次增加一个0），共3个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在实数，，，中，有理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，根据有理数的定义即可解答，解题的关键是正确理解有理数的定义． 【详解】解：在实数，，，中，有理数为，，共个， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）若无理数的值介于1和2之间，则整数的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】2/3 【分析】先根据无理数的值介于1和2之间，得出，然后找出整数m的值即可． 【详解】解：∵无理数的值介于1和2之间， ∴， 解得：， ∵m为整数， ∴整数的值可以为2，3． 故答案为：2（或3）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是根据题意求出m的范围． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内： ，0，，，，，，，，（两个3之间依次多个0）． 分数集合：{                                              …}； 负整数集合：{                                              …}； 无理数集合：{                                              …}． 【答案】，，，；，，；，（两个3之间依次多个0）． 【分析】本题考查了实数的分类． 根据实数的分类填写即可． 【详解】解：，，， 分数集合：{，，，…}； 负整数集合：{，，，…}； 无理数集合：{，（两个3之间依次多个0），…}． 故答案为：，，；，，；，（两个3之间依次多个0）． 【经典例题七 实数的性质】 【例7】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】①负数有立方根，原说法错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，原说法正确； ③，原说法错误； ④任何实数不是有理数就是无理数，原说法正确； ⑤两个无理数的和不一定还是无理数，原说法错误； ⑥无理数都是无限小数，原说法正确， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣7＝ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式因式分解可求解． 【详解】解：x2﹣4x﹣7 故答案为： 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的相反数是；的倒数是 故答案为：；． 4．（2025·上海松江·模拟预测）已知． (1)化简M； (2)若，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完全平方公式展开化简计算即可． （2）根据求得，代入计算即可． 【详解】（1） ． （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，实数的非负性应用，熟练掌握完全平方公式，实数的非负性是解题的关键． 【经典例题八 实数与数轴】 【例8】（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，不等式的性质，根据数轴上点的位置，得到，再根据不等式的性质，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴；故选项A不成立； ；故选项B成立； ；故选项C不成立； ；故选项D不成立； 故选B． 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）直径为1个单位长度的圆，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点对应的数是（    ） A．3 B．3.14 C． D．3.2 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，计算求出圆的周长，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长， 故点对应的数是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）数轴上，两点间的整数点有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先估算和的大小，再结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴数轴上，两点间的整数点有1，0，，共3个． 故答案为：3． 3．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可推出，据此计算求解即可． 【详解】解：观察数轴可知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)的立方根为2 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知、，再利用绝对值性质和二次根式的混合运算，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，实数m的值是：． 故答案为：． （2）解：由数轴可知：，． ∴ ． （3）解：∵与互为相反数， ， ， ∴，， ∴，， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【经典例题九 实数的大小比较】 【例9】（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）在下面四个数中，最大的数是（　　） A．3.14 B．π C．3.1414…… D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，比较四个数的大小，需明确各数的具体数值，再按小数位数逐位比较． 【详解】∵，…， ， ∴， ∴四个数中，最大的数是， 故选 ：D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小． 【详解】解：由题可得，，， 由， 故选A． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用比差法计算是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列： ，，3，，， ，，，，，6 …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的无理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类题目，首先得出数据中最大的无理数为，再根据题意得出每6个数为一行，根号里面的数都是的倍数，从而即可得出答案，找出规律是解此题的关键． 【详解】解：一组数，，3，，，……，中，最大的无理数为， 由题意可得，每6个数为一行，根号里面的数都是的倍数， ，， 位于第行第个数， 这组数中最大的无理数的位置记为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较； （1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，由长方形的面积即可求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解； 会利用算术平方根求解，实数的大小比较是的解题的关键． 【详解】（1）解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)， 根据题意，得， 即， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∴绣布的长为24，宽为16． 周长为； （2）解：不能够裁出来． 理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r， 由题意，得， ∵π取3， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴． ∴不能够裁出来． 【经典例题十 实数的混合运算】 【例10】（24-25八年级上·上海长宁·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，熟练掌握任何非零数的零次幂都等于是解题的关键． 根据任何非零数的零次幂都等于即可得解． 【详解】解：． 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，再计算算术平方根和绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】/ 【分析】本题考查实数的混合运算，进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知， 则： （1） （2） 【答案】 19 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，熟练运用完全平方公式，整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）先通分，再把代入进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ； （2）． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)27 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题十一 程序设计与实数运算】 【例11】（2025·上海·模拟预测）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　） A．3+ B．15+ C．3+3 D．15+7 【答案】D 【分析】按所示的程序将输入，结果为，小于15；再把作为n再输入，所得结果大于15，则就是输出结果，所得结果小于15，再次循环输入，直到输出结果． 【详解】解：当时， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题以一种新的运算程序考查了实数的运算，解题关键判断结果与15的大小，要注意两方面：①新的运算程序要准确；②实数运算要准确． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】把各选项中的a，b代入即可求解判断． 【详解】A.当，时，代入程序为，故错误； B.，时，代入程序为，故错误； C.，时，代入程序为，故错误； D.，时，代入程序为，正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据程序进行计算． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）小明设计了一个如图所示的实数运算程序，若输出的数为5，则输入的数x为 ．    【答案】 【分析】设输入的数是x，根据题意得出方程，求出即可． 【详解】解：设输入的数是x 根据题意得： ∴ 解得， ∴输入的数x为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的意义及求一个数的平方根，解题关键是能根据题意得出方程． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查程序框图的运算，仔细判断方向，准确计算是解题的关键．根据输入的数字从左往右依次计算即可． 【详解】解：输入3， 第一步， 第二步， 第三步． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【经典例题十二 新定义下的实数运算】 【例12】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，平方根的性质，正确理解题意是解题的关键． 首先根据定义的运算法则得到，然后整理得到，然后利用平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数，， ∴，， ∴ ∴的算术平方根为4， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）对于两个实数，我们定义：，那么 ； ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，实数的混合运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键．根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ∵， ∴ ； 故答案为： 4．（24-25八年级上·上海虹口·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【答案】(1)45，3，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算，无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可得，然后求出，由此求出m，代入求值即可． 【详解】（1），，； （2）∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴； （3）∵， ， ， ∴， ∴． 【经典例题十三 无理数整数部分的有关计算】 【例13】（24-25八年级上·上海闵行·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算；由题意确定出m与n的值即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴； 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）的小数部分为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，计算可得，估算出即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴的小数部分为， 答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： (1)如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． (2)如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键． （1）根据，即，可得； （2）根据，再求出，由此即可得，的值． 【详解】（1）解：，即， ， ； 故答案为：； （2）解：，即， ， 是的小数部分，是的整数部分， ． 【经典例题十四 实数运算的实际运用】 【例14】（24-25八年级上·上海宝山·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【经典例题十五 与实数运算相关的规律题】 【例15】 （24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果实数、满足且，则实数、的符号为（   ） A．， B．，且的绝对值大于的绝对值 C．， D．，且的绝对值小于的绝对值 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据“两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取相同的符号；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号”，逐项判断即可，熟练掌握实数的运算是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，且的绝对值大于的绝对值，则且，故不符合题意； C、若，，则；还需添加条件“当的绝对值大于的绝对值”，才能满足，故不符合题意； D、若，且的绝对值小于的绝对值，则且，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）观察下面一列数：，，，，…按照此规律第n个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，得出运算规律是解决问题的关键． 符号是的对应数加1的次方，绝对值是的对应次方，第个数为：，由此规律得出答案即可． 【详解】解：第一个数：， 第二个数：， 第三个数：， ∴第个数是：； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的含乘方有理数混合运算，根据数的生成规则，找到第三个数为x和y的三个数，利用规则计算求得x和y即可求得答案． 【详解】解：根据从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是， ∵ ∴，解得， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 【拓展训练一 勾股定理与无理数】 1．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理． （1）利用勾股定理求出，由即可证明； （2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示数． （2）解：如图，在中，， 则，即点F表示． 【拓展训练二 无理数估算的几何问题】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，设正方形的边长为，先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而可得，估算出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴正方形的边长可能是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，结合无理数范围的估算方法，即可得到该正方形的边长最接近的整数值． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最接近的整数为3． 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【答案】（1）5，；（2）12.21；（3）1；（4）14.93． 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：（1）， 的整数部分为5，小数部分为． 故答案为：5，； （2）解：当正方形面积为149，则它的边长为． ， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ． （3）解：， ， ， ，， ，． ∴； （4）， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ， ，，，， ． 故答案为：14.93． 【拓展训练三 实数的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）观察给出的一列数：，…，根据其中的规律，那么第n个 （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意，找出数列的变化规律，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵，…， 观察数列可知，分母是3、5、7、9、11、…， 分子是2、3、10、15、26、…； ∴那么第n个数是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 1．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如等；②开方开不尽的数；③具有特殊结构的数，如（两个之间依次增加个）．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，，是有理数；是无理数． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得到答案． 【详解】解：米 故选：A． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）若将，，表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．    A． B． C． D．都不可能 【答案】A 【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案． 【详解】解：由， 得， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键． 5．（24-25八年级上·上海宝山·期末）将连续正整数按如下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 18 19 20 … 若正整数2022位于第行，第列，则的值为（　　） A．507 B．508 C．509 D．510 【答案】D 【分析】根据表格中数字规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：表格中每两行的数字写法规律相同 ， 由数字6所在的行和列可知：2022位于第行，第4列 ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查的是探索规律题，找出表格中的数字规律是解决此题的关键． 6．（24-25八年级上·上海静安·期中）用四舍五入法将精确到，结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查“四舍五入”，熟练掌握“四舍五入”是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到，结果是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图是一个数值运算程序，若输出的数为，则输入的数为 ．    【答案】 【分析】设输入的数是x，根据题意得出方程（x2-1）÷3=1，求出即可． 【详解】解：设输入的数是x， 则根据题意得：（x2-1）÷3=1， x2-1=3， x=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查平方根的意义及求一个数的平方根，解题关键是能根据题意得出方程． 8．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 9．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 12．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读理解】 体会求的整数部分和小数部分的过程． ∵，即， ∴，即 ∴的整数部分是3，小数部分是． 【解决问题】 已知a是的整数部分，b是的小数部分，求： (1)a，b的值； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）由（1）知a，b的值，代入计算，再根据算术平方根即可解答． 【详解】（1）解：∵，即， ∴，即， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根是5． 13．（24-25八年级上·上海松江·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 14．（24-25八年级上·上海宝山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． （1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子； （2）利用上述规律可知即可求值； （3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式 【详解】（1）解：①； ②； ③； …… 可得第6个等式为： （2）解： ； （3）解：用（为正整数）表示的等式为： 15．（24-25八年级上·上海静安·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数　　　　　　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.    【答案】（1）2 (2)①②-5，3（3） 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为-1， ①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值； ②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值． 【详解】操作一， （1）∵表示的点1与-1表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则-2表示的点与2表示的点重合， 操作二： （2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合， 则折痕表示的点为-1， ①设表示的点与数a表示的点重合， 则-（-1）=-1-a， a=-2-； ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是-5和3； 操作三： （3）设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，    设AB=a，BC=a，CD=2a， a+a+2a=9， a=， ∴AB=，BC=，CD=， x=-1++=， 如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，    设AB=a，BC=2a，CD=a， a+a+2a=9， a=， ∴AB=，BC=，CD=， x=-1++=， 如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，    设AB=2a，BC=a，CD=a， a+a+2a=9， a=， ∴AB=，BC=CD=， x=-1++=， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数重难点题型专训 （5个知识点+15大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示 题型二 无理数 题型三 求一个数的近似数 题型四 求近似数的精确度 题型五 无理数的大小估算 题型六 实数的分类 题型七 实数的性质 题型八 实数与数轴 题型九 实数的大小比较 题型十 实数的混合运算 题型十一 程序设计与实数运算 题型十二 新定义下的实数运算 题型十三 无理数整数部分的有关计算 题型十四 实数运算的实际运用 题型十五 与实数运算相关的规律题 拓展训练一 勾股定理与无理数 拓展训练二 无理数估算的几何问题 拓展训练三 实数的规律探究问题 知识点一、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，是无理数的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 知识点二、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）有理数和无理数统称为 知识点三、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）在实数，，0，，中无理数有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，0，，，，，，中，分数有 个． 知识点四、实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2025·上海虹口·模拟预测）在，，0，这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）若，，，则的大小关系是 ． 【经典例题一 用科学记数法表示】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）年春节期间，北京市共接待游客万人次，旅游总收入为亿元人民币．数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）用科学记数法表示，应记作 ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 4．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 无理数】 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．25 C． D． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）在实数，，0，，，，，2.6161161116…（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在实数2，中，有理数的和为 ． 3．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）下列说法：①任何数都有倒数；②16的平方根是4；③两个无理数的和一定是无理数；④近似数10.8万精确到千位；⑤算术平方根是本身的数是0，其中正确的为 ． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【经典例题三 求一个数的近似数】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期末）用四舍五入法将精确到，所得近似数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是（   ） A．1.9 B．1.90 C．1.905 D．1.904 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435（保留三个有效数字） ≈ ； （2）12.975（精确到百分位） ≈ ； （3）548203（精确到千位） ≈ ； （4）5365573（保留四个有效数字）≈ ． 4．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【经典例题四 求近似数的精确度】 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数精确到千位  1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） ①若，，则；②近似数精确到了百分位； ③若方程是关于x的一元一次方程，则； ④使得成立的x的值有无数个． A．0个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）近似数万精确到 位； （精确到百分位）． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）小明和小刚测量同一根木棒，小明测得长度是，小刚测得长度是，问两人测得的结果是否相同？为什么？ 【经典例题五 无理数的大小估算】 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）估计的值在哪两个整数之间（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知，且a是整数，则a的值是 ． 3．（2025七年级·上海长宁·专题练习）在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ． 4．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）比较与的大小． 【经典例题六 实数的分类】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列各数中，负整数是（   ） A． B．2.1 C．0 D． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）实数，，（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在实数，，，中，有理数有 个． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）若无理数的值介于1和2之间，则整数的值可以为 ．（写出一个即可） 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内： ，0，，，，，，，，（两个3之间依次多个0）． 分数集合：{                                              …}； 负整数集合：{                                              …}； 无理数集合：{                                              …}． 【经典例题七 实数的性质】 【例7】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣7＝ ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 4．（2025·上海松江·模拟预测）已知． (1)化简M； (2)若，求M的值． 【经典例题八 实数与数轴】 【例8】（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）直径为1个单位长度的圆，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点对应的数是（    ） A．3 B．3.14 C． D．3.2 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）数轴上，两点间的整数点有 个． 3．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【经典例题九 实数的大小比较】 【例9】（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）在下面四个数中，最大的数是（　　） A．3.14 B．π C．3.1414…… D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）比较大小： ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列： ，，3，，， ，，，，，6 …… 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的无理数的位置记为 ． 4．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3） 【经典例题十 实数的混合运算】 【例10】（24-25八年级上·上海长宁·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）计算： 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知， 则： （1） （2） 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题十一 程序设计与实数运算】 【例11】（2025·上海·模拟预测）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　） A．3+ B．15+ C．3+3 D．15+7 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）小明设计了一个如图所示的实数运算程序，若输出的数为5，则输入的数x为 ．    3．（24-25八年级上·上海松江·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【经典例题十二 新定义下的实数运算】 【例12】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义一种新运算：，若，则 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）对于两个实数，我们定义：，那么 ； ． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【经典例题十三 无理数整数部分的有关计算】 【例13】（24-25八年级上·上海闵行·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 2．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）的小数部分为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： (1)如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． (2)如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 【经典例题十四 实数运算的实际运用】 【例14】（24-25八年级上·上海宝山·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【经典例题十五 与实数运算相关的规律题】 【例15】 （24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果实数、满足且，则实数、的符号为（   ） A．， B．，且的绝对值大于的绝对值 C．， D．，且的绝对值小于的绝对值 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）观察下面一列数：，，，，…按照此规律第n个数是 ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【拓展训练一 勾股定理与无理数】 1．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【拓展训练二 无理数估算的几何问题】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．    3．（24-25八年级上·上海静安·期末）阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【拓展训练三 实数的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）观察给出的一列数：，…，根据其中的规律，那么第n个 （用含n的式子表示）． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 1．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 4．（2025·上海闵行·模拟预测）若将，，表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．    A． B． C． D．都不可能 5．（24-25八年级上·上海宝山·期末）将连续正整数按如下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 18 19 20 … 若正整数2022位于第行，第列，则的值为（　　） A．507 B．508 C．509 D．510 6．（24-25八年级上·上海静安·期中）用四舍五入法将精确到，结果是 ． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图是一个数值运算程序，若输出的数为，则输入的数为 ．    8．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 9．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读理解】 体会求的整数部分和小数部分的过程． ∵，即， ∴，即 ∴的整数部分是3，小数部分是． 【解决问题】 已知a是的整数部分，b是的小数部分，求： (1)a，b的值； (2)的算术平方根． 13．（24-25八年级上·上海松江·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 14．（24-25八年级上·上海宝山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 15．（24-25八年级上·上海静安·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数　　　　　　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.    学科网（北京）股份有限公司 $$