精品解析：2025年4月辽宁省抚顺市新宾县北四平乡中学九年级模拟数学测试题　

2025年新宾县北四平乡中学九年级4月模考数学测试题 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和签题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个三棱柱按如图所示的方式摆放在地面上，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行分析可得答案． 【详解】它的左视图是： 故选：A． 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机．”二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将25000用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，进而求解即可．掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：． 4. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，单项式乘以多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键． 根据合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，单项式乘以多项式进行计算即可． 【详解】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D符合题意． 故选D． 6. 如图，在中，点，分别在，边上，且．若，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题． 根据题意可以得到，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：，，， ，， ， ，故A说法正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故B说法正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C说法正确，不符合题意； ∵ ∴， 故D说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象经过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 9. 如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 与互相垂直且平分 C. 当时，四边形是菱形 D. 若时，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．由图知，，，对称轴，得；时，；时，，当时，，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下 ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故C选项不符合题意，； ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵时，，当时，， ∴，故B不符合题意； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在和0之间 ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在2和3之间 ∴当时，，故D符合题意． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种， 所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）． 故答案为：． 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【详解】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 15. 如图，在中，，，为边上的三等分点，点在直线上，且，则______． 【答案】2或1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，分类讨论，并作出适当的辅助线是解题的关键； 当为上靠近点的三等分点时，利用题中条件证明，推出； 当为上靠近点的三等分点时，过点作于点，过点作于点． 多次运用勾股定理求出，，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】如图1，当为上靠近点的三等分点时，，， ， ，， ． ， ， ，， ， 又，， ， ． 如图2，当为上靠近点的三等分点时，，， 过点作于点，过点作于点． ，， ，， 由勾股定理得，， 又， ， ， ，， ， 设，则， ， 解得， ，， ，， ，． 故答案为：2或1． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算与分式化简以及特殊角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）根据特殊角的锐角三角函数、零指数幂、负指数幂、绝对值化简计算即可； （2）利用分式的运算法则进行化简． 【详解】（1）， ， ； （2） ， ， ． 17. 近年来某市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品的数量相同，每件A款文创产品的进价比B款文创产品的进价多15元． （1）求 ，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求A款文创产品最多购进多少件． 【答案】（1）A款文创产品每件的进价是80元；B款文创产品每件的进价是65元 （2）A款文创产品最多购进60件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则B款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进B款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价是元，则B款文创产品每件的进价是元． 根据题意，得．解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴． 答：文创产品每件的进价是80元；B款文创产品每件的进价是65元． 【小问2详解】 设购进款文创产品件，则购进B款文创产品件． 根据题意，得． 解得． 答：款文创产品最多购进60件. 18. 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射击10次，并对每次命中的环数进行收集、整理、描述、分析，部分信息如下： （1）根据统计图中的数据，绘制统计表如下，求，，的值． 平均数/环 方差 中位数/环 甲 7 乙 （2）规定射击结果中9环以上（含9环）为优秀，甲同学分别计算了甲、乙两个同学的优秀率，得出甲同学的优秀率为，乙同学的优秀率为，因此甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好．”但是乙同学认为：“我的成绩比甲好”．请写出两条支持乙同学观点的理由． 【答案】（1），， （2）解：①乙同学的方差小于甲同学，所以乙同学的成绩比较稳定； ②乙同学的中位数大于甲同学，所以乙同学命中环数的高分较多． 【解析】 【分析】此题主要考查了方差、平均数、中位数的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键． （1）根据方差、平均数、中位数的定义分别求出； （2）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 【小问1详解】 解：． ∵将乙射击10次命中环数按从小到大的顺序排列后，第5个数据和第6个数据为7，7， ∴乙命中环数的中位数； 【小问2详解】 略 19. 在跨学科主题学习活动中，某小组利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，他们在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据，该试剂挥发过程中剩余质量（克）随时间（分钟）变化的数据（）分别绘制在如图所示的平面直角坐标系中． （1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线的一部分，场景B的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为7克，在上述实验中，该化学试剂在场景A发挥作用的时间比场景B长多少分钟？ 【答案】（1）场景A的函数表达式为；场景B的函数表达式为 （2）该化学试剂在场景A发挥作用的时间比场景B长3.5分钟 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，根据题意，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求两个函数解析式； （2）求得时的值，再计算． 【小问1详解】 场景A：把点，代入， 得， 解得， 场景A的函数表达式为． 场景B：把点，代入， 得， 解得， 场景B的函数表达式为． 【小问2详解】 当时， 场景A中，．解得，（舍去）． 场景B中，．解得． （分钟）． 该化学试剂在场景A发挥作用的时间比场景B长3.5分钟． 20. 图1是某型号挖掘机的实物图，该挖掘机是由基座，主臂和伸展臂构成的．图2是该挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为5，是伸展臂，，，主臂伸展角．（参考数据：，，） （1）求点到的距离； （2）若此时，求伸展臂的长． 【答案】（1）点到的距离约为5 （2）伸展臂的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，再利用锐角三角函数，求出，再求； （2）根据同角的余角相等，得到，再利用锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 由，可得四边形是矩形． ，． 在中，，， ． ． 答：点到的距离约为5． 【小问2详解】 ， ． ， ， ， ． 在中，，， ． 答：伸展臂的长约为． 21. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长交于点，连接，，若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由于为的切线，为切点，推出，，然后可得，再根据，最后可求解； （2）连接，，根据，，可推出，然后可得是等边三角形，最后可得，在中，由三角函数即可求解. 【小问1详解】 解：如图1，连接． ∵为的切线，为切点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， 【小问2详解】 如图2，连接，． ∵，， ∴． 与（1）同理，得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． ∵的半径为5， ∴． ∵是⊙O的直径， ∴ ∴在中，. 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，解题的关键是掌握这些知识点． 22. 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】 （3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②求的长． 【深入探究】 （4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，， ， ， 由旋转得，， ． （3）①；② （4） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用平行线的性质和等腰三角形的性质与判定求解； （2）先证，推出，结合旋转得，可证； （3）①与（2）同理，得，推出，利用勾股定理和直角三角形的性质推出，所以； ②过点D作于G，设，利用勾股定理求出，从而可求的长； （4）作，且，连接，，，依次证明，， 利用相似三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理，推出，，过点M作于点N，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）略 （3）①和是等腰直角三角形， ， 与（2）同理，得， ， ，，， ， ，解得， ，点，，在同一条直线上， ， 又，满足， ， ． ②如图3，过点D作于G，则， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 设，由勾股定理可求得， 又， ，， 由可得，解得， ， ． （4）如图4，作，且，连接，，， ， ，， ， ， ， 由得， ， 由，， 可得，由勾股定理得， ，解得， ，， ， 过点M作于点N，则， 又， ，， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，对于函数图象给出如下定义：将函数图象上的任意一点变为点，称点为点的3倍位移点．函数图象上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象，称函数图象为图象的3倍位移图象，函数为函数的3倍位移函数． （1）若点的3倍位移点在反比例函数上，则的值为______． （2）点在直线上，点的3倍位移点在直线上，求点的坐标． （3）已知二次函数，函数是的3倍位移函数． ①求二次函数的3倍位移函数． ②点在二次函数上，点的3倍位移点为，若点的纵坐标大于8，设点的横坐标为，求的取值范围． ③取二次函数在的部分，取在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为点，，若，求的值． 【答案】（1）10 （2） （3）①；②；③6或 【解析】 【分析】本题考查了函数新定义，反比例函数，一次函数，二次函数的图象与性质，图象平移变换规律等，正确理解题意，熟练掌握相关知识点，数形结合，是解题的关键； （1）根据定义，求出点的3倍位移点，再代入解析式求解； （2）由题可设，求出点的3倍位移点的坐标，再代入解方程； （3）①根据3倍位移点的定义，推出3倍位移函数图象的关系，再利用平移变化规律求解； ②当点，在上时，利用，，推出，可得； 当点在上，点在上时，是抛物线的顶点，可得，进而可求点，，的坐标， 可得，从而，综合可得结论． 【小问1详解】 点的3倍位移点是，即， 将点代入，可得． 故答案为：10． 【小问2详解】 ∵点在直线上， ∴设点的坐标为． ∴点的3倍位移点的坐标为． ∵点在直线上， ∴．解得． ∴点的坐标为． 【小问3详解】 ①∵， 函数是二次函数的3倍位移函数，根据定义可知，函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到函数的图象， ∴． ②∵点是点的3倍位移点，且点的纵坐标大于8， ∴点的纵坐标大于2． 当时，解得，． 对于，， ∴抛物线的开口向下． ∴当时，． ③根据题意，得 ． ∵，， ∴如图1，当点，在上时． ∵是向右平移3个单位长度，向上平移6个单位长度得到的， ，， ∴． ∴． 如图2，当点在上，点在上时； 是抛物线的顶点． ∴，即． 解得，（舍去）． ∴点． ∴． ∴点的横坐标． ∴点的纵坐标． ∴． 综上所述，的值为6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年新宾县北四平乡中学九年级4月模考数学测试题 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和签题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个三棱柱按如图所示的方式摆放在地面上，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机．”二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点，分别在，边上，且．若，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 与互相垂直且平分 C. 当时，四边形是菱形 D. 若时，则四边形是正方形 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______． 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 14. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为______． 15. 如图，在中，，，为边上的三等分点，点在直线上，且，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 近年来某市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品的数量相同，每件A款文创产品的进价比B款文创产品的进价多15元． （1）求 ，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求A款文创产品最多购进多少件． 18. 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射击10次，并对每次命中的环数进行收集、整理、描述、分析，部分信息如下： （1）根据统计图中的数据，绘制统计表如下，求，，的值． 平均数/环 方差 中位数/环 甲 7 乙 （2）规定射击结果中9环以上（含9环）为优秀，甲同学分别计算了甲、乙两个同学的优秀率，得出甲同学的优秀率为，乙同学的优秀率为，因此甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好．”但是乙同学认为：“我的成绩比甲好”．请写出两条支持乙同学观点的理由． 19. 在跨学科主题学习活动中，某小组利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，他们在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据，该试剂挥发过程中剩余质量（克）随时间（分钟）变化的数据（）分别绘制在如图所示的平面直角坐标系中． （1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线的一部分，场景B的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为7克，在上述实验中，该化学试剂在场景A发挥作用的时间比场景B长多少分钟？ 20. 图1是某型号挖掘机的实物图，该挖掘机是由基座，主臂和伸展臂构成的．图2是该挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为5，是伸展臂，，，主臂伸展角．（参考数据：，，） （1）求点到的距离； （2）若此时，求伸展臂的长． 21. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长交于点，连接，，若，的半径为5，求的长． 22. 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】 （3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②求的长． 【深入探究】 （4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． 23. 在平面直角坐标系中，对于函数图象给出如下定义：将函数图象上的任意一点变为点，称点为点的3倍位移点．函数图象上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象，称函数图象为图象的3倍位移图象，函数为函数的3倍位移函数． （1）若点的3倍位移点在反比例函数上，则的值为______． （2）点在直线上，点的3倍位移点在直线上，求点的坐标． （3）已知二次函数，函数是的3倍位移函数． ①求二次函数的3倍位移函数． ②点在二次函数上，点的3倍位移点为，若点的纵坐标大于8，设点的横坐标为，求的取值范围． ③取二次函数在的部分，取在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为点，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $