专题 3.4 位置与坐标（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 3.4 位置与坐标 目录 一.全章知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）确定位置 1 【题型1】确定位置 1 知识点（二）平面直角坐标系 2 【题型2】写出点的坐标 2 【题型3】点到坐标轴距离 3 【题型4】点的位置 3 【题型5】中点坐标 3 【题型6】两点之间距离公式 4 知识点（三）轴对称与坐标变化 5 【题型7】坐标系中的对称 5 【题型8】坐标与图形的变化——轴对称 6 知识点（四）平面直角坐标系与几何综合 6 【题型9】平面直角坐标系与图形面积问题 6 【题型10】平面直角坐标系与几何综合 7 【题型11】平面直角坐标系与几何折叠 8 【题型12】平面直角坐标系与几何动点问题 9 【题型13】平面直角坐标系与几何规律问题 10 二．同步练习 11 【基础巩固（18题）】 11 【能力提升（22题）】 14 【中考真题8题】 19 一.全章知识梳理与题型分类精析 知识点（一）确定位置 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 【题型1】确定位置 【例题1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【变式1】（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船B在点A北偏东方向80米处，船C在点A南偏东方向60米处，则船B与船C之间的距离为 米． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在东西方向的海岸线上有一海事监测站，在监测站左前方有一灯塔，测得灯塔离监测站的距离为，要确定灯塔的位置，还需什么数据？请借助学习工具补上这个数据，并说出点的位置． 知识点（二）平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应。 【题型2】写出点的坐标 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为 ． 【题型3】点到坐标轴距离 【例题3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如果点在第四象限内，且到轴和轴的距离相等，那么和的关系是 ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是（　　） A．2 B． C．6 D． 【题型4】点的位置 【例题4】（24-25七年级下·青海海东·期末）已知点． （1）若点A在x轴上，求点A的坐标． （2）若a的平方根是，试判断点A所在的象限，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【题型5】中点坐标 【例题5】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【变式2】（22-23七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为，现有，，三点，点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的中点坐标为 ． 【题型6】两点之间距离公式 【例题6】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知、，则　　　　　　； （2）已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． （3）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 知识点（三）轴对称与坐标变化 1.关于轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 2.关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 【题型7】坐标系中的对称 【例题7】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． （1）在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【题型8】坐标与图形的变化——轴对称 【例题8】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标：　　　　；的坐标：　　　　 （2）若中任意点P坐标，则点P在内的对应点坐标的坐标为　　　　 （3）在x轴上找一点P，使的和最小． 知识点（四）平面直角坐标系与几何综合 【题型9】平面直角坐标系与图形面积问题 【例题9】（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标是 ． 【题型10】平面直角坐标系与几何综合 【例题10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标是，若点P在x轴正半轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【题型11】平面直角坐标系与几何折叠 【例题11】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【变式3】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【题型12】平面直角坐标系与几何动点问题 【例题12】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，点是第一象限内的点，点是轴上的一个动点，且，三点不在同一条直线上，在直线轴上求作一点，使的周长最小． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为 ． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，线段经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为 ． 【题型13】平面直角坐标系与几何规律问题 【例题13】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接向运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标是 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．万达影城1号厅2排 B．东经，北纬 C．马尾一中南偏东 D．马尾沿山路 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，且点在第三象限，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点A解 D．以上都不对 6．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）设平面直角坐标系的轴以作为长度单位，的顶点坐标为，其中，若该三角形的面积为，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为 ． 10．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知轴，，B在第一象限且，则B点的坐标为 ． 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 12．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 13．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 14．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    15．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 16．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点都在小方格的顶点上． （1）画出关于x轴对称的图形；写出各顶点坐标 ； ； ； （2）在y轴上找一点P，使最短，画出P点． （3）若网格中的最小正方形边长为1，则的面积等于 ． 18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． （1）______，______，______； （2）四边形的面积为______； （3）是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点的坐标满足，则点在（   ） A．纵轴上 B．横轴上 C．纵轴或横轴上 D．原点处 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．1 6．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 9．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A． B．8 C． D．9 10．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 14．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点B在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，，若是直角三角形，则点C的坐标为 ． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标是 ． 16．（24-25七年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是 ． 17．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 18．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为 ． 三、解答题 19．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在第四象限，则的取值范围是________； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线过，且平行于轴． （1）若三个顶点的坐标分别为，关于直线的对称图形是，写出的三个顶点坐标； （2）如果点的坐标是，其中，点关于轴对称点是点，点关于直线对称点是点，求的长． 21．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． （1）写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； （2）已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； （3）在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 22．（24-25七年级下·广东阳江·期末）如图1，直角为一张硬纸板，，，要在距离A点的点E处粘一条垂直于的彩带，该如何求彩带的长度？ 【方法简介】设的长度为，由等面积法可得方程：，解方程求得x的值，从而求得的长． 请依据此方法解答下列问题： （1）请直接写出上述方程中x的值：________． 【方法应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，，线段交y轴于点C．请利用等面积法求出点C的坐标． 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点D，连接． ①求出点D的坐标； ②点P为直线上一点，连接，若，请直接写出点P的坐标． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 二、填空题 5．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 6．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 8．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3.4 位置与坐标 目录 一.全章知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）确定位置 1 【题型1】确定位置 1 知识点（二）平面直角坐标系 3 【题型2】写出点的坐标 3 【题型3】点到坐标轴距离 4 【题型4】点的位置 6 【题型5】中点坐标 7 【题型6】两点之间距离公式 9 知识点（三）轴对称与坐标变化 11 【题型7】坐标系中的对称 11 【题型8】坐标与图形的变化——轴对称 14 知识点（四）平面直角坐标系与几何综合 17 【题型9】平面直角坐标系与图形面积问题 17 【题型10】平面直角坐标系与几何综合 20 【题型11】平面直角坐标系与几何折叠 23 【题型12】平面直角坐标系与几何动点问题 27 【题型13】平面直角坐标系与几何规律问题 31 二．同步练习 33 【基础巩固（18题）】 33 【能力提升（22题）】 45 【中考真题8题】 65 一.全章知识梳理与题型分类精析 知识点（一）确定位置 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 【题型1】确定位置 【例题1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此逐项分析即可求解，理解坐标的定义是解题的关键． 解：、航海东路，不能确定位置，该选项不合题意； 、大卫城负二层停车场，不能确定位置，该选项不合题意； 、奥斯卡影城号厅排，不能确定位置，该选项不合题意； 、东经，北纬，能确定位置，该选项符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船B在点A北偏东方向80米处，船C在点A南偏东方向60米处，则船B与船C之间的距离为 米． 【答案】100 【分析】本题主要考查了方位角，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握方位角定义，证明为直角三角形，由题意可知，，从而得到，然后利用勾股定理即可求出． 解：由题意可知，， ∴， ∵米，米， ∴米． 故答案为100． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在东西方向的海岸线上有一海事监测站，在监测站左前方有一灯塔，测得灯塔离监测站的距离为，要确定灯塔的位置，还需什么数据？请借助学习工具补上这个数据，并说出点的位置． 【答案】灯塔P在监测站S的北偏西方向上；点P在监测站S的北偏西方向，距离处． 【分析】本题考查了确定平面内物体位置的方法，解题的关键是理解在平面内确定物体位置需要两个要素：距离和方向． 明确确定物体位置需距离和方向两个要素，已知距离需补充方向数据；通过量角器测量灯塔相对于监测站的方向角；结合距离和方向角描述灯塔的具体位置． 解：要确定灯塔P的位置，还需灯塔P相对于监测站S的方向角（即与正北或正南方向的夹角）． 借助量角器测量，测得灯塔P在监测站S的北偏西方向上． 因此，还需灯塔P相对于监测站S的方向角；补充数据为灯塔P在监测站S的北偏西方向上；点P在监测站S的北偏西方向，距离处． 知识点（二）平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应。 【题型2】写出点的坐标 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，熟知三角形面积公式是解题的关键； 首先根据面积求得、OB的长，最后求得的长．然后写出坐标即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为原点， ∴，，． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特点，根据直角坐标系中轴上点的纵坐标为的特征得，解出的值，再代入横坐标表达式即可确定点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 解：∵点在直角坐标系的轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的知识，根据第一、三象限的角平分线上的点，横纵坐标相等，由此就可以得到关于的方程，解出的值，即可求得点的坐标． 解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ， 解得：， ． 故答案为：． 【题型3】点到坐标轴距离 【例题3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握每个象限坐标的特征是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的相反数，列方程求出a的值，再求解即可． 解：因为是第二象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之和为5， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如果点在第四象限内，且到轴和轴的距离相等，那么和的关系是 ． 【答案】或 【分析】根据在第四象限，得到，根据，化简绝对值即可． 本题考查了坐标与象限，绝对值，熟练掌握象限的坐标特征，绝对值的化简是解题的关键． 解：点在第四象限内， ，， 到轴和轴的距离相等， ， 或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是（　　） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离． 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，与横坐标无关． 解：点的坐标为，其纵坐标为，因此到轴的距离为． 故选A． 【题型4】点的位置 【例题4】（24-25七年级下·青海海东·期末）已知点． （1）若点A在x轴上，求点A的坐标． （2）若a的平方根是，试判断点A所在的象限，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点A在第一象限，理由见分析 【分析】本题考查坐标系中点的坐标问题，解题关键是掌握坐标系中各象限点的坐标正负及坐标轴上点的坐标特点． （1）根据点A在x轴上可得纵坐标为0，求出，进而得到点A的坐标； （2）根据的平方根是求出，即可判断点A所在的象限． 解：（1）解：根据题意，可得，解得，则， 所以点A的坐标为； （2）点A在第一象限，理由如下： ∵a的平方根是， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为， ∴点A在第一象限． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，点的坐标，先根据算术平方根的定义得到，进而判断点的横、纵坐标的取值范围解答即可． 解：∵有意义， ∴， ∴，， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． 【题型5】中点坐标 【例题5】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 【答案】（1）见分析，，；（2）①；② 【分析】本题考查了在坐标系内描点、中点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）①根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； ②利用①中的规律进行分类讨论即可答题． 解：（1）如图所示： ，   ， （2）① ②线段的中点坐标为，即． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键：若已知点，，则线段的中点的坐标为． 由中点坐标公式即可直接得出答案． 解：，， 线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为，现有，，三点，点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式求出D，E的坐标，然后再利用中点坐标公式求线段的中点坐标即可． 解：∵，，三点，点为线段的中点，点为线段的中点， ∴D的坐标为，即，E的坐标为，即， ∴线段的中点坐标为，即． 【点拨】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． 【题型6】两点之间距离公式 【例题6】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知、，则　　　　　　； （2）已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． （3）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）13；（2）6；（3）等腰直角三角形，理由见分析 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状． 解：（1）解：∵、， ∴． 故答案为：13 （2）解：∵轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴． 故答案为：6 （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵、、， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【变式1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标特点，勾股定理，首先求出到y轴的距离为，然后根据第二象限内点的坐标特征和点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 解：∵第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为， ∴到y轴的距离为， ∴点P的横坐标是，纵坐标是， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 知识点（三）轴对称与坐标变化 1.关于轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 2.关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 【题型7】坐标系中的对称 【例题7】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． （1）在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【答案】（1）轴及原点O 见详解，；（2）见详解；，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，作轴对称图形； （1）由点A的坐标为，确定原点，即可确定轴，写出的坐标，即可求解； （2）作出，写出坐标，即可求解； 能根据已知点的坐标建立直角坐标系，会作轴对称图形是解题的关键． 解：（1）解：轴及原点O，如图， ； （2）解：如图， 为所求作； ，，． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确得出轴的位置是解题关键． 根据题意得出轴位置，进而利用正多边形的性质得出点坐标． 解：如图所示： ， 点在轴上， ，的坐标分别是，， ，点关于轴对称， 的坐标是：， 点的坐标是：． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 【题型8】坐标与图形的变化——轴对称 【例题8】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，由题意可得，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2．设横坐标为，则，解得，即可求出答案． 解：点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2， 设横坐标为，则， 解得， ∴点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标：　　　　；的坐标：　　　　 （2）若中任意点P坐标，则点P在内的对应点坐标的坐标为　　　　 （3）在x轴上找一点P，使的和最小． 【答案】（1）图见分析，，；（2）；（3）图见分析 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据关于y轴对称的点的特征，画出，进而写出点，的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的特征，写出的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点； 解：（1）解：如图，即为所求； 由图可知：，； （2）解：由题意，； （3）解：如上图，点即为所求． 知识点（四）平面直角坐标系与几何综合 【题型9】平面直角坐标系与图形面积问题 【例题9】（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形全等和平面直角坐标系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 分两种情况进行讨论，当时，和关于轴对称和当时，，两种情况，然后即可求解； 解：如图： ， 当时，和关于轴对称， ∴点的坐标是， 当时，的高的高，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：或． 【题型10】平面直角坐标系与几何综合 【例题10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标是，若点P在x轴正半轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据等腰三角形的性质分三种情况：若；若；若，即可求解． 解：∵点A的坐标是， ∴， 如图，若，    此时点P的坐标为； 如图，若，过点A作轴于点B，    ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若，过点A作轴于点B，则，    设，则， 在中， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，两点之间的距离公式的运用，先分别计算，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， 故选C 【变式2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 【题型11】平面直角坐标系与几何折叠 【例题11】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到轴，轴，，折叠推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵， ∴轴，轴，， ∴轴，， ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案． 解：①当点在线段上时， 四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 解得， 点的坐标为， ②当点在线段的延长线上时， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， 点． 综上所述，或 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查坐标与图形，折叠的性质及勾股定理，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键．由折叠可知，设，则，求出，在中，利用勾股定理求解即可． 解：由折叠可知， ， ，， 设，则， 是的中点， ， 在中，， ， 解得． 答：的长为． 【题型12】平面直角坐标系与几何动点问题 【例题12】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，点是第一象限内的点，点是轴上的一个动点，且，三点不在同一条直线上，在直线轴上求作一点，使的周长最小． 【答案】见分析 【分析】本题考查了轴对称---最短路径问题，利用轴对称的作图是解题的关键． 作出点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点．根据轴对称的性质可得，而长不变，则的周长最小转化为的最小值，即为的最小值，再根据两点之间线段最短即可确定连接与轴交点即为点． 解：如图，点C即为所求： 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，坐标与图形，过点作轴于点，可证，得到，即得点在直线上运动，可知当垂直于这条直线时，最短，据此即可求出点的坐标，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动，如图， 当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，线段经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，等面积法，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，由垂线段最短可知，当时，长度有最小值，再利用等面积法求解即可． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ，，， 垂线段最短， 当时，长度有最小值， ， ， ， ，即长度的最小值为1， 故答案为：1． 【题型13】平面直角坐标系与几何规律问题 【例题13】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律探索、仔细观察图象，找到点的坐标的变化规律是解答的关键．先求出前9个点的坐标，可得每8个点为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为1，1，0，0，1，1，0，0，由此规律即可求得点的坐标． 解：由题意得，，，，，，，，，，……， 依此类推，可知，每8个点为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为1，1，0，0，1，1，0，0， ∵， 点的纵坐标为1，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接向运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律．根据题意可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，由此发现，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是三个数一循环，即可求解． 解：根据题意得：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， ……， 由此发现，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点的坐标是． 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了具有周期性的点的坐标，关键是根据点运动的特点求出周期，找出同类的点，再寻求下标与横、纵坐标的关系．具有周期性的点的坐标，求出周期，利用余数找出同类点，再寻求规律． 解：电子狗从原点出发，按向上向右向下向下向右向上的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6， ， 考虑，，， ， ，得， 的坐标为， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．万达影城1号厅2排 B．东经，北纬 C．马尾一中南偏东 D．马尾沿山路 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标的运用，掌握运用坐标表示地理位置的方法是解题的关键． 根据坐标表示地理位置的方法即可解答． 解：A．仅给出影厅、排数，缺少座位号，无法确定具体位置，不符合题意； B．东经和北纬是地理坐标的两个参数，可唯一确定地球上的一个点，符合题意； C．仅给出方向（南偏东），缺少距离，无法确定具体位置，不符合题意； D．仅给出路名，未说明具体位置（如门牌号），无法准确定位，不符合题意． 故选B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，且点在第三象限，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据绝对值的意义可得，，然后由第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数得出答案． 解：∵， ∴，， ∵点在第三象限， ∴，， ∴点M的坐标是． 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到两坐标轴距离相等的性质，可知点的横、纵坐标的绝对值相等，由此分两种情况（横纵坐标相等、横纵坐标互为相反数）列方程求解的值，进而得到点的坐标．本题主要考查点的坐标性质，熟练掌握“点到两坐标轴距离相等时，横、纵坐标的绝对值相等，分相等和互为相反数两种情况讨论”是解题的关键． 解：情况一：横、纵坐标相等 横、纵坐标相等时， 移项可得，即 解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 情况二：横、纵坐标互为相反数 横、纵坐标互为相反数时， 去括号得，合并同类项得 移项得，解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 综上，点的坐标是或． 故选：C ． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可． 解：∵点，， ∴线段， 故选：B． 5．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点A解 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中直线的位置与点坐标的关系，解题的关键是根据两点纵坐标相同判断直线与轴的位置关系． 通过观察、两点坐标的特征，根据坐标与直线位置关系来判断直线情况． 解：两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过两点的直线一定平行于轴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据题意可知点C的纵坐标为5，在利用垂线段最短即可得出当点C的横坐标为2时，线段长度最小，从而得出答案． 解：点C在直线上，且直线是过点与轴平行的直线， 点C的纵坐标为5， 点， 根据垂线段最短可知，当点C的横坐标为2时，线段长度最小， 点C的坐标为， 故选A． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）设平面直角坐标系的轴以作为长度单位，的顶点坐标为，其中，若该三角形的面积为，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．作轴于．根据，构建方程即可解决问题． 解：如图作轴于． ， ， 解得． 故选：B． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对左边的数表示排，右边的数表示号，据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵电影票“排号”简记为， ∴“排号”可简记为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知轴，，B在第一象限且，则B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】因为轴，所以、两点横坐标相同．已知点坐标和的长度，结合在第一象限，可求出点纵坐标，进而得到点坐标．本题主要考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上的点横坐标相同是解题的关键． 解：轴， 设点坐标为 ，在第一象限，即 点坐标为 故答案为： 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 解： ∵点在x轴上，点在y轴上， ∴，， ∴，， ∴点位于第二象限， 故答案为：二． 12．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环，由，可得动点次后P的坐标． 解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… ∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环， ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于D，先根据，，分别求得，，，再求得，从而可用勾股定理求得，要使的周长最小，一定，则最小，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，点即为使最小的点，利用勾股定理求得即可求得周长的最小值． 解：作于D，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 要使的周长最小，一定， 则最小，    作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 点即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得：， 则， ∵点A关于y轴的对称点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，两点之间线段最短，勾股定理，轴对称确定最短路线问题，解题关键是掌握正确作出图形． 15．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 16．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键． 先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案． 解：∵点是“完美点”， ∴点到轴、y轴的距离相等，即， ∴或， 解得或． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为3； 当时，点． ∵，， ∴“短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 故答案为：3或6 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点都在小方格的顶点上． （1）画出关于x轴对称的图形；写出各顶点坐标 ； ； ； （2）在y轴上找一点P，使最短，画出P点． （3）若网格中的最小正方形边长为1，则的面积等于 ． 【答案】（1）见详解，；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，最短路径，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）先作出点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点，即为点P，则，可得出答案； （3）根据格点求出三角形的面积． 解：（1）解：如图，即为所求． 则点， 故答案为：． （2）解：如图，点P即为所求． （3）解：依题意，． 即的面积等于1.5． 18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． （1）______，______，______； （2）四边形的面积为______； （3）是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2，3，4；（2）9；（3）存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置与坐标，解题的关键是理解题目的规定，明确位置与坐标的对应关系． 根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 解：若电影院的排号记为， 则排号可记为； 故选：C 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点的坐标满足，则点在（   ） A．纵轴上 B．横轴上 C．纵轴或横轴上 D．原点处 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，根据非负数的性质可得，即可获得答案． 解：， ， 即， 点在纵轴上， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形． 对点A和点B的位置进行分类讨论，再结合得出关于m的方程，据此进行计算即可． 解：由题意可知， 当，即时，点A在点B的左侧， 则． 又因为轴，且，， 所以， 解得或3． 当时，点C与点A重合，故舍去； 当，即时，点A在点B的右侧， 此时点C不在线段上， 故此情况不存在， 综上所述，m的值为3． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 【答案】C 【分析】本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于轴的直线上，掌握以上知识是解答本题的关键． 点、的纵坐标相等，则直线在平行于轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式，从而解得的值． 解：∵点与点之间的距离是3， ∴， 解得：或， 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征及代数式求值，记住坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 根据轴上点的横坐标为0求出，轴上点的纵坐标为0求出再求出的值即可解答． 解：点在轴上， ， ， 点在轴上， ， ， ， 故答案为：C． 6．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标；根据三角形面积公式及点在第一象限的条件求解，逐项分析判断，即可求解． 解：点、、构成的，以为底边，其长度为． 点到的垂直距离为，故面积公式为： 当时， 或 若，则，此时点为，在第一象限，符合条件 若，则，此时点为，在第四象限，不符合第一象限要求 选项C包含，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数值，排除． 综上，唯一符合条件的点为，对应选项A． 故选：A． 9．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求不规则图形面积． 过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 解：解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积 ， 故选：A． 10．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案， 熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答即可． 解：在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点B在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，，若是直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求点的坐标． 分两种情况根据全等三角形的判定和性质计算即可． 解：∵，是直角三角形， ∴或， 当时，如图，作轴于D，则， 则 ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴ ∴ ∴； 当时，如图，作轴于E，则， 同理可证， ∴， ∴； 故答案为：或 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标、勾股定理，熟练掌握点的坐标与勾股定理是解题关键．设点的坐标是，利用勾股定理可得，则可得，由此即可得． 解：设点的坐标是， ∵，， ∴， 由作图可知，， ∵，点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 由可得，再根据去绝对值，求出a的值即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形，利用“一线三垂直”模型证明三角形全等，进而根据对应边相等求点的坐标． 过点分别作x轴的垂线，垂足为构造和；利用推导出结合证明根据全等三角形对应边相等，得到结合点的坐标计算点B的坐标（分两种情况）． 解：过点A作轴于过点B作轴于E， 则 ∵， ∴． 又∵， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） 已知点点 则． ∴． 分两种情况： ①当点E在点C右侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即 ②当点E在点C左侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即． 故答案为：或． 18．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，两点距离计算公式，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则，则，，进而可得当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 解：如图所示，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则， 由平移的性质可得， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在第四象限，则的取值范围是________； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可； （2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可． 本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）解：点在第四象限， 解得． 故答案为：． （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 得， 解得． 故答案为：0． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线过，且平行于轴． （1）若三个顶点的坐标分别为，关于直线的对称图形是，写出的三个顶点坐标； （2）如果点的坐标是，其中，点关于轴对称点是点，点关于直线对称点是点，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了轴对称的性质，画轴对称图形，求对称点坐标，坐标与平面综合． （1）作出关于直线的对称图形，即可求出的三个顶点坐标； （2）先求出，设点关于直线对称点，直线是直线，则由题意得，求出点，即可求解． 解：（1）解：作出关于直线的对称图形，则 （2）解：∵点的坐标是，其中，点关于轴对称点是点， ∴， 设点关于直线对称点，直线是直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． （1）写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； （2）已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； （3）在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 【答案】（1）；；；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得m，n的值，即可求解； （2）根据题意可得轴，然后分两种情况，结合三角形的面积公式解答即可； （3）设三角形边边上的高为h，结合三角形的面积公式，可得出，进而得到，由（2）得，根据，得到关于t的方程，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：；；； （2）解：， 轴， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ； 综上所述，三角形的面积； （3）解：∵，，， ，， 设三角形边边上的高为h，则 ， 即， ， ， ， ， ， 由（2）得，即， ， ， 解得， 或． 22．（24-25七年级下·广东阳江·期末）如图1，直角为一张硬纸板，，，要在距离A点的点E处粘一条垂直于的彩带，该如何求彩带的长度？ 【方法简介】设的长度为，由等面积法可得方程：，解方程求得x的值，从而求得的长． 请依据此方法解答下列问题： （1）请直接写出上述方程中x的值：________． 【方法应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，，线段交y轴于点C．请利用等面积法求出点C的坐标． 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点D，连接． ①求出点D的坐标； ②点P为直线上一点，连接，若，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为；（3）①；②点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握等积法求线段的长，是解题的关键： （1）直接解方程即可； （2）作轴于点F，作轴于点E，设，利用等积法进行求解即可； （3）①作轴于点F，作轴于点E，设，等积法求出点的坐标即可；②作轴于点F，作轴于点G，设点P的纵坐标为，分点P在线段上和点P在射线上，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）∵， 解得：； （2）作轴于点F，作轴于点E， ，， ，，，， 设， 由题意得， 整理得， 解得； 点C的坐标为； （3）①作轴于点F，作轴于点E，设， 由题意得， 解得， ， 点D的坐标为． ②作轴于点F，作轴于点G，设点P的纵坐标为， 当点P在线段上时， ， ，即， ，此时， 设，由题意得， 解得， ， 点P的坐标为； 当点P在射线上时，作轴于点H，作交的延长线于点Q， ，， ， ， ， 设， ，， 由题意得， 解得：， ， 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 4．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可. 解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 二、填空题 5．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 6．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 8．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解． 解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度， ∴点的坐标可以表示为 故答案为：． 【点拨】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$