专题 2.4 实数（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 2.4 实数 目录 一.全章知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）无理数 1 【题型1】无理数的认识 2 知识点（二）实数 3 【题型2】实数的分类 3 知识点（三）平方根与立方根 4 【题型3】算术平方根、平方根、立方根概念的理解 4 知识点（四）平方根与立方根性质 6 【题型4】平方根与立方根性质的运用 6 【题型5】平方根与立方根综合运算 7 知识点（五）二次根式的意义 8 【题型6】二次根式的意义 8 知识点（六）二次根式的乘除运算 9 【题型7】二次根式的乘除运算 10 知识点（七）最简二次根式与同类二次根式 11 【题型8】最简二次根式与同类二次根式综合 11 知识点（八）二次根式的加减运算 13 【题型9】二次根式的加减运算 13 知识点（九）二次根式的混合运算 14 【题型10】二次根式的混合运算 14 【题型11】二次根式的混合运算化简求值 16 【题型12】二次根式运算化简求值规律问题探究 18 二．同步练习 21 【基础巩固（22题）】 21 【能力提升（22题）】 30 【中考真题12题】 46 一.全章知识梳理与题型分类精析 知识点（一）无理数 无理数定义：无限不循环小数称为无理数。 【题型1】无理数的认识 【例题1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在下列实数中，无理数是（   ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 解：根据无理数的定义，即无限不循环小数，判断各选项是否为无理数． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【分析】A： 是分数，属于有理数； B：3.14 是有限小数，属于有理数； C：，因为5不是完全平方数，无法化简为整数或分数，属于无理数； D：是整数，属于有理数； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）已知一组数据，，，（每两个4之间的1的个数依次增加）．在这组数据中，有理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，首先判断每个数是否为有理数，统计有理数的个数即可得到频数． 解：∵，是整数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 可化为无限循环小数，属于有理数， 小数部分无规律且不循环，属于无理数， ∴有理数有3个， ∴频数为3， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是 （写出一个满足条件的a即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 解：一个无理数a，使得，则，则a可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 知识点（二）实数 实数：有理数和无理数统称实数。即： 【题型2】实数的分类 【例题2】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）下列判断正确的是（　　） A．是分数，是有理数 B．是整数，是有理数 C．是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数与无理数的定义．逐一分析各选项中的数是否属于所述类别，结合有理数与无理数的定义判断正误． 解：A．是无理数，其除以2仍为无理数，故不是有理数，判断错误． B．，是整数且属于有理数，判断正确． C．是分数，属于有理数，判断错误． D．3.1415926是有限小数，属于有理数，判断错误． 故选：B． 知识点（三）平方根与立方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即：，那么这个正数叫做的算术平方根，特别规定：0的算术平方根是0. 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，即如果，那么叫做的平方根. 3.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.记作：，求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【题型3】算术平方根、平方根、立方根概念的理解 【例题3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、立方根等知识点，掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根的定义逐个判断即可． 解：A． 的平方根是，故该选项错误，不符合题意；     B． 是负数没有平方根根，故该选项错误，不符合题意；     C． 的立方根是2，故该选项正确，符合题意；         D． 是无理数，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·重庆江津·期末）下列说法中正确的有（   ） A．4的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数 【答案】A 【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义逐一判断各选项的正误即可． 解：A、 4的平方根是，正确； B、的算术平方根是3，错误； C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如的立方根是，错误， D、带根号的数都是无理数，错误，例如为有理数，故带根号的数不一定是无理数． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 解：A、实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意； B、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意； D、，则是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意； 故选：D 知识点（四）平方根与立方根性质 平方根性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作；（2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 立方根性质：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）（1）； （2）； （3） 【题型4】平方根与立方根性质的运用 【例题4】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 解：由数轴可得， 则，， 原式 ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）下列计算正确的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：A. ，选项A正确；     B. 无意义，选项B错误；     C. ，选项C错误； D. ，选项D错误， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： ； ； 【答案】 3 / 【分析】本题考查了求一个数算术平方根，立方根，无理数的大小估算，化简绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据算术平方根，立方根的定义求解和，再无理数的大小估算方法得到，即可化简绝对值． 解：；， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；；． 【题型5】平方根与立方根综合运算 【例题5】（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）7.2． 【分析】本题考查了算术平方根的计算． （1）根据算术平方根的性质计算即可求解； （2）根据算术平方根的性质计算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根及立方根的性质，根据实数的运算法则进行计算即可． 解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）9；（2）8 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加法即可； （2）先化简绝对值，计算算术平方根，再去括号，最后计算加减即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 知识点（五）二次根式的意义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数。 【题型6】二次根式的意义 【例题6】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先将原式化为，再用不等式组求解即可． 解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可得到答案． 解：由题意可知，， 解得． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值，最后代入计算即可． 解：∵， ∴，解得：， ∴． ∴ 故答案为：24． 知识点（六）二次根式的乘除运算 二次根式的乘法法则和除法法则： ， 。 【题型7】二次根式的乘除运算 【例题7】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的乘除的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的混合运算法则计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据除法法则变换为乘法再进行计算即可． 解： ． 故答案为：1． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 解： 故选：B 知识点（七）最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式：二次根式满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【题型8】最简二次根式与同类二次根式综合 【例题8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的值； （2）若，化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 解：（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）已知最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．据此解答即可． 解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 故答案为：；． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 知识点（八）二次根式的加减运算 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【题型9】二次根式的加减运算 【例题9】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、算术平方根、立方根、绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）先运用有理数乘方、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： （1）； （2） （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，化简绝对值，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法则进行计算，即可作答． （2）先化简绝对值，再根据二次根式的加减法则进行计算，即可作答． （3）先化简绝对值，立方根，平方根，再根据二次根式的加减法则进行计算，即可作答． 解：（1）解： ， （2）解： ； （3）解： 知识点（九）二次根式的混合运算 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 【题型10】二次根式的混合运算 【例题10】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，熟记二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式、二次根式乘除运算法则化简，再进行加减计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先计算二次根式的乘除法，化简，再计算加减法； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃陇南·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除，再合并即可； （2）根据二次根式、绝对值的性质化简，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型11】二次根式的混合运算化简求值 【例题11】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知可得，，再对代数式化简后代入计算即可求解，正确化简二次根式是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握平方差公式分解因式，分式加法，完全平方公式变形计算，二次根式的化简求值，是解题的关键． （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据，结合，进行求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴．， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，二次根式的加减乘除混合运算，分母有理化，熟练掌握分式的加减乘除混合运算及二次根式的加减乘除混合运算是解题的关键．先进行分式的加减乘除混合运算，化简得，再将代入计算即可． 解：原式 当时， 原式 ． 【题型12】二次根式运算化简求值规律问题探究 【例题12】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： （1）化简： ． （2）化简： ；（n为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）44 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 解：（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： 【变式1】（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察】，，，…… 【归纳】（1）若n为自然数，且，将上述规律用含n的式子表达出来； 【推理】（2）对（1）中的结论进行证明． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律． （1）根据已知的等式即可写出第n个式子； （2）根据二次根式的运算法则进行验证． 解：（1）根据已知等式可得． （2）等式左边． ∵， ∴等式右边． ∴ 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见分析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 根据代入求解即可． 解： 原式 ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·天津·阶段练习）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法，把放到根号内并变为，进行二次根式的乘法即可得到答案． 解：由题意可知，， ． 故选：D． 4．（24-25八年级下·天津·阶段练习）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．根据二次根式的性质化简后，再根据最简二次根式的定义判断即可． 解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，是最简二次根式，故B符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故C不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的混合运算法则是关键，需根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 解：选项A：，计算正确，符合题意； 选项B：和不是同类二次根式，无法直接合并，且，计算错误，不符合题意； 选项C：，计算错误，不符合题意； 选项D：，计算错误，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，解决此题的关键是掌握同类二次根式的定义即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 根据最简二次根式，以及同类二次根式的定义，列方程求解即可． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故选A． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题可先利用平方差公式将进行因式分解，再代入、的值分别计算和，最后将结果相乘得出答案．本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 解：， ，， ， 故答案为：D． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算及估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用实数的运算法则计算得出，估算出x范围即可求得结果． 解：， 又，即， 则的整数部分是3， 故选：B． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 解：，，， ， ， 即. 故选：D. 二、填空题 11．（2025·北京·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，依据二次根式被开方数大于等于零求解即可． 解：有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法运算，先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的减法运算，即可作答． 解：， 故答案为： 13．（21-22八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点拨】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 14．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若，则“（   ）”内的最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，最简二次根式，用除以即可求解． 解：， 即“（   ）”内的最简二次根式是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·海南·期末）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．分子分母同时乘以，然后再进行计算即可． 解：． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 【答案】33 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 三、解答题 19．（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法分配律展开，计算乘法后再计算加法即可． 解：（1）解： （2）解： 20．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）计算 （1）． （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）利用二次根式的乘除混合运算法则即可求解； （2）利用平方差公式，完全平方公式即可求解． 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求解，包括完全平方公式和单项式乘多项式，将整式正确化简是解决本题的关键． 先根据完全平方公式化简，再将a的值代入求解即可． 解： ， ∵， ∴上式． 22．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）填空：____________，____________． 【拓展提升】 （2）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 解：（1） ； ； （2） ． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 解：设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键此题考查了矩形的性质，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 本题根据二次根式加减乘除的运算法则和二次根式的性质求解即可判断． 解：A、与不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B； 3．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 解：根据题意可知， ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件． 选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②． 选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②． 选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①． 故选：A． 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与是同类二次根式，符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 解：∵， ∴ ， 故选：B． 7．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 8．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，，再代入计算即可得． 解：∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可． 解：根据题意得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方，化简绝对值，二次根式，再算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：原式 ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 解： ． 13．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 14．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 （个）数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答． 解：连接， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴点D到的距离为 故答案为： 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，新定义运算的含义，分三种情况：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 三、解答题 17．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的除法，分母有理化，然后合并即可； （）先通过平方差公式，二次根式的性质化简，最后合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零次幂，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质，平方差公式和零次幂进行计算，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质，分母有理化进行化简，再计算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在数轴上点分别表示实数，，和． （1）点与点之间的距离为___________． （2）将点向右移动2个单位长度至点，求点表示的数与点表示的数的积． （3）若将数轴沿点和点剪开后将中间一段折叠，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，请直接写出最左端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）根据数轴上点的平移规律，得到点表示的数为，再结合平方差公式计算求解，即可解题； （3）根据折叠性质，计算出第一次对折的折痕与数轴的交点表示的数，第二次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数，第三次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数，第四次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数，，据此找出规律求解，即可解题． 解：（1）解：在数轴上点分别表示实数，． 点与点之间的距离为； 故答案为：； （2）解：点向右移动2个单位长度至点，则点表示的数为， 点表示的数与点表示的数的积为； （3）解：点分别表示实数和． 则第一次对折的折痕与数轴的交点表示的数为， 第二次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， 第三次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， 第四次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， ，依次类推，第次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为． 【点拨】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，二次根式的运算，平方差公式，折叠性质，找规律，解题的关键在于找出折叠时，最左端的折痕与数轴的交点表示的数的规律． 20．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）阅读材料： 材料一：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵， ∴，即， ∴的最小值为1． 材料二：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 阅读上述材料解决下面问题： （1）式子是完全平方式，则______； （2）若，且x，y均为正整数，求的值； （3）当x为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）依据题意，由，且是完全平方式，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由，且x，y均为正整数，可得，故，求出x，y的值后即可代入计算得解； （3）依据题意，由，则当时，有最大值为25，从而当时，有最大值为5，进而得解． 解：（1）解：∵，且是完全平方式 ∴ ∴； （2）解：∵，且x，y均为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵ ∵ ∴ ∴ ∴当时，有最大值为25． ∴当时，有最大值为5． 【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方式，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 21．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      （1）的值为_____； （2）请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      （3）我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到的值； （2）仿照（1）的作法，取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形，解答即可． （3）请仿照方法化简解答即可． 本题考查了勾股定理，分母有理化，无理数的作图，熟练掌握勾股定理，分母有理化是解题的关键． 解：（1）解：根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到； 故答案为：． （2）解：取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形， 以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，于数轴交于点C， 如图：    则点C即为所求． （3）解：， 故 ． 22．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）观察以下式子：记，则 ①； ②； 【计算观察】（1）___________；___________．（直接写出结果即可） 【归纳验证】（2）猜想：___________（为正整数）；并证明． 【应用推广】（3）令，计算的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）根据题干中的运算法则代入求解即可； （2）猜想：，根据题意得到，然后化简求解即可； （3）根据题意得到，，，然后代入求解即可． 解：（1） ； ； （2）猜想： 证明： ； （3）根据题意得，，， ∴ ． 【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 解：， 故选：B． 2．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 解： 故选：B． 3．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 解：． 故选：B． 4．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 5．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 二、填空题 6．（2021·江苏连云港·中考真题）化简： ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可． 解：， 故答案为：5． 7．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 解：∵一个直角三角形两直角边的长分别为1和， ∴斜边为， 故答案为：． 8．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 解： ， 故答案为：60． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 三、解答题 10．（2025·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2）1 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 解：（1） ； （2） ． 【点拨】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 11．（2025·新疆·中考真题）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 12．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 解： ， 当时，原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.4 实数 目录 一.全章知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）无理数 1 【题型1】无理数的认识 1 知识点（二）实数 2 【题型2】实数的分类 2 知识点（三）平方根与立方根 2 【题型3】算术平方根、平方根、立方根概念的理解 3 知识点（四）平方根与立方根性质 3 【题型4】平方根与立方根性质的运用 3 【题型5】平方根与立方根综合运算 4 知识点（五）二次根式的意义 4 【题型6】二次根式的意义 4 知识点（六）二次根式的乘除运算 4 【题型7】二次根式的乘除运算 4 知识点（七）最简二次根式与同类二次根式 5 【题型8】最简二次根式与同类二次根式综合 5 知识点（八）二次根式的加减运算 5 【题型9】二次根式的加减运算 5 知识点（九）二次根式的混合运算 6 【题型10】二次根式的混合运算 6 【题型11】二次根式的混合运算化简求值 6 【题型12】二次根式运算化简求值规律问题探究 6 二．同步练习 7 【基础巩固（22题）】 7 【能力提升（22题）】 9 【中考真题12题】 13 一.全章知识梳理与题型分类精析 知识点（一）无理数 无理数定义：无限不循环小数称为无理数。 【题型1】无理数的认识 【例题1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在下列实数中，无理数是（   ） A． B．3.14 C． D． 【变式1】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）已知一组数据，，，（每两个4之间的1的个数依次增加）．在这组数据中，有理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是 （写出一个满足条件的a即可）． 知识点（二）实数 实数：有理数和无理数统称实数。即： 【题型2】实数的分类 【例题2】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）下列判断正确的是（　　） A．是分数，是有理数 B．是整数，是有理数 C．是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数 知识点（三）平方根与立方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即：，那么这个正数叫做的算术平方根，特别规定：0的算术平方根是0. 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，即如果，那么叫做的平方根. 3.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.记作：，求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【题型3】算术平方根、平方根、立方根概念的理解 【例题3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数 【变式1】（24-25七年级下·重庆江津·期末）下列说法中正确的有（   ） A．4的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数 【变式2】（23-24八年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 知识点（四）平方根与立方根性质 平方根性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作；（2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 立方根性质：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）（1）； （2）； （3） 【题型4】平方根与立方根性质的运用 【例题4】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）下列计算正确的是：（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： ； ； 【题型5】平方根与立方根综合运算 【例题5】（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）计算：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： （1） （2） 知识点（五）二次根式的意义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数。 【题型6】二次根式的意义 【例题6】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知，则的值为 ． 知识点（六）二次根式的乘除运算 二次根式的乘法法则和除法法则： ， 。 【题型7】二次根式的乘除运算 【例题7】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算： ． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点（七）最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式：二次根式满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【题型8】最简二次根式与同类二次根式综合 【例题8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的值； （2）若，化简：． 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）已知最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 知识点（八）二次根式的加减运算 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【题型9】二次根式的加减运算 【例题9】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）计算： （1） （2） 【变式2】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： （1）； （2） （3）； 知识点（九）二次根式的混合运算 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 【题型10】二次根式的混合运算 【例题10】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃陇南·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【题型11】二次根式的混合运算化简求值 【例题11】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，求 的值． 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【变式2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【题型12】二次根式运算化简求值规律问题探究 【例题12】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： （1）化简： ． （2）化简： ；（n为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算：． 【变式1】（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察】，，，…… 【归纳】（1）若n为自然数，且，将上述规律用含n的式子表达出来； 【推理】（2）对（1）中的结论进行证明． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 二．同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25八年级下·天津·阶段练习）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·天津·阶段练习）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 7．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·北京·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是 ． 12．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）计算： ． 13．（21-22八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 14．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若，则“（   ）”内的最简二次根式是 ． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 16．（24-25八年级下·海南·期末）化简的结果是 ． 17．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 三、解答题 19．（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）计算： （1）； （2）． 20．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）计算 （1）． （2）． 21．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 22．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）填空：____________，____________． 【拓展提升】 （2）化简：（请写出化简过程） 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 7．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）若，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算： ． 12．（24-25八年级下·山东·阶段练习）已知，则 ． 13．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 14．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 15．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算下列各小题． （1）； （2）． 18．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）计算： （1）； （2）． 19．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在数轴上点分别表示实数，，和． （1）点与点之间的距离为___________． （2）将点向右移动2个单位长度至点，求点表示的数与点表示的数的积． （3）若将数轴沿点和点剪开后将中间一段折叠，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，请直接写出最左端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含的代数式表示） 20．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）阅读材料： 材料一：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵， ∴，即， ∴的最小值为1． 材料二：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 阅读上述材料解决下面问题： （1）式子是完全平方式，则______； （2）若，且x，y均为正整数，求的值； （3）当x为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 21．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      （1）的值为_____； （2）请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      （3）我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 22．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）观察以下式子：记，则 ①； ②； 【计算观察】（1）___________；___________．（直接写出结果即可） 【归纳验证】（2）猜想：___________（为正整数）；并证明． 【应用推广】（3）令，计算的值． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 2．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 4．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2021·江苏连云港·中考真题）化简： ． 7．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ． 8．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ． 三、解答题 10．（2025·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 11．（2025·新疆·中考真题）计算： （1）； （2）． 12．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$